1、第三章 三角函数、解三角形与平面向量考点测试26 平面向量的概念及线性运算第一部分 考点通关练高考概览高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值 5 分，中、低等难度考纲研读 1.了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义第1步狂刷小题 基础练一、基础小题1下列等式：0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)其中正确的个数是()A2 B3 C4 D5解析 由零向量和相反向量的性质，知均正确答案解析2如图，设 P
2、，Q 两点把线段 AB 三等分，则下列向量表达式错误的是()A.AP13ABBAQ 23ABC.BP23ABDAQ BP解析 由数乘向量的定义可以得到 A，B，C 都是正确的，只有 D 错误答案解析3向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示若向量 ab 与 c共线，则实数()A2 B1C1 D2解析 由图可知 2abc，若向量 ab 与 c 共线，则 2.故选 D.答案解析4给出下列命题：向量AB的长度与向量BA的长度相等；向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；|a|b|ab|a 与 b 方向相同；若非零向量 a，b 的方向相同或相反，则 ab 与 a，b 之一的方向
3、相同其中叙述错误的命题的个数为()A1 B2 C3 D4答案解析 对于：当 a0 时，不成立；对于：当 a，b 之一为零向量时，不成立；对于：当 ab0 时，ab 的方向是任意的，它可以与 a，b 的方向都不相同故选 C.解析5在ABCD 中，E 为 AC 上一点，且AC3AE，记AD a，ABb，则BE()A23a13bB13a23bC.43a13bD43a13b答案解析 如图，BEBAAEAB13AC AB13(ABAD)23AB13AD 13a23b.故选 B.解析6已知向量 ae12e2，b2e1e2，则 a2b 与 2ab()A一定共线B一定不共线C当且仅当 e1 与 e2 共线时共
4、线D当且仅当 e1e2 时共线解析 由 a2b5e1，2ab5e2 可知，当且仅当 e1 与 e2 共线时，两向量共线故选 C.答案解析7给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；a0(为实数)，则 必为零；，为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中错误的命题的个数为()A0 B1 C2 D3解析 错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；错误，当 a0 时，不论 为何值，a0；错误，当 0 时，ab0，此时 a 与 b 可以是任意向量所以错误的命题有 3 个，故选 D.答案解析8已知向量 a，b 不共线，且 cab，da(21)b，若 c 与 d 反向共线，则实数 的值为()
5、A1 B12C1 或12D1 或12解析 由于 c 与 d 反向共线，则存在实数 k 使 ckd(k0)，于是 abka(21)b整理得 abka(2kk)b.由于 a，b 不共线，所以有k，2kk1，整理得 2210，解得 1 或 12.又因为 k0，所以 0，故 12.答案解析9设 a0 为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若a 与 a0 平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0 平行且|a|1，则 aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0
6、平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.答案解析10已知 G 是ABC 的重心，若GC xAByAC，x，yR，则 xy()A1 B1 C13D13答案解析 由题意，画图如右：由重心的定义，可知，AG 23AD 2312(ABAC)13(ABAC)，GC ACAG AC13(ABAC)13AB23AC.xy132313.故选 C.解析11已知 a，b 是不共线的向量，ABab，ACab，R，则 A，B，C 三点共线的充要条件为()A2 B1C1 D1解析 A，B，C 三点共线，ABAC，设ABmAC(m0)，
7、则 abm(ab)，a，b 不共线，m，1m，1，故选 D.答案解析12已知在四边形 ABCD 中，O 是四边形 ABCD 内一点，OA a，OB b，OC c，OD abc，则四边形 ABCD 的形状为()A梯形B正方形C平行四边形D菱形解析 因为OD abc，所以AD cb，又BCcb，所以AD BC且|AD|BC|，所以四边形 ABCD 是平行四边形故选 C.答案解析二、高考小题13(2018全国卷)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB()A.34AB14ACB14AB34ACC.34AB14ACD14AB34AC答案解析 如图，在ABC 中，根据向量的
8、运算法则，可得EBABAEAB12AD AB14(ABAC)34AB14AC，故选 A.解析14(2015全国卷)设 D 为ABC 所在平面内一点，BC3CD，则()A.AD 13AB43ACBAD 13AB43ACC.AD 43AB13ACDAD 43AB13AC解析 AD ABBD ABBC CD AB43BC AB43(AC AB)13AB43AC.故选 A.答案解析15(2015北京高考)在ABC 中，点 M，N 满足AM 2MC，BNNC.若MN xAByAC，则 x_；y_.解析 如图在ABC 中，MN MA ABBN23ACAB12BC23ACAB12(ACAB)12AB16AC
9、.x12，y16.12解析16三、模拟小题16(2019河北衡水中学一模)如图，在等腰梯形 ABCD 中，DC12AB，BCCDDA，DEAC 于点 E，则DE()A.12AB12ACB12AB12ACC.12AB14ACD12AB14AC答案解析 由题意得，DE 12DA 12DC 12(DC CA)12DC DC 12AC12AB12AC.故选 A.解析17(2019厦门模拟)如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，ABa，ACb，则AD 等于()Aa12bB12abCa12bD12ab答案解析 连接 CD.由点 C，D 是半圆弧的三等分点，得 CDAB
10、 且CD 12AB12a，所以AD ACCD b12a.故选 D.解析18(2019辽宁丹东五校协作体联考)P 是ABC 所在平面上的一点，满足PAPBPC2AB，若 SABC6，则PAB 的面积为()A2 B3 C4 D8解析 因为PAPBPC2AB2(PBPA)，所以 3PAPBPCCB，所以PACB，且方向相同，所以SABCSPABBCAP|CB|PA|3，所以 SPABSABC32.答案解析19(2020安阳高三摸底考试)已知平面内一点 P 及ABC，若PAPBPCAB，则点 P 与ABC 的位置关系是()A点 P 在线段 AB 上B点 P 在线段 BC 上C点 P 在线段 AC 上D
11、点 P 在ABC 外部解析 由PAPBPCAB，得PAPBPCPBPA，即PC2PA，故点 P 在线段 AC 上答案解析20(2019安徽合肥市高三第二次质检)在ABC 中，BD 12DC，则AD()A.14AB34ACB23AB13ACC.13AB23ACD13AB23AC答案解析 解法一：因为BD 12DC，所以 B，D，C 三点共线，且BD 13BC，如图，过点 D 分别作 AC，AB 的平行线交 AB，AC 于点 E，F，则四边形AEDF 为平行四边形，所以AD AEAF.因为BD 13BC，所以AE23AB，AF13AC，所以AD 23AB13AC，故选 B.解析解法二：因为BD 1
12、2DC，所以BD 13BC，所以AD ABBD AB13BCAB13(ACAB)23AB13AC，故选 B.解法三：因为BD 12DC，所以BD 13BC，所以AD AB13(ACAB)，所以AD AB13(ACAB)23AB13AC，故选 B.解析21(2019云南大理高三模拟)如图，A，B 分别是射线 OM，ON 上的点，给出下列向量：OA 2OB；12OA 13OB；34OA 13OB；34OA 15OB；34OA 15OB.若这些向量均以 O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有()ABCD答案解析 在 ON 上取点 C，使得 OC2OB，以 OA，OC 为邻边作平行四边形 O
13、CDA，则OD OA 2OB，其终点不在阴影区域内，排除 A，C；取OA 上一点 E，作 AE14OA，作 EFOB，交 AB 于点 F，则 EF14OB，由于 EF13OB，所以34OA 13OB 的终点不在阴影区域内，排除 D，故选 B.解析22(2019陕西渭南高三模拟)给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则 ab 或 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，且ABDC，则四边形 ABCD 为平行四边形；ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中真命题的序号是_解析 是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的
14、起点和终点是错误的，|a|b|，但 a，b 方向不确定，所以 a，b 的方向不一定相同或相反是正确的，因为ABDC，所以|AB|DC|且ABDC；又 A，B，C，D 是不共线的四点，所以四边形 ABCD 为平行四边形是错误的，当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，所以|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件解析23(2020浙江嘉兴高三质量检测)已知 A1，A2，A3 为平面上三个不共线的定点，平面上点 M 满足A1M(A1A2 A1A3)(是实数)，且MA1 MA2 MA3 是单位向量，则这样的点 M 有_个解析 由题意得，MA1(A1A2 A1A3
15、)，MA2 MA1 A1A2，MA3 MA1A1A3，所以MA1 MA2 MA3(13)(A1A2 A1A3)，设 D 为 A2A3 的中点，则(13)(A1A2 A1A3)为与A1D 共起点且共线的一个向量，显然直线 A1D 与以 A1 为圆心的单位圆有两个交点，故这样的点 M 有 2 个，即符合题意的点M 有 2 个解析2 第2步精做大题 能力练一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2019山东德州高三模拟)如图，EF 是等腰梯形 ABCD 的中位线，M，N 是 EF 上的两个三等分点，若ABa，BCb，AB2DC.(1)用 a，b 表示AM；(2)证明 A，M，C
16、三点共线解(1)AD ABBCCD ab12a 12ab，又 E 为 AD 的中点，所以AE12AD 14a12b，因为 EF 是梯形的中位线，且AB2DC，所以EF12(ABDC)12a12a 34a.又 M，N 是 EF 的三等分点，所以EM 13EF14a，所以AM AEEM 14a12b14a12a12b.解(2)证明：由(1)知MF 23EF12a，所以MC MF FC12a12bAM，又MC 与AM 有公共点 M，所以 A，M，C 三点共线解2(2019泰安模拟)如图所示，在ABO 中，OC 14OA，OD 12OB，AD 与 BC 相交于点 M，设OA a，OB b.试用 a 和
17、 b 表示向量OM.解 设OM manb，则AM OM OA manba(m1)anb，AD OD OA 12OB OA a12b.又 A，M，D 三点共线，AM 与AD 共线存在实数 t，使得AM tAD，即(m1)anbta12b.(m1)anbta12tb.解m1t，nt2，消去 t 得 m12n，即 m2n1.又CM OM OC manb14am14 anb，CBOB OC b14a14ab.又 C，M，B 三点共线，CM 与CB共线解存在实数 t1，使得CM t1CB，m14 anbt114ab，m1414t1，nt1，消去 t1 得 4mn1.由得 m17，n37，OM 17a37b.解本课结束
