1、2023-2024学年度（上）阶段性考试（二）高2021级数学（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解绝对值不等式求出集合，然后求其补集，再根据交集定义进行计算.【详解】因为或，所以，又所以.故选：D.2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据复数乘法运算化简可得.【详解】因为，所以的虚部为.故选：B3. 已知，命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析
2、】首先求出命题为真时参数 的取值范围，再找出其一个充分不必要条件；【详解】解：因为，为真命题，所以，因为函数在上单调递增，所以，所以又因为所以命题“，”是真命题的一个充分不必要条件为故选：C【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，以及充分条件、必要条件，属于基础题.4. 在递增等比数列中，则公比q( )A. 4B. 3C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】用等比中项求出，再用等比的通项公式求出q.【详解】因为是递增等比数列，由等比中项可知所以，因为是递增数列，所以，故选：C5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角的终边与角的终边相同，则( )A. B. C. D.
3、 【答案】C【解析】【分析】利用三角函数定义求得，再利用诱导公式化简即可.【详解】由题意得，故选：C.6. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯85的热茶，放置在25的房间中，如果热茶降温到55，需要10分钟，则欲降温到45，大约需要多少分钟（ ）（，）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】C【解析】【分析】先计算出，再根据条件计算即可.【详解】根据题意有：，.故选：C.7. 如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过图像观察
4、y轴左右两侧的图像特点，代入数值判断，以及考虑函数的奇偶性来判断函数是偶函数，定义域等特点，关于选项D，要考虑函数,以及函数值恒为正等函数的相关信息来解题.【详解】A选项，当时，不符合；B选项，为偶函数，其图象关于轴对称，不符合；C选项，的定义域为，不符合.故选：D.【点睛】函数的定义域，奇偶性，特殊值，以及常见函数的特点是解决这类问题的关键.8. 已知，则（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，结合中间量法即可得解.【详解】因为，又，所以.故选：A.9. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2C. D.
5、【答案】B【解析】【分析】写出双曲线的渐近线方程，由圆的方程得到圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式与垂径定理列式求解【详解】解：双曲线的渐近线方程为，由对称性，不妨取，即圆圆心坐标为，半径为，则圆心到渐近线的距离，解得故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题10. 在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（ ）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心【答案】A【解析】【分析】由变形得，设的中点为，推出，点P在线段AB的中垂线上，再根据外心的性质可得答案.【详解】因为，所以，所以，设的中点为，则，则， 所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的
6、外心.故选：A11. 已知直线与抛物线C：及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若，则m等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知直线l过抛物线的焦点，得m=-k，过M做MM准线x=1，垂足为M由MMN与直线l倾斜角相等，根据抛物线的定义即可求得tanMMN，即可求得k的值，进而得m【详解】抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），因为所以直线l：y=kx+m过抛物线的焦点，所以m=-k,过M做MM准线x=1，垂足为M，由抛物线的定义，丨MM丨=丨MF丨，由MMN与直线l倾斜角相等，由，则cosMMN= ，则tanMMN=，因为直线l的斜率k=，即m=-故选B【点睛
7、】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义和同角三角函数的关系，属于中档题12. 已知、，定义运算“”： ，设函数，. 若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据定义得出的解析式，作出函数的图象得出答案【详解】解：若1，则，解得x，若1，则0，则x，f（x），作出f（x）的函数图象如图所示：yf（x）c有两个零点，f（x）c有两解，0c故选A【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数（2）本题将方程实根个数
8、的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设等差数列的前项和为，若，则_.【答案】26【解析】【分析】根据已知结合等差数列的性质可得，进而即可得出.【详解】由已知，所以.则.故答案为：.14. 已知向量，满足，若，则与夹角的余弦值为_.【答案】#0.25【解析】【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为：15. 已知椭圆为椭圆C的左右焦点，P为椭圆C上的一点，且，延长交椭圆于Q，则_【答案】【解析】【分析】根据，建立向量关系，求出点坐标，然后
9、求出直线方程，联立椭圆方程，求出点坐标，再利用两点间距离公式求解.【详解】由椭圆，得，设，因为，所以，则，即，又因为P为椭圆C上的一点，所以联立得，所以或，、当时，直线方程为，即，联立得，所以，当，直线方程为，即，联立得，所以，综上，,故答案为：16. 已知函数，则下列结论正确的有_是周期函数，且最小正周期为；的值域为；在区间上为减函数；的图象的对称轴为【答案】【解析】【分析】现将函数的解析式进行化简变形，利用三角函数的周期性即可判断；利用正弦函数的有界性可判断；利用正弦函数的单调性可判断；利用正弦函数的对称轴可判断.【详解】，易知的最小正周期为，故错误；，正确；当时，单调递减区间为，再由周期
10、为，故正确；直线也是图象的对称轴，故错误故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 某网红冰淇淋公司计划在贵阳市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在5个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和.（个）12345（千万元）11.622.43（1）该公司经过初步判断，可用经验回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程；（2）如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据：第一分店每天的顾客平均为300人，其中180人会
11、购买该品牌冰淇淋，第二分店每天的顾客平均为200人，其中150人会购买该品牌冰淇淋.依据小概率值的独立性检验，分析两个店的顾客购买率有无差异.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828参考公式：，.【答案】（1） （2）有【解析】【分析】（1）利用最小二乘法求解即可；（2）根据已知条件得出列联表，再根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论.【小问1详解】，则，所以，所以关于的经验回归方程为；【小问2详解】由题意，得出列联表如下表：买不买总计分店一180120300分店二15050200总计330170500则，所以依据小概率值的独立性检验，两个店的顾客购买率有差异.18
12、. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（1）求角B的大小;（2）若，D为AC的中点，且，求的面积.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合诱导公式、两角和的正弦公式可求得，从而得角；（2）取的中点，在中应用余弦定理求得，从而得，再由三角形面积公式求解【小问1详解】已知，由正弦定理可得，又，即，又，.【小问2详解】取的中点，连接，在中，设，由余弦定理可得，即，或舍，的面积为 19. 已知数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用与的关系计算求通项公式即可；（2）利用错位相减法计算求和即可.
13、【小问1详解】由已知，可知当时，两式-得：，当时，符合上式，所以；【小问2详解】令，所以，故，两式-得，即.20. 如图所示，平面ABC，平面ABC，F为BC的中点 （1）求证：平面BDE；（2）求凸多面体ABCED体积【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理及三角形的中位线定理，结合平行四边形的性质及线面平行的判定定理；（2）利用面面垂直的判定定理及性质定理，结合勾股定理的逆定理及棱锥的体积公式即可求解.【小问1详解】因为平面ABC，平面ABC，所以，取BE的中点G，连接GF，GD，如图所示 则GF为的中位线，四边形GFAD为平行四边形，又平面BDE，平面
14、BDE，平面BDE【小问2详解】平面ABC，平面ABC，平面平面ACED，平面ABC，平面ABC，四边形ACED为梯形， ，平面平面，平面ACED，即AB为四棱锥的高，21. 已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先求出导数利用求出，即可求出的值；（2）导函数存在两个不相等的零点，则需要对导函数进行增减性的分析，利用根的存在性定理进行求解即可.【小问1详解】由题意，的定义域为， ，因为曲线在点处的切线方程为所以，得；【小问2详解】因为，存在两个不相等的零点，所以存在两个不相等的零点，
15、则，当时，所以单调递增，至多有一个零点当时，因为当时，单调递增，当时，单调递减，所以时，因为存在两个零点，所以，解得，因为，所以，因为，所以在上存在一个零点，因为，所以，因为，设，则，因为，所以单调递减，所以，所以所以在上存在一个零点，综上可知，实数的取值范围为【点睛】方法点睛：求函数的切线方法，分为两种：一是“过”某点的切线，二是“在”某点的切线.求“过”某点切线步骤：一：设切点为；二：求出原函数的导数，将代入导函数求切线的斜率；三：利用点斜式书写方程，在代入题设某点即可.求“在”某点切线步骤：一：求出原函数的导数，将代入导函数求切线的斜率；二： 利用点斜式书写方程，在代入点即可.22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，曲线C的参数方程为为参数以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）已知A是曲线C上一点，B是直线l上位于极轴所在直线上方的一点，若，求面积的最大值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据参数方程的意义直接转换即可；（2）把所求面积转换成角度关系，求三角函数的最值即可.【小问1详解】直线的普通方程为，所以直线的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程为，又故曲线的极坐标方程为【小问2详解】解法一：设，直线，则，所以，所以当时，解法二：由，得的极坐标为设，当，即时，
