1、第一部分 考点通关练第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数单元质量测试(五)解析 由 z2ii 2iii212i，知其在复平面内对应的点的坐标为(1，2)，该点位于第四象限，故选 D.答案解析第卷(选择题，共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1复数 z2ii(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析 由 2z1zi，得 2ziiz，则 z i2ii2i2i2i1525i，所以|z|152252 55.故选 C.答案解析2已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 2z1zi，则|z|()A5 B 5C 55D
2、15解析 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推出丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人所以选 C.答案解析3(2019南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确的是()A甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析 由 mn0，pq|n|0，|p|q|0，所以|np|mq.而mp与nq的大小无法比较，故选 B.答案解析4若
3、mn0，pqnpBmqnqDmpnq解析 因为 x0，所以要证1x1x2，只需证(1x)21x22，即证 0 x24，即证 x20，故索的因是 x20.答案解析5分析法又称执果索因法，已知 x0，则用分析法证明1x1x2时，索的因是()Ax22 Bx24 Cx20 Dx216南宋数学家秦九韶在数书九章中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知 f(x)2019x20182018x20172x1，程序框图设计的是求 f(x0)的值，在 M 处应填的执行语句是()解析 由题意知，n 的值为多项式的系数，由程序框图可知，处理框处应该填入 n2019i.故选 B.答案解析An2018iB
4、n2019iCni1 Dni2答案7已知平面区域：3x4y180，x2，y0夹在两条斜率为34的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为 m.若点 P(x，y)，则 zmxy 的最小值为()A.95B3 C245D6解析 由约束条件作出可行域如图中阴影部分，平面区域 夹在两条斜率为34的平行直线之间，且两条平行直线间的最短距离为 m，m|3218|5125.令 zmxy125 xy，则 y125 xz，由图可知，当直线 y125 xz 过 B(2,3)时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值245 395.故选A.解析8(2019四川省内江二模)执行下面的程序框图，若输出的 S110，
5、则判断框处为()Ak11?答案解析 由程序框图可知，该程序是计算 S242kk22k2k(k1)，由 Sk(k1)110，得 k10，则当 k10 时，kk110111 不满足条件，所以条件为“k10？”故选 C.解析解析 点 P(a，b)(ab0)满足|AP|2|BP|，|AP|24|BP|2，即(a4)2b24(a1)2b2，化简得 a2b24，则4a2 1b2(a2b2)414b2a2 a2b252 4b2a2 a2b2549当且仅当a22b283时等号成立，4a2 1b2的最小值为94，故选 D.答案解析9在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(1,0)，点 P(a，b)(ab0)满足|
6、AP|2|BP|，则 4a2 1b2的最小值为()A4 B3 C32D94答案10(2019山东滨州模拟)已知变量 x，y 满足约束条件x2，3xy1，yx1，若zaxby(a0，b0)的最小值为 2，则 ab 的最大值为()A1 B12C14D16解析 作出不等式组满足的可行域如图中阴影部分所示，目标函数 zaxby(a0，b0)，故当 x，y 均取最小值时，z 取到最小值即当 x2，y3 时，zaxby 取得最小值 2，即 2a3b2，所以 2a3b2a3b241，当且仅当 2a3b1，即 a12，b13时等号成立，所以(6ab)max1，即(ab)max16.解析11(2019河南郑州三
7、模)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如 6613 用算筹表示就是：，则 5288 用算筹式可表示为()解析 由题意可知，5288 用算筹式表示，从左到右依次是横式 5，纵式 2，横式 8，纵式 8.故选 C.答案解析答案12(2019邯郸调研)若正数 a，b 满足1a1b1，
8、则 4a1 16b1的最小值为()A16 B25 C36 D49解析 因为 a，b0，1a1b1，所以 abab，所以4a1 16b14b116a1a1b14b16a20abab14b16a20.又 4b16a4(b4a)4(b4a)1a1b 204ba4ab 2042 ba4ab 36，当且仅当ba4ab 且1a1b1，即 a32，b3 时取等号所以 4a1 16b1362016，即 4a1 16b1的最小值为 16.解析第卷(非选择题，共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13(2019长春质检二)更相减损术是出自九章算术的一种算法，如图所示的程序框图
9、是依据更相减损术写出来的，若输入 a91，b39，则输出 a 的值为_答案 13答案解析 第一次循环得：a913952；第二次循环得：a523913；第三次循环得：b391326；第四次循环得：b261313，此时 ab，所以输出 a 的值为 13.解析答案 2 2解析 由 f(x)的定义域为 R，且 f(x)为奇函数，则有 f(0)ln aln b0，即 ab1(a0，b0)从而1a2b22ab2 2，当且仅当1a2b，即 a 22，b 2时，取等号故1a2b的最小值为 2 2.答案解析14(2019大庆质检一)若 f(x)exln aexln b 为奇函数，则1a2b的最小值为_答案(3,
10、5)答案15(2019豫南九校联考)已知不等式组xy10，xy10，2xy20表示的平面区域为 D，若对任意的(x，y)D，不等式 t4x2y6t4 恒成立，则实数 t 的取值范围是_解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)设 zx2y6，平移直线 y12x，可知 zx2y6 在 A(3,4)处取得最小值 1，在 C(1,0)处取得最大值 7，所以t47，解得 3t0，y0，3xyxy1.解18(2019湖南浏阳调研)(本小题满分 12 分)已知 lg(3x)lg ylg(xy1)(1)求 xy 的最小值；(2)求 xy 的最小值(1)
11、x0，y0，lg(3x)lg ylg(xy1)，3xyxy12 xy1.3xy2 xy10，即 3(xy)22 xy10.(3 xy1)(xy1)0.xy1，xy1.当且仅当 xy1 时，等号成立xy 的最小值为 1.解(2)x0，y0，xy13xy3xy22.3(xy)24(xy)40.3(xy)2(xy)20.xy2.当且仅当 xy1 时取等号，xy 的最小值为 2.解解 不等式 x2x20 的解集是(，1)(2，)不等式 2x2(2k5)x5k0，即为(2x5)(xk)52不符合题意；解19(本小题满分 12 分)关于 x 的不等式组x2x20，2x22k5x5k0 的整数解的集合为2，
12、求实数 k 的取值范围当k52，即 k52时，(*)无解，也不符合题意；当k52，即 k52时，(*)的解集是52，k.要使不等式组的整数解的集合为2，借助数轴可得2k3，解得3k2，又 k52，所以3k2.综上，实数 k 的取值范围是3,2)解20(本小题满分 12 分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知 a1，a2R，a1a21，求证：a21a2212.证明：构造函数 f(x)(xa1)2(xa2)2，则 f(x)2x22(a1a2)xa21a222x22xa21a22，因为对一切 xR，恒有 f(x)0，所以 48(a21a22)0，从而得 a21a2212.(1)若 a1，
13、a2，anR，a1a2an1，请写出上述结论的推广式；(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明解(1)若 a1，a2，anR，a1a2an1，则 a21a22a2n1n.(2)证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2，则 f(x)nx22(a1a2an)xa21a22a2nnx22xa21a22a2n，因为对一切 xR，恒有 f(x)0，所以 44n(a21a22a2n)0，从而得 a21a22a2n1n.解21(本小题满分 12 分)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转
14、化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y12x2200 x80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为yx12x80000 x200212x80000 x200200(400 x600)，当且仅当12x80000 x，即 x400 时等号
15、成立故该单位每月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元解(2)不获利设该单位每月获利为 S 元，则S100 xy100 x12x2200 x8000012x2300 x8000012(x300)235000.400 x600，Smax12(400300)23500040000.故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴 40000 元才能不亏损解解(1)T3S32，T4S452，T5S53，T6S672.解22(本小题满分 12 分)设集合 M1,2,3，n(n3，nN*)，记 M的含有三个元素的子集的个数为 Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，
16、取出中间的数，所有这些中间的数的和记为 Tn.(1)求T3S3，T4S4，T5S5，T6S6的值；(2)猜想TnSn的表达式，并证明(2)猜想TnSnn12(n3，nN*)下面用数学归纳法证明当 n3 时，由(1)知猜想成立；假设当 nk(k3，kN*)时，猜想成立，即TkSkk12，而 SkC3k，所以 Tkk12 C3k.则当 nk1 时，易知 Sk1C3k1，而当集合 M 从1,2,3，k变为1,2,3，k，k1时，Tk1 在 Tk的基础上增加了 1 个 2,2 个 3,3 个 4，(k1)个 k，解所以 Tk1Tk213243k(k1)k12 C3k2(C22C23C24C2k)k12 C3k2(C33C23C24C2k)k22 C3k12C3k1k22 C3k1k112Sk1，故Tk1Sk1k112.所以当 nk1 时，猜想也成立综上所述，猜想成立，即TnSnn12(n3，nN*)解本课结束
