1、第二章 函数、导数及其应用单元质量测试(二)第一部分 考点通关练解析 函数 f(x)x，x1，x21，x1，f(2)2，f(1)112，f(2)f(1)220.答案解析第卷(选择题，共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1(2019四川省一诊)已知函数 f(x)x，x1，x21，x1，则 f(2)f(1)()A0 B1 C2 D3解析 设 f(x)xn，则f4f24n2n2n3，f12 12n 12n13，故选 C.答案解析2若 f(x)是幂函数，且满足f4f23，则 f12()A3 B3 C13D13解析 由 x211 得 x0，由 x213 得 x
2、2，所以函数的定义域可以是0，2，0，2，0，2，2，故值域为1,3的同族函数共有 3 个答案解析3(2020柳州摸底)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为 yx21，值域为1,3的同族函数有()A1 个B2 个C3 个D4 个解析 f(x4)f(x2)，f(x6)f(x)函数 f(x)的周期为 6.又 f(x)是偶函数，且当 x0,3时，f(x)6x，f(2021)f(53366)f(5)f(1)f(1)6116.故选 D.答案解析4已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x4)f(x2)，若当 x0,3时，f(x)6x，则
3、 f(2021)()A36 B 136C6 D16解析 12 f(x)dx111x2dx12(x21)dx21213x3x|21243.答案解析5(2019湖南湘中名校联考)设 f(x)1x2，x1，1，x21，x1，2，则12f(x)dx 的值为()A.243B23C.443D436函数 f(x)e|x|x21的图象大致为()解析 f(x)e|x|x21 e|x|x21f(x)，f(x)是偶函数，图象关于 y轴对称，排除 D；f(0)e00110，排除 C；当 x时，e|x|的递增速度大于 x21 的递增速度，即 f(x)，排除 B.故选 A.答案解析解析 当 x1 时，应付费 2 元，此时
4、 2x14,2(x1)4，排除 A，B；当 x0.5 时，付费为 2 元，此时2x1，排除 D，故选 C.答案解析7(2020四川广元摸底)我们定义函数 yx(x表示不大于 x 的最大整数)为“下整函数”；定义 yx(x表示不小于 x 的最小整数)为“上整函数”；例如4.34，55；4.35，55.某停车场收费标准为每小时 2 元，即不超过 1 小时(包括 1 小时)收费 2 元，超过 1 小时，不超过 2 小时(包括 2 小时)收费 4 元，以此类推若李刚停车时间为 x 小时，则李刚应付费为(单位：元)()A2x1 B2(x1)C2x D2x答案8(2019长沙一模)下列函数，在定义域内单调
5、递增且图象关于原点对称的是()Af(x)sinxxBf(x)ln(x1)ln(x1)Cf(x)exex2Df(x)ex1ex1解析 由函数的图象关于原点对称知函数为奇函数，由函数在定义域内单调递增，知在定义域内其导函数大于等于 0.A 中，f(x)cosx10无解，故不满足题意；B 中，函数 f(x)的定义域为(1，)，其图象不关于原点对称，故不满足题意；C 中，f(x)f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，故不满足题意；D 中，f(x)ex1ex112ex1，所以 f(x)在定义域内单调递增，又 f(x)ex1ex1ex1ex1f(x)，所以 f(x)的图象关于原点对称，满足题意故选 D.解
6、析解析 根据题意，令 g(x)x2f(x)，其导函数 g(x)2xf(x)x2f(x)，又对任意的 x0 都有 2f(x)xf(x)0 恒成立，则当 x0 时，有 g(x)x2f(x)xf(x)0 恒成立，即函数 g(x)在(0，)上为增函数，又由函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，则 f(x)f(x)，则有 g(x)(x)2f(x)x2f(x)g(x)，即函数 g(x)也为偶函数，则有 g(2)g(2)，且 g(2)g(3)，则有 g(2)g(3)，即有 4f(2)0 都有 2f(x)xf(x)0 恒成立，则()A4f(2)9f(3)C2f(3)3f(2)D3f(3)0恒成立，所以函数
7、f(x)是增函数因为 21，所以 323.又 log24log27log28，即 2log273，所以 2log273 2，所以 f(2)f(log27)f(32)，即 bca，故选 D.答案解析11(2019成都一诊)已知函数 f(x)3x2cosx.若 af(3 2)，bf(2)，cf(log27)，则 a，b，c 的大小关系是()AabcBcbaCbacDbca答案12(2019陕西九校质量考评)已知函数 f(x)xex，x0，x，x0，又函数 g(x)f2(x)tf(x)1(tR)有 4 个不同的零点，则实数 t 的取值范围是()A.，e21eBe21e，C.e21e，2D2，e21e
8、解析 由已知有 f(x)xex(x0)，f(x)1xex，易得 0 x1 时，f(x)0，x1 时，f(x)0，即 f(x)在0,1)上为增函数，在(1，)上为减函数，设 mf(x)，则 h(m)m2tm1，设 h(m)m2tm1 的零点为 m1，m2，则 g(x)f2(x)tf(x)1(tR)有 4 个不同的零点，等价于 mf(x)的图象与直线 mm1，mm2 的交点有 4 个，函数 mf(x)的图象与直线 mm1，mm2 的位置关系如图所示，解析由图知，0m21em1，则 h1e 0，解得 te21e，故选 A.解析答案 1解析 由条件可得0 x12，0 x12，解得 x1，所以 g(x)
9、的定义域为1答案解析第卷(非选择题，共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13若函数 yf(x)的定义域为0,2，则函数 g(x)f(x1)f(x1)的定义域为_答案 00，且 m0m12，故 0m3.答案解析14若函数 f(x)2x1，x0，mxm1，x0 在(，)上单调递增，则 m的取值范围是_解析 f(x)ex(x33x3)aexx0 有解，ax33x3xex有解令 g(x)x33x3 xex，则 g(x)3x23x1ex(x1)3x31ex，故当 x1,1)时，g(x)0，故 g(x)在1,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，故 g(x)ming
10、(1)1331e11e，a11e，实数 a 的最小值为 11e.答案 11e答案解析15(2019东北三省四市联考)设函数 f(x)ex(x33x3)aexx(x1)，若不等式 f(x)0 有解，则实数 a 的最小值为_答案 答案16(2019东北三校高三一模)已知 f(x)axx2cb，g(x)f2(x)1，其中 a0，c0，则下列判断正确的是_(写出所有正确结论的序号)f(x)关于点(0，b)成中心对称；f(x)在(0，)上单调递增；存在 M0，使|f(x)|M；若 g(x)有零点，则 b0；g(x)0 的解集可能为1，1,2，2解析 h(x)axx2c为奇函数，f(x)axx2cb 为
11、h(x)上下平移得到，故正确f(x)axx2cb axcxb，c0，因为 xcx在(0，c)上单调递减，在(c，)上单调递增，故错误xcx2 c，)(，2 c，所以 axcx0，|a|2 c|a|2 c，0.故存在 M0，使|f(x)|M，故正确当 b1 时，g(0)f2(0)1f(0)1f(0)1(b1)(b1)0，g(x)有零点，故错误；取 a3，b0，c2，则 g(x)0 的解集为1，1,2，2，正确解析解三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)x2(2a1)x3.(1)当 a2，x2,3时，求函数
12、 f(x)的值域；(2)若函数 f(x)在1,3上的最大值为 1，求实数 a 的值解(1)当 a2 时，f(x)x23x3x322214，又 x2,3，所以 f(x)minf32 214，f(x)maxf(3)15，所以函数 f(x)的值域为214，15.(2)对称轴为直线 x2a12.当2a121，即 a12时，f(x)maxf(3)6a3，所以 6a31，即 a13，满足题意；解当2a123，即 a52时，f(x)maxf(1)2a3，所以 2a31，即 a2，不满足题意；当 12a123，即52a0，x20，得2x2.所以函数 f(x)的定义域为(2,2)解18(2019贵阳模拟)(本小
13、题满分 12 分)已知函数 f(x)log2(2x)log2(x2)(1)求函数 f(x)的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性并加以证明；(3)若 f(x)log2(ax)在 x12，1 上恒成立，求实数 a 的范围(2)f(x)为奇函数证明如下：由(1)的结论可知 f(x)的定义域关于原点对称，又因为 f(x)log2(2x)log2(x2)f(x)，所以 f(x)为奇函数(3)由 f(x)log2(2x)log2(x2)log2(ax)，得 log22xx2log2(ax)，因为 ylog2x 在(0，)上单调递增，所以2xx20，令 h(x)ax2(2a1)x2，则 h(x)0 在 x
14、12，1 上恒成立，解又因为 a0，对称轴为直线 x2a12a0，得 a65.解解(1)当 x1,2时，2x0,1，又 f(x)的图象关于直线 x1 对称，则 f(x)f(2x)22x1，x1,2解19(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)是(，)上的奇函数，且 f(x)的图象关于直线 x1 对称，当 x0,1时，f(x)2x1.(1)当 x1,2时，求 f(x)的解析式；(2)计算 f(0)f(1)f(2)f(2022)的值(2)已知函数 f(x)为奇函数，则 f(x)f(x)，又函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，则 f(2x)f(x)f(x)，所以 f(4x)f(2x)2f(2
15、x)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数因为 f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1，且 f(x)是以4 为周期的周期函数，所以 f(0)f(1)f(2)f(2022)505(0101)f(0)f(1)f(2)1.解20(2019湖南长沙模拟)(本小题满分 12 分)某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买 x 台机器人的总成本 p(x)1600 x2x150 万元(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排 m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达
16、指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量 q(m)815m60m，1m30，480，m30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为 1200 件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？解(1)由总成本 p(x)1600 x2x150 万元，可得每台机器人的平均成本 ypxx 1600 x2x150 x 1600 x150 x 121600 x150 x 12.当且仅当 1600 x150 x，即 x300 时，上式等号成立所以若使每台机器人的平均成本最低，应买 300 台解(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分
17、拣量q(m)815m60m，1m30，480，m30，当 1m30 时，300 台机器人的日平均分拣量为 160m(60m)160m29600m，所以当 m30 时，日平均分拣量有最大值 144000 件当 m30 时，日平均分拣量为 480300144000(件)解所以 300 台机器人的日平均分拣量的最大值为 144000 件若传统人工分拣 144000 件，则需要人数为1440001200 120(人)所以日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少12030120100%75%.解21(2019成都一诊)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)aln xexx
18、ax，aR.(1)当 a0 时，讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 a1 时，若关于 x 的不等式 f(x)x1x exbx1 恒成立，求实数 b 的取值范围解(1)由题意，知f(x)axxexexx2aaxexx1x2.当 a0 时，有 axex0，当 0 x0；当 x1 时，f(x)0，h12 e4 ln 20，函数 h(x)有唯一的零点 x0，且12x01.当 x(0，x0)时，h(x)0，g(x)0，g(x)单调递减；当 x(x0，)时，h(x)0，g(x)0，g(x)单调递增解即 g(x0)为 g(x)在定义域内的最小值b1ex0ln x0 x0 1x0.h(x0)0，x0ex0l
19、n x0 x0，12x01.(*)令 k(x)xex，12x1，方程(*)等价于 k(x0)k(ln x0)，12x01.而 k(x)(x1)ex 在(0，)上恒大于零，k(x)在(0，)上单调递增解故 k(x0)k(ln x0)，12x01 等价于 x0ln x0，12x01，ex01x0.故 g(x)的最小值g(x0)ex0ln x0 x0 1x01x0 x0 x01x01.b11，即 b2.故实数 b 的取值范围为(，2解解(1)f(x)ex12x2ax，f(x)exxa.设 g(x)exxa，则 g(x)ex1.令 g(x)ex10，解得 x0.当 x(，0)时，g(x)0，函数 g(
20、x)单调递增g(x)ming(0)1a.解22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)ex12x2ax 有两个极值点 x1，x2(e 为自然对数的底数)(1)求实数 a 的取值范围；(2)求证：f(x1)f(x2)2.当 a1 时，f(x)g(x)0，函数 f(x)单调递增，无极值点；当 a1 时，g(0)1a1 时，f(x)g(x)exxa 有两个零点 x1，x2.不妨设 x1x2，则 x10 x2.函数 f(x)有两个极值点时，实数 a 的取值范围是(1，)解(2)证明：由(1)知，x1，x2 为 g(x)0 的两个实数根，x10 x2，且 g(x)在(，0)上单调递减下面先证 x1x20，只需证 g(x2)0)，则 h(x)1exex20，h(x)在(0，)上单调递减，h(x)h(0)0，g(x2)0，即 x1x2f(x2)，下面先证 f(x2)f(x2)2，即证 ex2ex2x2220.设函数 k(x)exexx22(x0)，则 k(x)exex2x.设(x)k(x)exex2x，(x)exex20，(x)在(0，)上单调递增，(x)(0)0，即 k(x)0，解k(x)在(0，)上单调递增，k(x)k(0)0，当 x(0，)时，exexx220，则 ex2ex2x2220，f(x2)f(x2)2，f(x1)f(x2)2.解本课结束
