1、选修4-4 坐标系与参数方程选修4-4 坐标系与参数方程第一节坐标系选修4-4 坐标系与参数方程 主干知识梳理 一、极坐标系与极坐标 如图，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系极轴选修4-4 坐标系与参数方程设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的，记为.有序数对叫做点M的极坐标，记作极径极角(，)M(，)选修4-4 坐标系与参数方程二、点的极坐标和直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点，它的
2、直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，可以得出它们之间的关系：x，y又可得到关系式：2，tan yx(x0)这就是极坐标与直角坐标的互化公式cossin x2y2选修4-4 坐标系与参数方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为 r 的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为 r 的圆 2rcos22三、常见曲线的极坐标方程选修4-4 坐标系与参数方程圆心为r，2，半径为 r 的圆2rsin(0)过极点，倾斜角为 的直线(1)(R)或(2)(R)(2)和 选修4-4 坐标系与参数方程过点(a,0)，与极轴垂直的直线cosa22过点a，2，与极轴平行的直线sina(0)选修4-4 坐标系与参数方程基础
3、自测自评1(2013安徽高考)在极坐标系中，圆 2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A0(R)和 cos 2B2(R)和 cos 2C2(R)和 cos 1D0(R)和 cos 1选修4-4 坐标系与参数方程B 由 2cos，可得圆的直角坐标方程为(x1)2y21，所以垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x0 和 x2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为 2(R)和 cos 2，故选 B.选修4-4 坐标系与参数方程2(教材习题改编)若曲线的极坐标方程为2sin 4cos，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_解析 2sin 4cos，22sin
4、4cos，由互化公式知x2y22y4x，即x2y22y4x0.答案 x2y24x2y0选修4-4 坐标系与参数方程3在极坐标系中，以a2，2 为圆心，a2为半径的圆的方程为_解析 利用直角三角形的边、角关系可得圆的方程为 asin.答案 asin 选修4-4 坐标系与参数方程4在极坐标系中，曲线 2sin 与 cos 1(00yuy，u0 的作用下对应到点 P(x，y)2极坐标系中，极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示同一个点，特别地，极点 O 的坐标为(0，)(R)3极坐标(，)化为直角坐标时，xcos，ysin；直角坐标(x，y)化为极坐标时，2x2y2，tan bx(x0)选修4-4 坐
5、标系与参数方程典题导入求曲线 ysin2x4 经伸缩变换x2x，y12y后的曲线方程听课记录 由x2x，y12y得x12x，y2y.将代入 ysin2x4，得 2ysin212x4，平面直角坐标系中的伸缩变换 选修4-4 坐标系与参数方程即 y12sinx4.故变换后的曲线方程为 y12sinx4.选修4-4 坐标系与参数方程互动探究本例若变为“若曲线 ysin2x4 经过伸缩变换后变为 y2sin4x4”试求此伸缩变换解析 设伸缩变换为xx，0，yy，0，代入 y2sin4x4，得 y2sin4x4.选修4-4 坐标系与参数方程y2sin4x4.与 ysin2x4 对比知，21.42，2，1
6、2.所以所求伸缩变换为x12x，y2y.选修4-4 坐标系与参数方程规律方法平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示在伸缩变换xx，0，yy，0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆选修4-4 坐标系与参数方程跟踪训练1通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆x129y1241 变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换合成的变换选修4-4 坐标系与参数方程解析 先通过平移变换xx1，yy1，把椭圆x129y1241 变为椭圆x29 y24 1.再通过伸缩变换xx3，yy2，选修4-4 坐标系与参数
7、方程把椭圆x29 y24 1 变为单位圆 x2y21.由上述两种变换合成的变换为x13x1，y12y1.选修4-4 坐标系与参数方程典题导入(2012辽宁高考)在直角坐标系 xOy 中，圆 C1：x2y24，圆 C2：(x2)2y24.(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程极坐标与直角坐标的互化 选修4-4 坐标系与参数方程听课记录(1)圆 C1 的极坐标方程为 2，圆 C2 的极坐标方程 4cos.解2，4cos 得 2，3，故圆 C1 与圆
8、C2 交点的坐标为2，3，2，3.注：极坐标系下点的表示不唯一选修4-4 坐标系与参数方程(2)解法一：由xcos，ysin 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，3)故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为x1，yt，3t 3.或参数方程写成x1，yy，3y 3选修4-4 坐标系与参数方程解法二：将 x1 代入xcos，ysin 得 cos 1，从而 1cos.于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为x1，ytan，33.选修4-4 坐标系与参数方程规律方法极坐标(，)化为直角坐标时，xcos，ysin；直角坐标(x，y)化为极坐标时，x2y2唯一确定，但由 ta
9、n yx(x0)确定角 时不唯一，一般根据点(x，y)所在的象限取最小正角选修4-4 坐标系与参数方程跟踪训练2 (2013 新 课 标 全 国 高 考)已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为x45cos t，y55sin t，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2sin.(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(0,02)选修4-4 坐标系与参数方程解析(1)将x45cos t，y55sin t消去参数 t，化为普通方程(x4)2(y5)225，即 C1：x2y28x10y160.将xc
10、os，ysin 代入 x2y28x10y160 得28cos 10sin 160.所以 C1 的极坐标方程为 28cos 10sin 160.选修4-4 坐标系与参数方程(2)C2 的普通方程为 x2y22y0.由x2y28x10y160，x2y22y0解得x1，y1或x0，y2.所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为2，4，2，2.选修4-4 坐标系与参数方程典题导入(2012 新 课 标 全 国 卷)已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 是x2cos，y3 sin(为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 2，正方形 ABCD的顶点都在
11、 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为2，3.简单曲线的极坐标方程及应用 选修4-4 坐标系与参数方程(1)求点 A，B，C，D 的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围听课记录(1)由已知可得 A2cos3，2sin3，B2cos32，2sin32，C2cos3，2sin3，D2cos332，2sin332，即 A(1，3)，B(3，1)，C(1，3)，D(3，1)选修4-4 坐标系与参数方程(2)设 P(2cos，3sin)，令 S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2则 S16cos236sin21632
12、20sin2.因为 0sin21，所以 S 的取值范围是32,52选修4-4 坐标系与参数方程规律方法1求曲线的极坐标方程其实质是在极坐标系中建立动点M(，)的极坐标与的关系，注意检验特殊点2极坐标方程应用时，一般化为直角坐标方程，转化时注意方程的等价性选修4-4 坐标系与参数方程跟踪训练3(2014海口市调研)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为2，22 2cos4 2.(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程选修4-4 坐标系与参数方程解析(1)224，所以 x2y24.因为 22 2cos4 2，所以 22 2coscos
13、4sinsin4 2.所以 x2y22x2y20.选修4-4 坐标系与参数方程(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 xy1.化为极坐标方程为 cos sin 1，即 sin4 22.选修4-4 坐标系与参数方程【思想方法】转化与化归思想在坐标系中的应用(2012安徽高考)在极坐标系中，圆 4 sin 的圆心到直线6(R)的距离是_【思路导析】将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解选修4-4 坐标系与参数方程【解析】极坐标系中的圆 4sin 转化为平面直角坐标系中一般方程为：x2y24y，即 x2(y2)24，其圆心为(0,2)，直线 6转化为平面直角坐标系中的方
14、程为 y 33 x，即 3x3y0.圆心(0,2)到直线 3x3y0 的距离为|032|39 3.【答案】3选修4-4 坐标系与参数方程【高手支招】本题考查了极坐标方程和平面直角坐标系中一般方程的转化，考查了转化与化归思想，题目难度不大，做本题时有可能因对极坐标和平面直角坐标的关系不熟而受挫在进行坐标互化时要注意以下几点：(1)互化的三个前提条件 极点与原点重合；极轴与x轴正方向重合；取相同的单位长度选修4-4 坐标系与参数方程(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求出角.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题选修4-4
15、 坐标系与参数方程体验高考1(2013北京高考)在极坐标系中，点2，6 到直线 sin 2 的距离等于_解析 由题意知，点2，6 的直角坐标是(3，1)，直线 sin 2 的直角坐标方程是 y2，所以所求的点到直线的距离为 1.答案 1选修4-4 坐标系与参数方程2(2013天津高考)已知圆的极坐标方程为 4cos，圆心为 C，点 P 的极坐标为4，3，则|CP|_.解析 圆 4cos 的直角坐标方程为 x2y24x，圆心 C(2,0)点 P 的直角坐标为(2,2 3)，所以|CP|2 3.答案 2 3选修4-4 坐标系与参数方程3(2013福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴
16、的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点 A 的极坐标为2，4，直线 l 的极坐标方程为 cos4 a，且点 A 在直线 l 上(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；(2)圆 C 的参数方程为x1cos，ysin(为参数)，试判断直线l 与圆 C 的位置关系选修4-4 坐标系与参数方程解析(1)由点 A2，4 在直线 cos4 a 上，可得 a 2.所以直线 l 的方程可化为 cos sin 2，从而直线 l 的直角坐标方程为 xy20.选修4-4 坐标系与参数方程(2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆 C 的圆心为(1,0)，半径 r1，因为圆心 C 到直线 l 的距离 d 12 22 1，所以直线 l 与圆 C 相交
