1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节 平面向量的概念及其线性运算 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 主干知识梳理一、向量的有关概念1向量：既有大小又有的量叫向量；向量的大小叫做向量的2零向量：长度等于的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于的向量方向模01个单位第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4平行向量：方向相同或的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线5相等向量：长度相等且方向的向量6相反向量：长度相等且方向的向量相反相同相反第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意
2、义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则(1)交换律：ab；(2)结合律：(ab)cbaa(bc)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算平行四边形法则(1)交换律：ab；(2)结合律：(ab)cbaa(bc)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 三、向量的数乘运算及其几何意义1定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：(1)|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向；当|b|，则ab；，
3、为实数，若ab，则a与b共线其中假命题的个数为()A1 B2C3 D4第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 听课记录 不正确当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线正确ABDC，|AB|DC|且ABDC.又A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 是平行四边形反之，若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB 綊 DC 且AB与DC 方向相同，因此ABDC.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 不正确两向量不能比较大小不正确当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线答案 C第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 规律方法1平面向量的概念辨析题的解题方法
4、准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 2几个重要结论(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；(3)向量平行与起点的位置无关第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 跟踪训练1设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1C2 D3第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 D 向量是既有
5、大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 典题导入(1)如图，正六边形 ABCDEF 中，BACD EF()A0 B.BEC.ADD.CF 向量的线性运算第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 听课记录 如图，在正六边形 ABCDEF 中，CD AF，BFCE，BACD EFBAAFEFBFEFCEEFCF.答案 D第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)在ABC 中，已知 D 是 AB 边上
6、一点，若AD 2DB，CD 13CACB，则 等于()A.23B.13C13D23第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 听课记录 CD CAAD，CD CBBD，2CD CACBAD BD.又AD 2DB，2CD CACB13AB CACB13(CBCA)23CA43CB.CD 13CA23CB，即 23.答案 A第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 互动探究若(2)中的条件作如下改变：若点 D 是 AB 边延长线上一点且|BD|BA|，若CD CB CA，则 的值为_解析 CD CAAD CA2ABCA2(CBCA)2CBCACBCA.2，1.3.答案 3第四章 平面向量、数系的扩充
7、与复数的引入 规律方法在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 跟踪训练2(1)(2014四川广元模拟)如图，已知AP43AB，用OA，OB 表示OP，则OP 等于()A.13OA 43OBB.13OA 43OBC13OA 43OBD13OA 43OB第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 OP OAAPOA 43ABOA 43(OB OA)13OA 43OB，选 C.答案 C第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)(2013四川
8、高考)如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与BD 交于点 O，ABAD AO.则 _解析 由平行四边形法则知ABAD AC2AO，2.答案 2第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 典题导入 设两个非零向量 a 与 b 不共线(1)若ABab，BC2a8b，CD 3(ab)求证：A，B，D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线共线向量第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 听课记录(1)证明：ABab，BC2a8b，CD 3(ab)，BD BCCD 2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB.AB，BD 共线，又它们有公共点 B，A，B，D 三点
9、共线第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)kab 与 akb 共线，存在实数，使 kab(akb)，即 kabakb.(k)a(k1)b.a，b 是不共线的两个非零向量，kk10，即 k210.k1.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 规律方法1当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 跟踪训练3已知 a，b 不共线，OA a，OB b，OC c，OD d，OE e，设 tR，如果 3ac，2bd，e
10、t(ab)，是否存在实数 t 使C，D，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数 t 的值，若不存在，请说明理由第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 由题设知，CD dc2b3a，CEec(t3)atb，C，D，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数 k，使得CEkCD，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因为 a，b 不共线，所以有t33k0，t2k0，解之得 t65.故存在实数 t65使 C，D，E 三点在一条直线上第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入【创新探究】忽略 0 的特殊性致误(2014临沂调研)下列命题正确的是()A向量 a，b 共线的充
11、要条件是有且仅有一个实数，使 baB在ABC 中，ABBCCA0C不等式|a|b|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立D向量 a，b 不共线，则向量 ab 与向量 ab 必不共线第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入【错解一】a，b 共线，必然是有且只有一个实数 使 ba，故选 A.【错解二】首尾相连始终如一，在ABC 中，AB，BC，CA围成了一个封闭图形，故ABBCCA0.故选 B.【错解三】当 a 与 b 同向时，式子中第一个等号不成立；当 a与 b 反向时，式子中第二个等号不成立；当 a 与 b 不共线时，两个等号都不成立故两个等号不可能同时成立，故选 C.第四章 平面向量、数系的
12、扩充与复数的引入【错因】错解一忽视了 a0 这一条件，错解二忽视了 0 与 0 的区别，错解三忽视了 0 的特殊性，当 a0 或 b0 时，两个等号同时成立 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入【解析】向量 a 与 b 不共线，a，b，ab 与 ab 均不为零向量 若 ab 与 ab 平行，则存在实数，使 ab(ab)，即(1)a(1)b，10，10，无解，故假设不成立，即 ab 与 ab 不平行，故选 D.【答案】D第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入【高手支招】判断与向量有关的基本概念问题，首先考虑向量为零向量时是否成立，这样可快速作出判断第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
13、体验高考1(2013辽宁高考)已知点 A(1，3)，B(4，1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A.35，45 B.45，35C.35，45D.45，35第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 A 与AB同方向的单位向量为 AB|AB|（3，4）32（4）235，45，故选 A.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 2(2012浙江高考)设a，b是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 C 由|ab|a|b|两边平方，得a2b2
14、2ab|a|2|b|22|a|b|，即ab|a|b|，故a与b方向相反且|a|b|.又|a|b|，则存在实数1，0)，使得ba.故A，B命题不正确，C命题正确，而两向量共线，不一定有|ab|a|b|，即D命题不正确，故选C.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 3(2013江苏高考)设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD12AB，BE23BC.若DE 1AB2AC(1，2 为实数)，则 12 的值为_解析 由题意作图如图 在ABC 中，DE DB BE12AB23BC12AB23(ACAB)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 16AB23AC1AB2AC，116，223.故 1212.答案 12第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时作业
