1、西城区数学抽样测试(文科)1997.5一、选择题：本大题共15小题；第110题每小题4分,第1115题每小题5分,共65分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的题号123456789101112131415答案(1)非空集合P、Q、R,满足关系PQ=Q,QR=Q,则P、R的关系是 (A)P=R (B)PR (C)PR (D)PR=(2)如果(x3+1/x3)n的展开式中,只有第6项的系数最大,那么不含x的项是 (A)462 (B)252 (C)210 (D)10(3)一个圆台的母线长是上下底面半径的等差中项,且侧面积为18cm2,那么母线长是 (A)9cm (B)2 3cm (C)
2、3cm (D) 3cm(4)已知复数z=(aR),且z=2/3,则a等于 (A) 3 (B)- 3 (C) 3或- 3 (D)3(5)y=2cos(/4-2x)的单调递减区间是 (A)xk/8xk5/8,kZ (B)xk-3/8xk+/8,kZ (C)x2k+/8x2k+5/8,kZ (D)x2k-3/8x2k+/8,kZ(6)圆锥曲线3x2-y2-6x-4y+2=0的焦点坐标是(A)(1,0),(1,-4) (B)(3,-2),(-1,-2)(C)(1+ 2,-2),(1- 2,-2) (D)(1,-2+ 2),(1,-2- 2)(7)下面四个命题经过两两相交的三条直线可以确定一个平面过平面
3、外一点,有且仅有一个平面和这个平面垂直平面内不共线的三点,到平面的距离相等,则两个平面垂直,过其中一个平面内一点作它们交线的垂线,则此垂线垂直于另一个平面 其中真命题的个数是 (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个(8)已知椭圆9x2+(k+8)y2=9k+12的离心率e=1/2,则k的值为 (A)4 (B)-5/4 (C)4或-5/4 (D)4或5/4(9)若an是等差数列,公差为1/2,且S100=145,则a1+a3+a5+a99的值是 (A)60 (B)85 (C)145/2 (D)70(10)设zn=(1-i)/2n,nN.记Sn=|z2-z1|+|z3-z2|+|zn+1-
4、zn|,则Sn的值是 (A)-1- 2 (B)1+ 2/2 (C)-1+ 2 (D)1- 2/2(11)用0,1,2,3,4五个数字,可以组成比2000大,且百位数字不是3的四位数共有 (A)24个 (B)36个 (C)72个 (D)60个(12)过双曲线2x2-y2-8x+6=0的右焦点,作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l存在 (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条(13)设是第二象限的角,tg=-4/3,且sin(/2)cos(/2),则cos(/2)等于 (A)-3/5 (B) 5/5 (C)- 5/5 (D)-3/5或- 5/5(14)如果函数f(x)
5、在(0,2)上是增函数,且关于x的函数y=f(x+2)是偶函数,那么下列结论中正确的是 (A)f(1)f(5/2)f(7/2) (B)f(7/2)f(1)f(5/2) D1 C1 (C)f(7/2)f(5/2)f(1) (D)f(5/2)f(1)0,且a1)()求f(x)的定义域； ()判断f(x)的奇偶性；()若f(x)loga2x,求x的取值范围(21)(满分11分)求值:cos(2/15)+cos(4/15)+cos(8/15)+cos(16/15)(22)(满分12分)在矩形ABCD中,AD=2AB=2a,E为AD的中点, A1沿BE把ABE折到A1BE位置,使A1C=A1D()求证：
6、平面A1BE平面BEDC； B C()求四棱锥A1-BCDE的体积 A E D(23)(满分10分)某工厂生产某种产品共m件,分若干批生产,每生产一批产品需用原料费为15000万元；每批生产需直接消耗管理费与该批生产产品的件数的立方成正比当生产的一批产品为5件时,需消耗管理费为1000万元()求每批生产需直接消耗的管理费与该批生产产品的件数的函数解析式；()每批生产多少件时,一年生产的总费用最低？(精确到1件)(其中3 7.5=1.957,3 75=4.217)(24)(满分12分)已知椭圆C的方程为(x-3)2+3y2=6,过原点的直线l交C于A、B两点,若以AB为直径的圆正好过C的左焦点,
7、求直线l的方程(25)(本小题满分12分)若a0,b0,且1/a+1/b=1()求证：a+b4；()求证：对一切nN,都有(a+b)n-an-bn22n-2n+1西城区数学(文)答案一、BBCCA AACAB DCCBA二、16.12 17.10 18.3+4i 19.5 19/2三、(20)解：()由(3+x)/(3-x)0 (1分) 解得 -3x1时,原不等式等价于不等式组: (3+x)/(3-x)2x 且 2x0 (7分) 解此不等式组,得0x1或3/2x3 (9分) 当0a0 (10分) 解此不等式组,得1x3/2 (12分)(21)解：原式=cos(2/15)+cos(8/15)+c
8、os(4/15)+cos(16/15) (1分) =2cos(/3)cos(/5)+2cos(2/3)cos(2/5) (3分) =cos(/5) - cos(2/5) (4分) =-2sin(3/10)-sin(/10) (5分) =2cos(/5)sin(/10) (6分) =2cos(/5)sin(/10)cos(/10)cos(/10) (7分) =sin(2/5)2cos(/10) (8分) =sin(/2)-(,10)2cos(/10) (9分) =cos(/10)2cos(/10) (10分) =1/2 (11分)(22)解：()取BE、CD的中点,分别为M、N,连AM,A1M,
9、A1N,MN (1分) AD=2AB,E是AD的中点,AB=AE,于是AMBE,即A1MBE (2分) 又A1C=A1D, CDA1N (3分) MN是直角梯形BEDC的中位线,CDMN (4分) 又A1NMN=N,CD平面A1MN (5分) A1M平面A1MN,A1MCD (6分) 在同一平面BCDE中,BE与CD不平行,必相交. 又A1M平面A1BE,平面A1BE平面BCDE (7分)() AD=2a,AB=a BC=2a,DE=a,CD=a (8分) S梯形BCDE=(DE+BE)CD/2=2a2/3 (10分) 高A1M=AM= 2a/2 VA1-BCDE=(1/3)(3/2)a2(
10、2/2)a= 2a3/4 (12分)(23)解：()设每批生产直接消耗管理费为S元,该批生产产品的件数为x件 依题意,得 S=kx3 (1分) 由x=5时,S=1000 有1000=k53 k=8 (2分) 所求函数解析式为S=8x3(xN) (3分) ()设每批生产x件时,一年生产的总费用为y万元 每生产一批产品的总费用为15000+8x3 (4分) 一年生产的总费用为y=m(15000/x+8x3) (5分) y=m(15000/x+8x2)=m(7500/x+7500/x+8x2) 3m 3 (7500/x)(7500/x)8x2 (7分) 当且仅当7500/x=8x2,x3=7500/
11、8 (8分) x=(1/2) 3 7500=5 3 7.551.9610 每批生产10件时,一年生产的总费用最低. (10分)(24)解：椭圆方程：(x-3)2/6+y2/2=1, 中心O1为(3,0) (1分) a2=6,b2=2, c2=a2-b2=6-2=4 c=2 左焦点F1(1,0) (3分) 设l的方程为y=kx A(x1,y1),B(x2,y2) 由 y=kx 与 (x-3)2+3y2=6 消去y得 (x-3)2+3k2x2-6=0 即 (3k2+1)x2-6x+3=0 (4分) =49-3(k2+1)0 6-9k20 k20,b0,且1/a+1/b=1 (a+b)/ab=1,即
12、a+b=ab (1分) a+b2 ab 即a+b2 a+b (2分) a+b( a+b -2)0,且a0,b0 a+b2 即a+b4 (4分)()(i)当n=1时:左边=0,右边=22-22=0 原式成立 (5分) (ii)假设当n=k,(kN)原不等式成立,即(a+b)k-ak-bk22k-2k+1 当n=k+1时,(a+b)k+1-ak+1-bk+1=(a+b)(a+b)k-ak-bk+akb+abk(*) (7分) 于是akb+abk2 akbabk=2 (ab)k+1 (8分)由()知ab4,代入上式,得akb+abk2 (ab)k+122k+1=2k+2 (10分) 代入(*) (a+b)k+1-ak+1-bk+14(22k-2k+1)+2k+2=22k+2-2k+2 (11分) 即n=k+1时,不等式成立 根据(i),(ii)可知,对一切nN,不等式成立 (12分)
