1、试卷第 1页，总 4页2020-2021 学年度下学期第一学程质量测试高二年级数学试题（理科）一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1已知抛物线的方程为24yx，则其准线方程为（）A116x B116y C1x D1y 2已知 l，且 l 的方向向量为(2，m，1)，平面的法向量为1(1,2)2，则 m（）A8B5C5D83已知 F 为抛物线2:4C yx的焦点，过点 F 的直线l 交抛物线C 于 A，B 两点，若6AB，则线段AB 的中点 M 到抛物线C 的准线的距离为（）A3B4C5D
2、64函数()yf x在定义域3(,3)2内可导，其图象如图所示，记()yf x的导函数为()yfx，则不等式()0fx的解集为（）A1,12,3)3B.14 8 1,23 3C.3 1,1,22 2D311 4,232 35长方体1111ABCDA B C D中，2AB，11ADAA，E 是CD 的中点，F 是 AB 的中点.则异面直线1B E 与1D F 所成角的余弦值为（）A33B 13C13D 196已知抛物线214yx上的动点 P 到直线 l3y 的距离为 d，A 点坐标为(2，0)，则|PAd的最小值等于（）A 4B 25C 2 5D357曲线()yf x在1x 处的切线如图所示，则
3、(1)(1)ff（）A0B 1C1D12试卷第 2页，总 4页8设 f(x)sin1 cosxx，x，当 f(x)2 时，x 等于（）A13B16C14D239过抛物线22ypx（0p）焦点 F，斜率为k（0k）的直线交抛物线于 A，B 两点，若3AFBF，则 k （）A3B2C32D110抛物线2yx 上的点到直线10 xy 的最短距离是（）.A 38B 3 28C 58D 5 2811已知()f x 为定义在(0,)上的可导函数，且()()f xxfx恒成立，则不等式21()()0 x ff xx 的解集为（）A(1,)B(,1)C(2,)D(,2)12已知223,1()ln,1xxxf
4、xx x，若函数1()2yf xkx有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是（）A 1,2eB 1,2eC 1,2eeD 1,2ee二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13抛物线220yx的焦点到其准线的距离为_.14若(2,3,5),(3,1,4)ab，则2ab_15函数 322f xxaxbxa在1x 处取得极值 10，则 ab _.16设函数 2lnxef xtxxxx恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是_.三、解答题（第 17 题满分 10 分，其他每小题满分 12 分，共 70 分）17已知抛物线2:2C ypx的焦点为 F，(1,)Mt 为抛物线 C 上的点，且3|2MF.
5、（1）求抛物线 C 的方程；（2）若直线2yx与抛物线 C 相交于 A，B 两点，求弦长|AB.试卷第 3页，总 4页18如图，在棱长为 4 的正方体1111ABCDA B C D中，,E F 分别是11A B 和11B C 的中点（用空间向量方法求解）（1）求点 D 到平面 BEF 的距离；（2）求 BD 与平面 BEF 所成的角的余弦值19如图，在三棱锥 PABC中，PC 平面 ABC，BCAC，2ACPC，4CB，M 是 PA的中点（用空间向量方法证明、求解）（）求证：PA 平面 MBC；（）设点 N 是 PB 的中点，求二面角 NMCB的余弦值20已知函数3()212f xxx（1）求
6、()f x 在点(1,(1)f处的切线；（2）求()f x 在区间 1,3上的最大值和最小值试卷第 4页，总 4页21已知函数 1 ln2fxxmx mR，0ag xxax（1）求函数 fx 的单调区间（2）若212me，对2122,2,x xe 都有 12g xf x成立，求实数 a 的取值范围22已知点(1,0)F，直线 L：1x ，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 L 的垂线，垂足为Q，且QP QFFP FQ .（1）求点 P 的轨迹C 的方程.（2）是否存在正数 m，对于过点(,0)M m且与曲线C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有0FA FB？若存在，求出 m 的取值范围；若
7、不存在，请说明理由.答案第 1页，总 5页高二下学期第一学程测试参考答案数学（理科）一、选择题1C2D3A4A5B6B7C8D9A10B11A12C10【解析】令()()f xg xx，则2()()()xfxf xg xx()()f xxfx()()0 xfxf x，即2()()()0 xfxf xg xx在(0,)上恒成立()g x 在(0,)上单调递减21()()0 x ff xx 1()()1ff xxxx，即1()()gg xx 1xx，即1x 11【详解】221010 xyyyyx ,无解,故直线:10l xy 与抛物线2yx 没有公共点,如图所示.设直线:0m xyc与抛物线相切，
8、则直线m 与l 的距离即为抛物线2yx 上的点到直线:10l xy 的最短距离，2200 xycyycyx ，则1 40c，14c ，所以两平行直线1:04m xy与:10l xy 的距离为：1(1)3 2482d.12【详解】由题意1()2yf xkx有 4 个零点，即1()2f xkx有 4 个零点.设1()2g xkx，则()g x 恒过点10,2，所以函数()g x 与()f x 的图象有 4 个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图.由图象可知，当函数()g x 过点10,2和1,0 时，即12k 时，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有 3
9、个交点；当12k 时，函数()g x 与()f x 的图象至多有 2 个交点当12k 时，若函数()g x 与ln1yx x的图象相切时，设切点为,lnaa，则1yx，所以1ka，所以1ln12aaa，解得 ae，答案第 2页，总 5页所以eke，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有 3 个交点；当eke时，两函数图象至多有两个交点.所以若要使函数1()2yf xkx有 4 个零点，则1,2eke.故选：C.二、填空题13101425815 716 1,2 33ee15【详解】由题意，函数 322f xxaxbxa，可得 232fxxaxb，因为 fx 在1x 处取得极值 10，可得2
10、(1)320(1)110fabfaba，解得4 11ab 或3 3ab ，检验知，当3,3ab 时，可得 223633(1)0fxxxx-，此时函数 fx 单调递增，函数为极值点，不符合题意，（舍去）；当4,11ab 时，可得 23811(311)(1)fxxxxx，当113x 或1x 时，0fx，fx 单调递增；当1113x时，0fx，fx 单调递减，当1x 时，函数 fx 取得极小值，符合题意.所以7ab .故答案为：7.16【详解】由题意，函数 2lnxef xtxxxx，0,x，可得 222112121xxxext xxe xefxtxxxx 212xxet xx，因为函数 2lnxe
11、f xtxxxx恰有两个极值点，所以方程 0fx恰有两个正根，显然1x 时方程 0fx的一个正根，所以方程20 xet x有唯一正根，即方程2xetx有唯一正根，等价于函数 2xg xex与函数 yt 在0,上只有一个交点，且交点横坐标不等于 1，因为 2222022xxxexeexgxxx，所以函数 g x 在0,上单调递增，又由 102g，13eg，函数 g x 的图象如图所示，可得12t 且3et.答案第 3页，总 5页三、解答题17（1）22yx；（2）2 10.【详解】（1）3|122PMF ，所以1p ，即抛物线 C 的方程22yx.5 分（2）设1122,A x yB xy，由2
12、22yxyx得2640 xx，所以126xx，124x x 8 分所以22121212|124ABkxxxxx x2 36162 10.10 分18（1）163；（2）13.【详解】（1）如图所示，以点 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz，（1 分）依题意，得(4,0,0),(0,4,0),(2,0,4),(4,2,4)BDEF，则(2,0,4),(0,2,4)BEBF，设平面 BEF 的法向量为(,)nx y z，则,nBE nBF，则240240n BExzn BFyz ，即22xzyz，（3 分）由此取1z ，可得平面 BEF 的一个法向量为(2,2,1)n，（4 分）又由(4,4,
13、0)DB（5 分）所以点 D 到平面 BEF 的距离为222|4 2(4)(2)0 1163|2(2)1DB ndn 。（6 分）（2）设 BD 与平面 BEF 所成角为，则(0,)2，且2216|2 23sin|cos,|3|4(4)DB ndDB nDBnDB ，（10 分）所以 BD 与平面 BEF 所成角的余弦值为222 21cos1 sin1()33（12 分）19（）证明见解析；（）2 23【详解】解：（）以 C 为原点，CA，CB，CP 为 x，y，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，（1 分）(2,0,0)A，(0,0,2)P，(0,4,0)B，(0,0,0)C，(1,
14、0,1)M，则(1,0,1)CM，(0,4,0)CB，(2,0,2)PA，（3 分）0,0 PA CMPA CB,（5 分）,PACMPACN,又CMCNCPA 平面 MBC（6 分）答案第 4页，总 5页（）由（）知(2,0,2)PA 是平面 MBC 的一个法向量，（7 分）(0,2,1)N，则，(0,2,1)CN 又(1,0,1)CM，设(,)nx y z是平面 MNC 的法向量，则有00CM nCN n ，即020 xzyz，令1y ，则2z ，2x，(2,1,2)n，（9 分）设二面角 NMCB所成角为，由图可得 为锐角，则2 20 12(2)2 2coscos,3|89PA nPA
15、nPA n （12 分）20（1）640 xy；（2）18，8 2【详解】（1）3212f xxx，则 2612fxx2 分则 110f，16f 故切线为1061yx，即640 xy5 分（2）2612622fxxxx当 12x 时，()0,(2)0fxf，当23x时，()0fx()f x在 1,2)上单调递减，在(2,3 上单调递增7 分(1)10,(3)18,(2)8 2fff 10 分()fx在区间 1,3上的最大值和最小值分别是 18，8 212 分21（1）答案见解析；（2）0,3【详解】（1）1 ln,02fxxmx mRx，所以 12fxmx，1 分当0m 时，0fx，fx 在0
16、,上单调递增2 分当0m 时，由 0fx得12xm；由 00fxx得102xm；由 00fxx得12xm4 分综上所述，当0m 时，fx 的单调递增区间为0,；当0m 时，fx 的单调递增区间为10,2m，单调递减区间为1,2m5 分（2）若212me，则 211ln22fxxxe对2122,2,x xe 都有 12g xf x成立，等价于对2122,2,x xe 都 minmaxg xf x，7 分由（1）知在22,e 上单调递增，在22,2ee 上单调递减，所以 fx 的最大值为 212f e，8 分答案第 5页，总 5页 2100agxax，22,2xe ，函数 g x 在22,2e 上
17、是增函数，222minag xg，10 分所以1222a，解得3a，又0a，所以0,3a.所以实数 a 的取值范围是0,3 12 分22（1）24yx；（2）存在，32 2,32 2.【详解】（1）设 P 的坐标为(,)x y，则(1,)Qy，可得(1,0)QPx，(2,)QFy，(1,)FPxy，(2,)FQy，QP QFFP FQ ，2(1)2(1)(2)xxy，化简得24yx，即动点 P 的轨迹C 的方程为：24yx；4 分（2）设直线l 的方程为 xtym，过点(,0)M m(0)m 的直线l 与曲线C 的交点为11,A x y，22,B xy，联立24xtymyx，消去 x，得244
18、0ytym（*），5 分则1y，2y 是方程（*）的两根，2160tm，且121244yytyym，6 分又111,FAxy，221,FBxy，由0FA FB，可得1212110 xxy y，即1 2121210 x xxxy y，7 分由于22121 244yyx x，代入不等式可得：2222121212104444yyyyy y，化简得：22121212121210164y yy yyyy y，由式，化简不等式得22614mmt，10 分对任意实数t，不等式240t 恒成立，不等式对于一切t 恒成立等价于2610mm，11 分解之得32 232 2m，由此可得：存在正数m，对于过点(,0)M m，且与曲线C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有0FA FB 且m 的取值范围是32 2,32 2.12 分