1、第三章能力检测 (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)1设 a，b，c是空间一个基底，则一定可以与向量pab，qab构成空间的另一个基底的向量是()AaBbCcDa或b【答案】C【解析】向量p，q均与a，b共面，所以只能与c组成基底2已知空间直角坐标系中点A(1,0,0)，B(2,0,1)，C(0,1,2)，则平面ABC的一个法向量为()A(1，3,2)B(1,3，1)C(1,3,1) D(1,3,1)【答案】B【解析】(1,0,1)，(1,1,2)，设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)，则nxz0，nxy2z0，n(1,3，1)为平面A
2、BC的法向量故选B3设A，B，C，D是空间不共面的四点且满足0，0，0，则BCD是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不确定【答案】C【解析】由0，0，0，可知，即三棱锥ABCD的三侧棱两两垂直，则其底面为锐角三角形4已知向量a(0,2,1)，b(1,1，2)，则a与b的夹角为()A0B45C90D180【答案】C【解析】cosa，b0，a与b的夹角为90.5(2019年陕西西安期末)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于t，点E，F分别是BC，AD的中点，则等于()At2Bt2Ct2Dt2【答案】D【解析】设a，b，c，则|a|b|c|t，且a，b，c三向量两两夹角为60.又
3、(ab)，c，故(ab)c(acbc)(t2cos 60t2cos 60)t2.6.已知直线l过定点A(2,3,1)，且n(0,1,1)为直线l的一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为()A. B. C. D.【答案】D【解析】(2,0，1)，|，则点P到直线l的距离为.7空间四边形OABC中，a，b，c，点M在上且2，N为BC中点，则等于()AabcBabcCabcDabc【答案】B【解析】如图，ac(bc)abc.8(2019年黑龙江哈尔滨模拟)已知空间向量a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为()ABC4D8【答案】B【解析】|a|3，|b|
4、3，而ab4|a|b|cosa，b，cosa，b，故sina，b，于是以a，b为邻边的平行四边形的面积为S|a|b|sina，b33.故选B9已知e1，e2，e3是空间中不共面的三个向量，若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2，de12e23e3且dxaybzc，则x，y，z分别为()A，1B，1C，1D，1【答案】A【解析】dxaybzc(xyz)e1(xyz)e2(xy)e3e12e23e2，由空间向量基本定理，空间任一向量都可以用一个空间基底唯一表示，从而得到解得x，y，z1.故选A10(2019年河北石家庄模拟)在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB2，CC1，则异面直线AB1
5、和BC1所成角的正弦值为()A1BCD【答案】A【解析】取线段A1B1，AB的中点分别为O，D，则OC1平面ABB1A1，可以以，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则A(1,0，)，B1(1,0,0)，B(1,0，)，C1(0，0)，(2,0，)，(1，)(2,0，)(1，)0，即异面直线AB1和BC1所成的角为直角，则其正弦值为1.故选A11.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，若(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)，则下列结论正确的是()A.APAB B.APADC.是平面ABCD的法向量D.【答案】ABC【解析】0，0，A
6、BAP，ADAP，则A，B正确.又与不平行，是平面ABCD的法向量，则C正确.(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故D错误.12.(多选题)已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则()A.A1D与B1D1是异面直线B.A1D与EF所成角的大小为45C.A1F与平面B1EB所成角的余弦值为D.二面角CD1B1B的余弦值为【答案】AD【解析】易知A正确；如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，E，F，A1(1,0,1).对于B，(1,0，1)，
7、|，|，00，故cos ，可知向量与的夹角为60，所以A1D与EF所成角的大小为60，B错误；对于C，AB平面B1C1CB，是平面B1EB的法向量，(0,1,0)，|1，|，故cos，A1F与平面B1EB所成角的余弦值为，C错误；对于D，AC1平面B1D1C，是平面B1D1C的法向量，又为平面B1D1B的法向量，故AC1与AC所成的角等于二面角CD1B1B，(1,1,1)，(1,1,0)，则|，|，2，cos，二面角CD1B1B的余弦值为，D正确.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13(2017年上海)如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过点D的三条棱所
8、在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量的坐标为(4,3,2)，则向量的坐标是_【答案】(4,3,2)【解析】由的坐标为(4,3,2)，可得A(4,0,0)，C(0,3,0)，D1(0,0,2)，则C1(0,3,2)，(4,3,2)14已知平面经过点O(0,0,0)且e(1,1,1)是的法向量，M(x，y，z)是平面内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_【答案】xyz0【解析】e(x，y，z)(1,1,1)xyz0.15.已知向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，则3a2b，a与b所成角的余弦值为.【答案】(5,13，28)【解析】3a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(5,13，2
9、8).ab(3,5，4)(2,1,8)32514821，|a|，|b|，cosa，b.16(2019年吉林长春期末)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，ABAC1，PA2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为_【答案】【解析】以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系由ABAC1，PA2，得A(0,0,0)，B(1,0，0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，E，F.(0,0，2)，.设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，由得取z1，则n(2,0,1)设直线PA与平面DEF所成的角为，则
10、sin .直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17(10分)设向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，计算3a2b，ab，并确定，的关系，使ab与z轴垂直解：3a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(9,15，12)(4,2,16)(5,13，28)ab(3,5，4)(2,1,8)653221.由(ab)(0,0,1)(32，5，48)(0,0,1)480，得20.当，满足20时，可使ab与z轴垂直18(12分)已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)求a和b的夹角的余弦值；(2)若向量kab与ka2b互相垂直
11、，求k的值解：a(12,10,22)(1,1,0)，b(32，00，42)(1,0,2)(1)cos .a和b的夹角的余弦值为.(2)kab(k，k,0)(1,0,2)(k1，k,2)，ka2b(k，k,0)(2,0,4)(k2，k，4)(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280.即2k2k100.k或k2.19(12分)(2019年福建龙岩期末)如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，BCAB，B1C1綊BC，二面角A1ABC是直二面角求证：(1)A1B1平面AA1C；(2)AB1平面A1C1C证明：(1)二面角A1ABC是直二面角，四边形A1
12、ABB1为正方形，AA1平面BAC又ABAC，BCAB，CAB90，即CAABAB，AC，AA1两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)(0,2,0)，(0,0，2)，(2,0,0)设平面AA1C的一个法向量n(x，y，z)，则即即取y1，则n(0,1,0)2n，即n.A1B1平面AA1C(2)易知(0,2,2)，(1,1,0)，(2,0，2)设平面A1C1C的一个法向量m(x1，y1，z1)，则即令x11，则y11，z11，即m(1，1,1)m012(1)210.m.又AB1平
13、面A1C1C，AB1平面A1C1C20.(12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADC90，ABCD，AB2CD.平面PAD平面ABCD，PAPD，点E在PC上，DE平面PAC.(1)求证：PA平面PCD；(2)设AD2，若平面PBC与平面PAD所成的二面角为45，求DE的长.【解析】(1)证明：由DE平面PAC，得DEPA.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CDAD，所以CD平面PAD.所以CDPA.又CDDED，所以PA平面PCD.(2)解：取AD的中点O，连接PO.因为PAPD，所以POAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，
14、所以PO平面ABCD，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由(1)得PAPD，由AD2得PAPD，PO1.设CDa，则P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(a,1,0)，B(2a，1,0)，则(a,2,0)，(a,1，1).设m(x，y，z)为平面PBC的法向量，由得令x2，则ya，z3a，故m(2，a,3a)为平面PBC的一个法向量.由(1)知n(a,0,0)为平面PAD的一个法向量.由|cosm，n|，解得a，即CD.所以在RtPCD中，PC.由等面积法可得DE.21(12分)(2019年广东广州期末)如图，平面ABDE平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ACBC4，四边
15、形ABDE是直角梯形，BDAE，BDBA，BDAE2，O，M分别为CE，AB的中点(1)求异面直线AB与CE所成角的大小；(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值解：(1)DBBA，平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，DB平面ABDE，DB平面ABCBDAE，EA平面ABC如图，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x轴，y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系ACBC4，BDAE2，C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4，0,4)(4,4,0)，(4,0,4)cos，.AB与CE所成角的大小为.(2)由(1)知O(2,0,2)，D
16、(0,4,2)，M(2,2,0)，(0,4,2)，(2,4,0)，(2,2,2)设平面ODM的法向量为n(x，y，z)，则由得令x2，则y1，z1，则n(2,1,1)设直线CD与平面ODM所成的角为，则sin |cosn，|.直线CD与平面ODM所成角的正弦值为.22.(12分)(2020年福建泉州模拟)如图1，在四边形ABCD中，ADBC，BAD90，AB2，BC4，AD6，E是AD上的点，AEAD，P 为BE的中点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，使得A1C4，如图2.(1)求证：平面A1CP平面A1BE；(2)求二面角BA1PD的余弦值.【解析】(1)证明：如图，连接AP，PC.在四
17、边形ABCD中，ADBC，BAD90，AB2，BC4，AD6，E是AD上的点，AEAD，P为BE的中点，BE4，ABE30，EBC60，BP2.PC2.BP2PC2BC2.BPPC.A1PAP2，A1C4，A1P2PC2A1C2.PCA1P.BPA1PP，PC平面A1BE.PC平面A1CP，平面A1CP平面A1BE.(2)解：如图，以P为坐标原点，PB所在直线为x轴，PC所在直线为y轴，过P作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A1(1,0，)，P(0,0,0)，D(4，2，0)，(1,0，)， (4,2，0).设平面A1PD的法向量为m(x，y，z)，则即取x，得m(，2,1).易知平面A1PB的一个法向量n(0,1,0)，则cosm，n.由图可知二面角BA1PD是钝角，二面角BA1PD的余弦值为.
