1、第三讲函数与方程及函数的应用高考对本部分的考查有：(1)确定函数零点；确定函数零点的个数；根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围(2)函数简单性质的综合考查函数的实际应用问题(3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查利用函数性质解决相关的最值题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法一、零点存在性定理1、如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，
2、b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根注意以下两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点2、在处理二次函数问题时，要注意f(x)的几种常见表达形式(1)yax2bxc；(2)ya(xx1)(xx2)；(3)ya(xh)2k.应根据题目的特点灵活选用上述表达式二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210二次函数f(x)ax2bxc(a0)的零点分布情况根的分布(mnp为常数)x1x2m图象满足的条件(两根都小于m)mx1x2 (两根都大于m)3、应用函数模型解决实际问题的
3、一般程序二、与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答1在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)g (x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系2二次函数ya(xh)2k(a0)，xp，q的最值
4、问题实际上是研究函数在p，q上的单调性常用方法：(1)注意是“轴动区间定”，还是“轴定区间动”，找出分类的标准；(2)利用导数知识，最值可以在端点和驻点处寻找3f(x)0在p，q上恒成立问题，等价于f(x)min0，xp，q基础自测1在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B.C. D.【解析】显然f(x)ex4x3的图象连续不间断，又f10，f20.由零点存在定理知，f(x)在内存在零点【答案】C2函数的零点的个数为()A0B1 C2D3【解析】在同一平面直角坐标系内作出与的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点因此函数只有1个零点【答案】B3在用二分法求方程x3
5、2x10的一个近似解时，已知一个根在区间(1,2)内，则下一步可判定该根所在区间为_【解析】令f(x)x32x1，则f(1)12120，f(2)84130.f310，由ff(2)0知，下一步可判定该根在区间内4.(2014济南模拟)已知函数f(x)若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为()A(1,3)B(0,3)C(0,2) D(0,1)【解析】画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1，故选D.【答案】D5(2013陕西高考)在图291如图291所示的锐角三角形空地
6、中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_(m)【解析】设矩形花园的宽为y m，则，即y40x，矩形花园的面积Sx(40x)x240x(x20)2400，当x20 m时，面积最大【答案】20考点一 函数零点的确定与应用例(1)(2012天津高考)函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是()A0B1C2D3（2）(2009山东)若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_【解析】(1)因为f(x)2xln 23x20，所以函数f(x)2xx32在(0,1)上递增，且f(0)10210，所以有1个零点（2）函数f(x)的零点的个数就是函数
7、yax与函数yxa交点的个数，由函数的图象可知a1时两函数图象有两个交点，0a1时两函数图象有唯一交点，故a1.答案：(1，)方法与技巧确定函数零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有0.若有，则函数y在区间内必有零点.(3)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(4)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.跟踪练习：（1）(2013湖南)函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24
8、x5的图象的交点个数为()A3 B2C1 D0解析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图象及性质，考查对数值的取值范围的探究及数形结合思想由已知g(x)(x2)21，所以其顶点为(2,1)，又f(2)2ln 2(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)2ln x图象的下方，故函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24x5的图象有2个交点答案：B(2)(2014厦门模拟)函数f(x)ln(x2)的零点所在的大致区间是()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5)【解析】(1)令f(x)cos x0，则cos x，设函数y和ycos x，在同一坐标系下做出它们在0，)的图象，显然
9、两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数f(x)cos x在0，)内有且仅有一个零点(2)由题意知函数f(x)的定义域为x|x2，排除A.f(3)0，f(4)ln 20，f(5)ln 30，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，函数f(x)的零点在(3,4)之间，故选C.【答案】(1)B(2)C考点二 函数与方程的综合应用例(2013湛江模拟)已知函数f(x)x|mx|(xR)，且f(4)0，若关于x的方程f(x)k有三个不同实根，则实数k的取值范围是()A(0,2)B2,4 C(0,4) D0,4【自主解答】(1)由f(4)0得m4，f(x)x|4x|x|x4|作出其图象如图所示：由图象可
10、知k的取值范围是(0,4)跟踪练习：已知函数g(x)x(x0)若g(x)m有实数根，求m的取值范围；【思路点拨】可用基本不等式求出最值或数形结合法求解【尝试解答】法一g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因此，只需m2e，则g(x)m就有零点故当g(x)m有实数根时，m的取值范围为2e，)法二 作出g(x)x(x0)的大致图象如图：可知若使g(x)m有零点，则只需m2e.故当g(x)m有实数根时，m的取值范围为2e，)考点三 函数的实际应用例 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近
11、似满足如图294所示的曲线图294(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式yf(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间【思路点拨】本题考查幂函数、指数函数、对数函数模型的实际应用，解题的关键是利用已知条件确定函数解析式，然后解不等式【尝试解答】(1)由图象，设y当t1时，由y4得k4，由1a4得a3.所以y(2)由y0.25得或解得t5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5(小时) 跟踪练习 (2013陕西高考)在图291如图291所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_(m)【解析】设矩形花园的宽为y m，则，即y40x，矩形花园的面积Sx(40x)x240x(x20)2400，当x20 m时，面积最大【答案】20
