1、成都外国语学校高2022级高二上期9月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A. 2B. 2C. D. 4【答案】A【解析】【分析】因为是实数，所以复数的实部是，虚部是，直接由实部等于0，虚部不等于0求解的值【详解】解：由是纯虚数，得，解得故选：A.2. 已知向量满足，则（ ）A. B. C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算求解.【详解】因为，所以，所以，故选:A.3. 在中，若，则C等于（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】D【解析】【分
2、析】由正弦定理即可求出角的大小.【详解】由题意，在中，由正弦定理得， ，即，或,故选：D.4. 某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取名同学参加课外知识测试，测试共道题，每答对一题得分，答错得分.已知每名同学至少能答对道题，得分不少于分记为及格，不少于分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 该次课外知识测试及格率B. 该次课外知识测试得满分的同学有名C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D. 若该校共有名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有名【答案】C【解析】【分析】由百分比图知，成绩为100分、80分、60分、40分的百分比分别为，结合各
3、项的描述即可判断其正误.【详解】由图知，及格率为，故A错误.该测试满分同学的百分比为，即有名，B错误.由图知，中位数为分，平均数为分，故C正确.由题意，名学生成绩能得优秀的同学有，故D错误.故选：C5. 已知平面、，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案【详解】对于A选项，若，过直线作平面，使得，因为，则，因为，则，则或、异面，A错；对于B选项，若，则，故，B对；对于C选项，若，则，因为，则或，C错；对于D选项，若，则或、相交（不一定垂直），D错
4、.故选：B.6. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于y轴对称，则的可能取值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得平移后的函数为，再根据余弦函数的对称性列式求解即可【详解】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数，因为图象关于y轴对称，所以，则，故选：A.7. 在棱长为1的正方体中， 分别为，的中点，过直线 的平面/平面 ，则平面截该正方体所得截面为（ ）A. 三角形B. 五边形C. 平行四边形D. 等腰梯形【答案】D【解析】【分析】取的中点E，的中点F，连接，证明在同一平面内，且四边形为等腰梯形，证明平面平面，即可确定答案.【详解】根据题意，取的中点E，的
5、中点F，连接，则，所以，且,故在同一平面内，连接，因为分别为的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，同理平面，因为平面，所以平面平面，即平面截该正方体所得截面为梯形；又由梯形中， ，即平面截该正方体所得截面为等腰梯形,故选：D8. M为ABC所在平面内一点，且，则动点M的轨迹必通过ABC的（ ）A. 垂心B. 内心C. 外心D. 重心【答案】C【解析】【分析】设边的中点为，结合向量的线性运算法则化简向量等式可得，由数量积的性质可得，由此可得结论.【详解】设边的中点为，因为，所以，所以，所以，所以，所以，又点为边的中点，所以点在边的垂直平分线上，所以动点M的轨
6、迹必通过ABC的外心，故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知圆锥顶点为，底面圆心为，为底面的直径，与底面所成的角为，则（ ）A. B. 该圆锥母线长为C. 该圆锥的体积为D. 该圆锥的侧面积为【答案】AB【解析】【分析】由线面角的定义可得出，可求得的长，可判断A选项；分析可知是等边三角形，可判断B选项；利用锥体的体积公式可判断C选项；求出该圆锥的侧面积，可判断D选项.【详解】对于A选项，如下图所示： 由圆锥的几何性质可知，与圆所在的底面垂直，所以，与底面所成的角为，即，因为，
7、则，所以，A对；对于B选项，因为，且，则是边长为的等边三角形，所以，该圆锥的母线长为，B对；对于C选项，圆的面积为，故该圆锥的体积为，C错；对于D选项，该圆锥的侧面积为，D错.故选：AB.10. 已知的角、所对的边分别为、，且，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. 为等腰非等边三角形D. 为等边三角形【答案】BD【解析】【分析】利用正弦定理可得出，结合角的取值范围可得出角的值，可判断A选项；利用余弦定理可判断CD选项；利用平面向量数量积的定义可判断B选项.【详解】对于A选项，因为，由正弦定理可得，即，又因为，所以，A错；对于CD选项，由余弦定理可得，则，可得，又因为，故为等边三角形，C错D
8、对；对于B选项，B对.故选：BD.11. 如图，在四边形中，E为的中点，与相交于F，则下列说法一定正确的是（ ）A. B. 在上的投影向量为C. D. 若，则【答案】ABC【解析】【分析】根据平面向量基本定理及平面向量的数量积的定义，利用转化法即可求解判断.【详解】解：因为在四边形中，所以四边形为平行四边形，又，所以，对于 A：，设 ，因为三点共线，所以，解得，所以，故选项A正确；对于B：设的夹角为，因为，所以，所以，即，所以在上的投影向量为 ，故选项B正确；对于：由题意， ，故选项C正确；对于D： ，则，若，则，又因为，所以，不满足，故选项D不正确. 故选：ABC.12. 在正方体中，是侧面
9、上一动点，下列结论正确的是（ ）A. 三棱锥的体积为定值B. 若，则平面C. 若，则与平面所成角为D. 若平面，则与所成角的正弦最小值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用等体积法分析判断，对于B，由条件可得点在平面上轨迹为，再判断与平面的位置关系即可，对于C，连接交于点，连接，则可证得为直线与平面所成角，然后求解即可，对于D，连接，可证得平面平面，得点在平面上的轨迹为，得为与所成的角，从而可求得结果.【详解】对于A，因为是侧面上一动点，平面平面，所以点到平面的距离等于正方体的棱长，设棱长为，则，所以三棱锥的体积为定值，所以A正确， 对于B，因为，平面，所以当时，点在平面上的轨迹为，因为
10、与不垂直，所以与平面不垂直，所以与平面不垂直，所以B错误， 对于C，连接交于点，连接，则，所以为等边三角形，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面平面，是侧面上一动点，所以点的轨迹是，所以平面就是平面，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以为直线与平面所成角，设正方体的棱长为，因为，所以，因为为锐角，所以，即与平面所成角为，所以C正确， 对于D，连接，则，因为平面，平面，所以平面，平面，因为，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，因为平面平面，所以点在平面上的轨迹为，因为，所以为与所成的角，因为平面，平面，所以，设正方体的棱长为1，设，则，所以，因为，所以当时，取得最
11、小值，此时最小，所以此时取得最小值为，所以与所成角的正弦最小值为，所以D正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：此题考查线线角，线面角的求法，考查棱锥的体积的求法，考查立体几何中的轨迹问题，解题的关键是根据题意结合线面点的关系确定动点的轨迹，考查空间想象能力和计算能力，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡上13. 用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校高中学生总数是_人.【答案】1800【解析】【分析】利用比例求出学生总数.【详解】，故该校高中学生总数是1800人.故答案为：180014. 在
12、中，是边上一点，且，是上的一点，若，则实数的值为_【答案】【解析】【详解】分析：根据向量的加减运算法则，通过，把用和表示出来，可得m的值详解：如图：，则，又B，P，N三点共线，故得m=故答案为点睛：点O是直线l外一点，点A，B是直线l上任意两点，求证：直线上任意一点P，存在实数t，使得关于基底OA,OB的分析式为反之，若则A，P，B三点共线（特别地令t=,称为向量中点公式）15. 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为_.【答案】【解析】【分析】将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所
13、示，设，利用余弦定理求出，将三棱锥补成长方体如图2所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出外接球的半径，即可求出其体积.【详解】解：将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示，设，即，由题意得，在中，由余弦定理得即即，解得或（舍去），将三棱锥补成长方体如图2所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径，所以外接球的体积.故答案为：16. 已知的内角的对边分别为，且，角的平分线与交于点，且，则的值为_【答案】#【解析】【分析】利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简，求出角，再利用等面积法即可得解.【详解】因为，由正弦定理得，即，即，所以，又，所以，又，所
14、以，故，由，得，即，所以.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18-22题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点. （1）证明：平面；（2）若平面，证明：.【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，设与交于点，连接，由线面平行的判定定理即可证明；（2）由线面垂直的性质定理及判定定理即可得证.【小问1详解】设与交于点，连接，因为底面是正方形，所以为的中点，又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】因为底面是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以，又，平面
15、，所以平面，因为平面，所以.18. 设A，B，C，D为平面内的四点，且.（1）若，求D点的坐标；（2）设向量，若向量与平行，求实数k的值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答.（2）求出的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及共线向量的坐标表示求解作答.【小问1详解】设，因为，于是，整理得，即有，解得，所以.【小问2详解】因为，所以，因为向量与平行，因此，解得，所以实数k的值为.19. 为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），将全部数据按区间，分成8组，得到如下的频率分布直方图： （1
16、）求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）.【答案】（1），平均值为 （2）第一档的范围是，第二档的范围是，第三档的范围是.【解析】【分析】（1）根据频率和为1列出方程解出，再根据频率分布直方图计算平均值即可；（2）根据百分位数定义计算即可.【小问1详解】由直方图可得，样本落在,的频率分别为,，由，解得，
17、则样本落在,的频率分别为0.05,0.1,0.2,0.3,0.15,0.1,0.05,0.05,所以月用电量的平均值为，【小问2详解】为了使的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的分位数；的居民缴费在第二档，还需要确定月用电量的分位数.因为，则使的居民缴费在第一档，月用电量的分位数位于区间内，于是.又,所以对应的用电量为350.所以第一档的范围是，第二档的范围是，第三档的范围是.20. 已知函数的图象如图所示 （1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）若函数，满足对任意的恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根据图得到，进而得到，从而，再由求得解析式，再利用这些函
18、数的性质求解单调区间；（2）易得根据对任意的恒成立，由求解.【小问1详解】由图可知：，所以，所以，由图易得，则，又，则，则，所以，所以令，解得，所以的单调递增区间为，【小问2详解】由题当，时，因为对任意的恒成立，则，即所以21. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若是锐角三角形，求的面积的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换可得，再结合角的范围即可求解；（2）利用三角形面积公式可得，再结合正弦定理边化角，进而利用三角恒等变换化为，结合角的范围可得，从而可解.小问1详解】由正弦定理得， 可化为：，
19、即又由于，所以可得即 ，由于，所以，化简为，因为，则，所以，所以.【小问2详解】由正弦定理知，所以，那么，又由 ，解得 ，所以 ，即，故的面积的取值范围为.22. 如图，ABDC是平面四边形，为正三角形，将沿BC翻折，过点A作平面BCD的垂线，垂足为H （1）若点H在线段BD上，求AD的长；（2）若点H在BCD内部，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值【答案】（1）4 （2）【解析】【分析】（1）方法一：由平面得，结合勾股定理可得，从而，为中点，由勾股定理计算可得；方法二：在平面四边形中，设的中点为，连接并延长，交于，可得为的中点在三棱锥中，得平面，平面平面，则点在直线上，
20、当点在线段上，此时与重合，结合勾股定理计算可得；（2）方法一：当点在内部，知平面，则，设是的中点，得平面，则为二面角的平面角利用等体积法得：，求得，从而得出答案；方法二：当点在内部，知平面，为二面角的平面角过点作交于，可证得平面，平面平面，过点作，交于点，则平面，由直线与平面所成的角，求得， 进而出，即可得解.【小问1详解】方法一：平面，平面， 中，中，由于为等腰直角三角形，为中点，在中由勾股定理得，在中由勾股定理得，.方法二：在平面四边形中，设的中点为，连接并延长，交于. 为正三角形，为的中点，为中点，为的中点.在三棱锥中，且，平面，又平面，平面平面，点在直线上. 当点在线段上，此时与重合，平面，平面，在，在，【小问2详解】方法一：当点在内部，知平面，平面，则，设是的中点，连接， 为正三角形，平面，平面，平面，为二面角的平面角.设点到平面的距离为，则，过点作，连接，由平面，在的中垂线上，设，则，由等体积法得：，即，解得，所以,.方法二：当点在内部，知平面，此时在线段（不含端点）上.，为二面角的平面角.由于平面，过点作交于，连接， ，又因为，平面，平面，平面平面，过点作，交于点，又平面平面，平面.设为直线与平面所成的角，则点到平面的距离为，解得， 在中，可设由于，解得. 在中，所以.
