1、第3讲圆周运动及应用一、匀速圆周运动如果物体沿着圆周运动并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。思考辨析1匀速圆周运动在任意相等的时间内通过的位移相同。()2做匀速圆周运动的物体的线速度是不断变化的。()二、描述圆周运动的物理量思考辨析1匀速圆周运动是匀变速曲线运动。()2匀速圆周运动的周期、转速都恒定不变。()3简述匀速圆周运动的向心加速度与半径的关系。提示：a2rr。三、匀速圆周运动的向心力1作用效果：产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。2来源：可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。思考辨析1匀速圆周运动向心力的大小：Fmamm
2、2rmrmv42mf2r。2向心力的方向：始终沿半径指向圆心方向，时刻在改变，即向心力是一个变力。四、离心现象离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供做圆周运动所需向心力的情况下，做逐渐远离圆心的运动。思考辨析1做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周切线方向做匀速直线运动。()2(1)当Fm2r时，物体做匀速圆周运动。(2)当F0时，物体沿圆周切线方向飞出。(3)当F m2r时，物体逐渐靠近圆心，做近心运动。考点1圆周运动的运动学问题(基础考点)1(2018江苏高考)(多选)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在 10 s 内匀速转过
3、了约 10。在此10 s时间内，火车()A运动路程为600 mB加速度为0C角速度约为1 rad/sD转弯半径约为3.4 kmAD解析：圆周运动的弧长svt6010 m600 m，选项A正确；火车转弯是圆周运动，圆周运动是变速运动，所以合力不为0，加速度不为0，故选项B错误；由题意得圆周运动的角速度3.14 rad/s rad/s，又vr，所以 r180 m3 439 m，故选项C错误，D正确。2(多选)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RBRC，若在传动过程中，皮带不打滑，则()AA点与C点的角速度大小相等BA点与C点的线速度大小相等CB点
4、与C点的角速度大小之比为21DB点与C点的向心加速度大小之比为14BD解析：传动装置中，同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度大小相等；同轴转动的点，角速度大小相等。对于本题，显然vAvC，AB，选项B正确；根据vAvC 及关系式vR，可得ARA CRC，又RC，所以A，选项A错误；根据AB，A，可得B，即B点与C点的角速度大小之比为12，选项C错误；根据 B 及关系式a2R，可得aB，即B点与C点的向心加速度大小之比为14，选项D正确。3如图所示，B和C是一组塔轮，即B、C两轮半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RBRC32。A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其
5、中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘上的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的()A线速度大小之比为322B角速度之比为332C转速之比为232D向心加速度大小之比为964D解析：A、B两轮摩擦传动，故vavb，即 aRAbRB，则ab32；B、C两轮同轴转动，故bc，即 ，则vbvc32，因此vavbvc332，abc322，故A、B错误。转速之比等于角速度之比，故C错误。由av，得aaabac964，故D正确。常见的三种传动方式及特点类型模型模型解读皮带传动皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘的线速度大小相等，即vAvB摩擦(或齿轮)传动两
6、轮边缘接触，接触点无相对滑动时，两轮边缘的线速度大小相等，即 vAvB同轴传动绕同一转轴转动的物体，角速度相同，AB，由vr知v与r成正比考点2圆周运动的动力学问题(能力考点)考向1向心力的来源典例(2020全国卷)如图所示，一同学表演荡秋千，已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg，绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为 8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为()A200 N B400 N C600 N D800 N(1)秋千运动至最低点时，重力和绳子的拉力的合力提供向心力。(2)秋千受到两根绳子的拉力。(3)根据向心力和速度的关系列式
7、求解。【自主解答】B解析：秋千运动至最低点时，重力和绳子的拉力的合力提供该同学做圆周运动所需的向心力。设每根绳子的拉力为T，则2Tmgm，代入数据解得T410 N。故选B。【技法总结】求解圆周运动问题的“一、二、三、四”考向2水平面内圆周运动的临界问题典例如图所示，用一根长为l1 m的细线，一端系一质量为m1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角37，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为时，细线的张力为T(g取 10 m/s2，结果可用根式表示，sin 370.6，cos 370.8)。(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度0至少为多大？(2
8、)若细线与竖直方向间的夹角为60，则小球的角速度为多大？解此题注意以下两点：(1)小球离开锥面的临界条件是小球仍沿锥面运动，受到的支持力为0。(2)细线与竖直方向间的夹角为60时，小球离开锥面，做圆锥摆运动。【自主解答】解析：(1)若要小球刚好离开锥面，此时小球只受到重力和细线的拉力，如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向上运用牛顿第二定律及向心力公式得mgtan mlsin 解得0 rad/s。(2)当细线与竖直方向成60角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式有mgtan m2lsin 解得2 rad/s。答案：(1) rad/s(2)2 rad/
9、s1.如图所示，一细绳一端系一小球，另一端固定，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则下列细绳拉力F、悬点到轨迹圆心高度 h、向心加速度a、线速度v与角速度平方2的关系图像正确的是() AB CDA解析：设细绳长度为l，小球做匀速圆周运动时，细绳与竖直方向间的夹角为，细绳拉力为F，则有Fsin m2lsin ，得Fm2l，选项A正确；又 mgtan m2lsin ，得hlcos ，选项B错误；小球的向心加速度a2lsin ，选项C错误；小球的线速度vlsin ，选项D错误。2(多选)如图所示，匀速转动的水平圆盘上放有质量分别为2 kg和3 kg的小物体A、B，A、B间用
10、细线沿半径方向相连。它们到转轴的距离分别为rA0.2 m、rB0.3 m。A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的k倍，k0.4，g取10 m/s2。现极其缓慢地增大圆盘的角速度，则下列说法正确的是()A当A达到最大静摩擦力时，B受到的摩擦力大小为12 NB当A恰好达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度为5 rad/sC当细线上开始有弹力时，圆盘的角速度为 rad/sD在细线上有弹力后的某时刻剪断细线，A将做向心运动，B将做离心运动AC解析：增大圆盘的角速度，B先达到最大静摩擦力，所以A达到最大静摩擦力时，B受到的摩擦力大小为FBkmBg12 N，A正确；设A达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度为1，此时
11、细线的拉力为T，则对A有kmAgTmArA，对B有TkmBgmBrB，得110 rad/s3.9 rad/s，B错误；当细线上开始有弹力时，对B有kmBgmBrB，解得 2 rad/s，C正确；在细线上有弹力后的某时刻剪断细线，A将随圆盘做圆周运动，B将做离心运动，D错误。3(2020青岛模拟)我国改革开放以来，高速公路从无到有，通车总里程达到14.3万公里，位居世界第一。科学研究表明，在过于平坦、笔直的路面上高速行车极易发生车祸，在修建高速公路时要间隔设计弯道，迫使司机集中注意力并控制车辆行驶速度，从而减少车祸的发生。高速公路某处弯道半径为R，路面宽度为d，路面内外侧高度差为h，且路面倾角很
12、小，可以认为tan sin ，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为，重力加速度为g，则汽车通过该弯道的最合理速度为()A B C DC解析：汽车转弯时没有侧向的摩擦力，由重力和支持力的合力提供汽车转弯所需的向心力时的速度是最合理的速度，汽车受力如图所示。由牛顿第二定律得mgtan m，因路面倾角很小，可认为tan sin ，联立解得v，故A、B、D错误，C正确。4如图所示，转动轴垂直于光滑水平面，交点O的上方h(A点)处固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一质量为m的小球B，绳长l大于h，转动轴带动小球在光滑水平面上做圆周运动。当转动的角速度逐渐增大时，下列说法正确的是()A小球始终受三个力的作用B细绳
13、上的拉力始终保持不变C要使小球不离开水平面，角速度的最大值为D若小球飞离了水平面，则角速度可能为C解析：小球可以在水平面上转动，也可以飞离水平面，飞离水平面后只受重力和细绳的拉力两个力作用，故选项A错误；小球飞离水平面后，随着角速度增大，细绳与竖直方向间的夹角变大，设为，由牛顿第二定律得Tsin m2lsin ，可知随角速度变化，细绳的拉力T会发生变化，故选项B错误；当小球对水平面的压力为0时，有Tcos mg，Tsin m2lsin ，解得临界角速度为，若小球飞离了水平面，则角速度大于，而 时，可以通过最高点，Nmgm，绳、轨道对球产生弹力N当v 时，不能通过最高点，在到达最高点前，小球已经
14、脱离了圆轨道做斜抛运动考向2竖直面内的“轻杆”模型典例(多选)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A小球通过最高点时的最小速度vmin B小球通过最高点时的最小速度vmin0C小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力【自主解答】BC解析：小球沿管道上升到最高点时的速度可以为0，故A项错误，B项正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力N与小球的重力在背离圆心方向的分力G的合力提供向心力，即NGm，因此，
15、外侧管壁一定对小球有作用力，而内侧管壁无作用力，C项正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球是否受外侧管壁的作用力与小球的速度大小有关，D项错误。【核心归纳】球杆模型实例如球与轻杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等图示最高点有支撑最高点受力特征重力、弹力，弹力方向向下、等于0或向上受力示意图力学特征mgNm临界特征竖直向上的Nmg，v0过最高点的条件v0速度和弹力关系的讨论分析当v0时，Nmg，N为支持力，沿半径背离圆心当0v 时，mgNm，N指向圆心，并随v的增大而增大分析竖直平面内圆周运动问题的思路1(2021东营模拟)如图所示，轻杆一端与一质量为m的小球相连，另一端连在光滑固定轴上，
16、轻杆可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是()A小球在运动过程中的任何位置对轻杆的作用力都不可能为0B当轻杆运动到水平位置时，轻杆对小球的拉力大小不可能等于mgC小球运动到最低点时，对轻杆的拉力可能等于4mgD小球运动到最低点时，对轻杆的拉力一定不小于6mgB解析：小球在轻杆的作用下做圆周运动，在最高点时，若mgFn，则小球对轻杆的作用力为0，A错误；假设当轻杆运动到水平位置时，轻杆对小球的拉力等于重力，则有mgm，此时小球的动能为 mvmgr，由机械能守恒定律可知，小球不可能运动到最高点，不能完成完整的圆周运动，假设不成立
17、，B正确；若小球恰能完成完整的圆周运动，则在最高点时，小球的速度为0，在最低点时，小球的动能为2mgr，则Fmgm4mg，由牛顿第三定律，可知小球对轻杆的作用力最小为5mg，C、D错误。2(2020重庆模拟)如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。它可等效为一质点在圆轨道外侧运动的模型，如图乙所示。在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点。质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，所受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F，当质点以速率v 通过A点时，对轨道的压力为其重力的8倍，不计摩擦和空气阻力，质点质量为m
18、，重力加速度为g，则()A强磁性引力的大小F7mgB质点在A点对轨道的压力小于在B点对轨道的压力C只要质点能做完整的圆周运动，则质点对A、B两点的压力差恒为5mgD若强磁性引力大小恒为2F，为确保质点做完整的圆周运动，则质点通过B点的最大速率为 D解析：在A点，对质点由牛顿第二定律有FmgFAm，根据牛顿第三定律有FAFA8mg，联立解得F8mg，故A错误；质点能完成完整的圆周运动，在A点根据牛顿第二定律有FmgNAm，根据牛顿第三定律有NANA，在B点根据牛顿第二定律有FmgNBm，根据牛顿第三定律有NBNB，质点从A点运动到B点的过程中，根据机械能守恒定律有mg2Rmvmv，联立解得NAN
19、B6mg，故B、C错误；若强磁性引力大小恒为2F，在B点根据牛顿第二定律有2FmgFBm，当FB0时，质点速度最大，联立解得 vB，故D正确。3如图所示，一质量为m0.5 kg的小球，用长为 0.4 m 的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取 10 m/s2，则：(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳的拉力多大？(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？解析：(1)在最高点，对小球受力分析如图甲所示，由牛顿第二定律得mgF1由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，则 F1不可能取负值，即F10联立解得v代入数值
20、得v2 m/s所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。(2)由牛顿第二定律得mgF2m将v24 m/s代入得F215 N。(3)由分析可知，小球在最低点时，轻绳的张力最大，对小球受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律得F3mg将F345 N代入得v34 m/s即小球的速度不能超过4 m/s。答案：(1)2 m/s(2)15 N(3)4 m/s圆周运动由于其转动的周期性，和其他形式的运动结合时，往往会出现多解问题，解决此类问题的关键是分析清楚产生多解的原因，从最简单的解入手，找到其中蕴含的规律。典例如图所示，在同一竖直平面内有A、B两物体，A物体从a点起以角速度沿顺时针方向做半
21、径为R的匀速圆周运动，同时B物体从圆心O自由下落，要使A、B两物体在d点相遇，求角速度必须满足的条件。【自主解答】解析：B物体从圆心O下落到d点的运动是自由落体运动，B物体从O点下落到d点所用的时间t1满足Rgt，所以t1A物体做匀速圆周运动，从a点运动到d点转过的角度应满足2n(n0、1、2、)所用时间t2(n0、1、2、)t1t2，即(n0、1、2、)解得(n0、1、2、)。答案：(n0、1、2、)【技法总结】解决圆周运动多解问题的方法(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题。两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移，寻求联系点是解题的突破口。(2)注意圆周运动的
22、周期性造成的多解。分析时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据圆周运动的周期性，在转过的角度上再加上2n，具体n的取值应视情况而定。变式如图所示，用薄纸做成的圆筒直径为D，水平放置，绕圆筒轴线OO以角速度0逆时针匀速运动。一玩具手枪发出的子弹，沿水平方向匀速飞来(不计子弹重力影响)，沿圆筒的直径方向击穿圆筒后飞出(设薄纸对子弹的运动速度无影响，且认为圆筒没有发生形变)，结果子弹在圆筒上只留下一个洞痕，求子弹的速度。解析：由于子弹在圆筒上只留下了一个洞痕，考虑匀速圆周运动的周期性，故有2n0t(n0、1、2、3、)解得t(n0、1、2、3、)所以v (n0、1、2、3、)。答案： (n0、1、2、3、)
