1、2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高三（上）第五次调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合S=x|x5或x5，T=x|7x3，则ST=（）Ax|7x5Bx|3x5Cx|5x3Dx|7x52已知命题p、q，“p为真”是“pq为假”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=1，则a1=（）ABCD24以下四个命题中是真命题的是（）A对分类变量x与y的随机变量k2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握
2、程度越大B两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C若数据x1，x2，x3，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，2xn的方差为2D在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好5双曲线C：=1（a0，b0）的离心率e=，则它的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x6已知ABC中，平面内一点P满足=+，若|=t|，则t的值为（）A3BC2D7函数y=e|x1|的图象大致形状是（）ABCD8设变量x，y满足：，则z=|x3y|的最大值为（）A8B3CD9已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，
3、且|AF|2，则A点到原点的距离为（）A3BC4D10某港口水的深度y（m）是时间t（0t24，单位：h）的函数，记作y=f（t）下面是某日水深的数据：t/h03691215182124y/m1013107101310710经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=Asint+b的图象一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）某船吃水程度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留（）小时（忽略进出港所需的时间）A6B12C16D1811一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1
4、）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3），则该容器的体积为（）ABCD12已知函数f（x）=alnxbx2，a，bR若不等式f（x）x对所有的b（，0，x（e，e2都成立，则a的取值范围是（）Ae，+）BCDe2，+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13则f（f（2）的值为14我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”“势”即是高，“幂”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，
5、类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取0，4上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为15已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为，AB=AC=2，BAC=120，则球O的表面积为16已知ABC三边a，b，c上的高分别为，则cosA=三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知数列an满足是等差数列，且b1=a1，b4=a3（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若，求数列cn的前n项和Tn18在ABC中，a，b，c分别
6、为角A、B、C的对边，D为边AC的中点，a=3，cosABC=（）若c=3，求sinACB的值；（）若BD=3，求ABC的面积19某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：设x为每天饮品的销量，y为该店每天的利润（1）求y关于x的表达式；（2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率20如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为矩形，E为PC的中点，且（1）过点A作一条射线AG，使得AGBD，求证：平面PAG平面BDE；（2）若点F为线段PC上
7、一点，且DF平面PBC，求四棱锥FABCD的体积21已知椭圆的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（m，0）为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，证明：|PA|2+|PB|2为定值22已知函数（kR）的最大值为h（k）（1）若k1，试比较h（k）与的大小；（2）是否存在非零实数a，使得对kR恒成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高三（上）第五次调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
8、是符合题目要求的.1设集合S=x|x5或x5，T=x|7x3，则ST=（）Ax|7x5Bx|3x5Cx|5x3Dx|7x5【考点】交集及其运算【分析】利用交集定义和不等式性质求解【解答】解：集合S=x|x5或x5，T=x|7x3，ST=x|7x5故选：A2已知命题p、q，“p为真”是“pq为假”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据复合命题真假之间的关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若p为真，则p且假命题，则pq为假成立，当q为假命题时，满足pq为假，但p真假不确定，p为真不一定成立，
9、“p为真”是“pq为假”的充分不必要条件故选：A3已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=1，则a1=（）ABCD2【考点】等比数列的性质【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因为等比数列an的公比为正数，所以q=，故a1=故选B4以下四个命题中是真命题的是（）A对分类变量x与y的随机变量k2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越
10、大B两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C若数据x1，x2，x3，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，2xn的方差为2D在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好【考点】独立性检验；线性回归方程【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：A，对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，判断“x与y有关系”的把握程度越大，故错误；B，根据|r|越趋近于1，两个随机变量的相关性越强，故错误；C，数据x1，x2，x3，xn和2x1，2x2，2x3，2xn的数据满足Y=2X，则方程满足DY=4DX，若数据x1，x2
11、，x3，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，2xn的方差为4正确，故错误；D，用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，故正确故选D5双曲线C：=1（a0，b0）的离心率e=，则它的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的离心率求出双曲线的渐近线中a，b的关系，即可得到渐近线方程【解答】解：双曲线C：=1（a0，b0）的离心率e=，可得，可得，双曲线的渐近线方程为：y=故选：A6已知ABC中，平面内一点P满足=+，若|=t|，则t的值为（）A3BC2D【考点】向量加减混合运算及其几何意义【分析】在CA上取CE=
12、2EA，过点E作EPBC交AB于点P，过点P作PFAC交BC于点F，可得，可得点P满足=+，利用平行四边形法则即可得出【解答】解：如图所示，在CA上取CE=2EA，过点E作EPBC交AB于点P，过点P作PFAC交BC于点F，则，点P满足=+，满足|=2|，又|=t|，t=2故选：C7函数y=e|x1|的图象大致形状是（）ABCD【考点】指数函数的图象变换【分析】由已知写出分段函数解析式，作出分段函数的图象得答案【解答】解：y=e|x1|=，函数函数y=e|x1|的图象大致形状是：故选：B8设变量x，y满足：，则z=|x3y|的最大值为（）A8B3CD【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画
13、出可行域，设z=|x3y|，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x3y过可行域内的点A时，从而得到z=|x3y|的最大值即可【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z=x3y，当直线经过A（2，2）时，z=|x3y|，取到最大值，Zmax=8故选：A9已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|2，则A点到原点的距离为（）A3BC4D【考点】抛物线的简单性质【分析】设点A的坐标为（x1，y1），求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解即可【解答】解：设点A的坐标为（x1，y1），抛物线y2=4x的准线方程为x=
14、1，根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，=，y12=4x1，解得x1=或x1=4，|AF|2，x1=4，A点到原点的距离为=4，故选：B10某港口水的深度y（m）是时间t（0t24，单位：h）的函数，记作y=f（t）下面是某日水深的数据：t/h03691215182124y/m1013107101310710经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=Asint+b的图象一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）某船吃水程度（船底离水面的距离）为6.5m
15、，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留（）小时（忽略进出港所需的时间）A6B12C16D18【考点】在实际问题中建立三角函数模型【分析】通过读取图表，可以看出函数y=f（t）的周期，根据水的最大深度和最小深度联立方程组求出A和b，则函数y=f（t）的近似表达式可求，由题意得到该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米），由y11.5解出一天内水深大于等于11.5的时间段，则船从最早满足水深到达11.5的时刻入港，从最晚满足水深是11.5的时刻出港是安全的【解答】解：由已知数据，易知函数y=f（t）的周期T=12，则=再由，得振幅A=3，b=10，y=3sint+1
16、0（0t24），由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米）3sint+1011.5，sint，解得，2k+t2k+（kZ），所以12k+1t12k+5（kZ），在同一天内，取k=0或1，1t5或13t17，该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时故选C11一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3），则该容器的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】推导出PM+PN=6，且PM=PN，MN=3，P
17、M=3，设MN中点为O，则PO平面ABCD，由此能求出该容器的体积【解答】解：如图（2），PMN是该四棱锥的正视图，由图（1）知：PM+PN=6，且PM=PN，由PMN为等腰直角三角形，知MN=3，PM=3，设MN中点为O，则PO平面ABCD，PO=，该容器的体积为=9故选：D12已知函数f（x）=alnxbx2，a，bR若不等式f（x）x对所有的b（，0，x（e，e2都成立，则a的取值范围是（）Ae，+）BCDe2，+）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】问题转化为对x（e，e2都成立，令，求出h（x）的导数，通过讨论函数h（x）的单调性，求出h（x）的最大值，从而求出a的范围即可【
18、解答】解：若不等式f（x）x对所有的b（，0，x（e，e2都成立，即alnxbx2x对所有的b（，0，x（e，e2都成立，即alnxxbx2对所有的b（，0，x（e，e2都成立，即alnxx0对x（e，e2都成立，即对x（e，e2都成立，即a大于等于在区间（e，e2上的最大值，令，则，当x（e，e2时，h（x）0，h（x）单调递增，所以，x（e，e2的最大值为，即，所以a的取值范围为故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13则f（f（2）的值为2【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值【分析】本题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的，故求解本题应先求内层
19、的f（2），再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解析式求值【解答】解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（221）=12，故有f（1）=2e11=2，即f（f（2）=f（1）=2e11=2，故答案为 214我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”“势”即是高，“幂”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取0，4上的任意值时，直线y=t被图1
20、和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为8【考点】函数模型的选择与应用【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=矩形的面积，即可得出结论【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积为42=8故答案为815已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为，AB=AC=2，BAC=120，则球O的表面积为【考点】球的体积和表面积【分析】利用余弦定理求出BC的长，进而由正弦定理求出平面ABC截球所得圆的半径，结合球心距，求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案【解答】解：在ABC中，AB=AC=2，BAC=120，BC=2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即ABC的
21、外接圆半径），r=2，又球心到平面ABC的距离d=R，球O的半径R=，R2=，故球O的表面积S=4R2=，故答案为16已知ABC三边a，b，c上的高分别为，则cosA=【考点】余弦定理【分析】由题意和三角形的面积公式列出方程，化简后得到a、b、c的关系，由余弦定理求出cosA的值【解答】解：ABC三边a，b，c上的高分别为，则，即c=a，b=a，由余弦定理得，cosA=，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知数列an满足是等差数列，且b1=a1，b4=a3（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列
22、的求和；数列递推式【分析】（1）利用递推关系、等差数列与等比数列的通项公式即可得出（2）利用“裂项求和”方法、等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）Sn=2an1，n2时，Sn1=2an11，an=SnSn1=2an2an1，即an=2an1当n=1时，S1=a1=2a11，a1=1，an是以1为首项，2为公比的等比数列，b1=a1=1，b4=a3=4，公差=1bn=1+（n1）=n（2），18在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，D为边AC的中点，a=3，cosABC=（）若c=3，求sinACB的值；（）若BD=3，求ABC的面积【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（）运用余
23、弦定理和正弦定理及同角的平方关系，即可计算得到；（） 以BA，BC为邻边作平行四边形ABCE，再由诱导公式和余弦定理和面积公式，计算即可得到【解答】解：（），c=3，由余弦定理：b2=c2+a22cacosABC=， 又ABC（0，），所以，由正弦定理：，得（） 以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，则，BE=2BD=6，在BCE中，由余弦定理：BE2=CB2+CE22CBCEcosBCE 即，解得：CE=3，即AB=3，所以19某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：设x为
24、每天饮品的销量，y为该店每天的利润（1）求y关于x的表达式；（2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率【考点】频率分布直方图；函数模型的选择与应用；古典概型及其概率计算公式【分析】（1）利用频率分布直方图，列出函数的关系式即可（2）求出销量为20杯的有3天，记为a，b，c，销量为21杯的有2天，记为A，B，从这5天中任取2天，列出事件情况，求解概率即可【解答】解：（1）（2）由（1）可知：日销售量不少于20杯时，日利润不少于96元，日销售量为21杯时，日利润为97元，从条形图可以看出，销量为20杯的有3天，记为a，b，c，销量为21杯的有2天，记为A，B，
25、从这5天中任取2天，包括（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B），共10种情况，其中选出的2天销量都为21天的情况只有1种，故其概率为20如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为矩形，E为PC的中点，且（1）过点A作一条射线AG，使得AGBD，求证：平面PAG平面BDE；（2）若点F为线段PC上一点，且DF平面PBC，求四棱锥FABCD的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定【分析】（1）在矩形ABCD中，连结AC和BD交于点O，连接OE，则O是AC的中点，从而OEPA，进而PA
26、平面BDE，由AGBD，得AG平面BDE，由此能证明平面PAG平面BDE（2）由DFPC，过F作FKPD，交CD于K，则FK底面ABCD，由此能求出四棱锥FABCD的体积【解答】证明：（1）在矩形ABCD中，连结AC和BD交于点O，连接OE，则O是AC的中点，E是PC的中点，OE是PAC的中位线，OEPA，又OE平面BDE，PA平面BDE，PA平面BDE，又AGBD，同理得AG平面BDE，PAAG=A，平面PAG平面BDE解：（2）DF平面PBC，DFPC在RtPDC中，PD=4，CD=8，DF=，FC=，=，过F作FKPD，交CD于K，则FK=，PD底面ABCD，FK底面ABCD，21已知椭
27、圆的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（m，0）为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，证明：|PA|2+|PB|2为定值【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）根据离心率及通径构造方程组，求得a，b（2）直线与椭圆联立，根据韦达定理，弦长公式，采用设而不求法，证明|PA|2+|PB|2为定值【解答】解：（1）由题意可得方程组解得故椭圆标准方程为（2）设l的方程为，代入并整理得：25y2+20my+8（m225）=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又=，同理则=41所以|PA|2+|PB|2是定值22已知函数
28、（kR）的最大值为h（k）（1）若k1，试比较h（k）与的大小；（2）是否存在非零实数a，使得对kR恒成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）通过求导，利用导数研究函数的单调性，可得其极值与最值，对k分类讨论，即可比较出大小关系（2）由（1）知，可得设，求导令g（k）=0，解得k对a分类讨论即可得出g（k）的极小值最小值【解答】解：（1）令f（x）0，得0xek+1，令f（x）0，得xek+1，故函数f（x）在（0，ek+1）上单调递增，在（ek+1，+）上单调递减，故当k1时，2kk+1，；当k1时，2kk+1，（2）由（1）知，设，令g（k）=0，解得k=1当a0时，令g（k）0，得k1；令g（x）0，得k1，故当a0时，不满足对kR恒成立；当a0时，同理可得，解得故存在非零实数a，且a的取值范围为2017年3月26日
