1、数学试题 考试时间：120 分钟 满分：150 分 第卷 选择题（满分 60 分）一、选择题（每题 5 分，共 60 分）1已知幂函数21()mf xx的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（）A 1 B 12 C2 D32已知集合2log1Axx，集合|11Bxx，则 AB （）A 1,1 B 1,2)C0,1 D,2-3函数()1lg(2)f xxx的定义域为（）A(2,1)B 2,1 C(2,)D(2,1 4函数11yx 在区间1,2 上的最大值为（）A13 B12 C 1 D不存在 5已知函数1()3()3xxf x，则()f x（）A是奇函数，且在 R 上是增函数 B是偶函数，且在
2、 R 上是增函数 C是奇函数，且在 R 上是减函数 D是偶函数，且在 R 上是减函数 6已知39log 2a，1314b，13log 6c，则 a，b，c 的大小关系为（）A abc Bbac Ccba Dcab 7函数 在上单调递减，且为奇函数若，则满足 的x 的取值范围是 A.B.C.D.8函数1xyx 的图象是（）ABCD 9已知为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量 y（3/mg m）与时间t（h）成正比（102t）；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为1()4t ay（a 为常数，12t），据测定，当空气中每立
3、方米的含药量降低到0.5（3/mg m）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前()分钟进行消毒工作 A30 B40 C60 D90 10函数2()ln(43)f xxx的单调递减区间是（）A32，B 3,42 C 3,2 D31,2 11已知函数的定义域为 R，且对任意的12,x x 且12xx都有 12120f xf xxx成立，若 2211f xf mm对 xR 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A1,2 B1,2 C(,1)(2,)D,12,12已知定义在R上的奇函数 f x 满足 20f xfx，且当0,1x时，2log1f xx，则下列结论正确的是（）f x 的图象关于
4、直线1x 对称；f x 是周期函数，且 2 是其一个周期；16132ff；关于 x 的方程 0f xt（01t）在区间2,7上的所有实根之和是 12.A B C D 第卷 非选择题（满分 90 分）二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13240432(3)(3)log 6427 _14已知函数831xya（0a，且1a）的图像恒过定点(,)A m n，则logm n _ 15已知3()4f xaxbx,若(2)6f,则(2)f _ 16若平面直角坐标系内两点 P，Q 满足条件：，Q 都在函数 的图象上；，Q 关于原点对称，则称点对 是函数 的图象上的一个“友好点对”已知函数 且 ，若此函数
5、的“友好点对”有且只有一对，则实数 a 的取值范围是_ 三、解答题（共 70 分）17（本小题满分 10 分）设全集U R，集合1Ax x，20 xBxx求：（1）AB；（2）U AB 18（本小题满分 12 分）已知幂函数21 3()322mf xmmx 在(0,)上为增函数（1）求()f x 解析式；（2）若函数2()(21)1yf xaxa 在区间(2,3)上为单调函数，求实数a 的取值范围 19（本小题满分 12 分）已知函数 是定义在 上的奇函数，满足 ，当 时，有 求实数 a，b 的值；求函数 在区间 上的解析式，并利用定义证明函数 在 上的单调性 20（本小题满分 12 分）已知
6、定义在 R 上的函数 满足对任意 恒有 且 不恒为 0 求 和 的值；试判断 的奇偶性，并加以证明；若 时 为增函数，求满足不等式 的 x 的取值集合21（本小题满分 12 分）习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020 年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本 3000 万元，每生产 x（百辆）需另投入成本 y（万元），且210100,040
7、100005014500,40 xxxyxxx.由市场调研知，每辆车售价 5 万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出 2020 年的利润 S（万元）关于年产量 x 的函数关系式；（利润=销售额成本）（2）当 2020 年产量为多少辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.22（本小题满分 12 分）在函数定义域内，若存在区间 ，使得函数值域为,mp np，则称此函数为“p 档类正方形函数”，已知函数 ，当 时，求函数 的值域；若函数 的最大值是 1，求实数 k 的值；当 时，是否存在 ，使得函数 为“1 档类正方形函数”？若存在，求出实数 k 的取值范围；若不存在，请说明理由答案
8、1【答案】C【解析】因为幂函数21()mf xx的图象经过点（2，8），所以2128m，解得2m.2【答案】C【解析】因为 2log102Axxxx，|11Bxx，所以 010,1ABxx.3【答案】D【解析】函数()1lg(2)f xxx有意义等价于102120 xxx ，所以定义域为(2,1，4【答案】A【解析】因为函数1yx 在0,上单调递增，11yx 是由1yx 向左平移一个单调后得到的函数，所以11yx 在1,上单调递增，则11yx 在区间1,2 上单调递增，所以最大值为max112 13y .5【答案】A【解析】函数 133xxf x的定义域为 R，111333,333xxxxxx
9、fxf x 即函数 f x 是奇函数，又1y3,3xx y 在 R 都是单调递增函数，故函数 f x 在 R 上是增函数 6【答案】A 7【答案】D解：为奇函数，在 上单调递减，由 ，得 ，即 8【答案】C【解析】由题意，函数可化简得：1111xyxx 则可将反比例函数1yx的图象由左平移一个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数1xyx 的图象，答案为选项 C.9【答案】C【解析】根据图像：函数过点 1,12，故 1212,0211(),42txtyf tt ，当12t 时，取 1211()42tf t，解得1t 小时60分钟.10【答案】B【解析】由2430 xx得2340 xx，解得：1
10、4x，2()ln(43)f xxx由lnyt和234txx 复合而成，lnyt在定义域内单调递增，234txx 对称轴为32x，开口向下，所以234txx 在31,2单调递增，在 3,42单调递减，所以2()ln(43)f xxx的单调减区间为 3,42，11【答案】A【解析】由 12120f xf xxx，则函数()f x 在 R 上为增函数，由2211f xf mm对 xR 恒成立，故22min1(1)mmx，即21 1mm 解得-1m2，12【答案】A【解析】由 20f xfx可知 f x 的图象关于直线1x 对称，正确；因为 f x 是奇函数，所以 2f xfxf x，所以 42f x
11、f xf x，所以 f x 是周期函数，其一个周期为 4，但不能说明 2 是 f x 的周期，故错误；由 f x 的周期性和对称性可得1644243333ffff.又当0,1x时，2log1f xx，所以 f x 在0,1x时单调递增，所以1223ff，即16132ff，错误；又0,1x时，2log1f xx，则可画出 f x 在区间2,8上对应的函数图象变化趋势，如图.易得 0f xt（01t）即 f xt（01t）在区间2,7上的根分别关于 1，5对称，故零点之和为21 512，正确.13【答案】1【解析】根据指数幂运算及对数的性质,化简可得 240432(3)(3)log 6427 26
12、33231 log 23 3 1691.14【答案】13【解析】令 x80，解得 x8，则 y312，即恒过定点 A（8，2），m8，n2，logmn 81log 23.15【答案】14 解：3()4f xaxbx33()()4()()48f xfxaxbxaxbx ()()8f xfx (2)6f(2)14f 16【答案】解：当 时，函数 关于原点对称的函数为 ，即 ，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则等价为函数 ，与 ，只有一个交点，作出两个函数的图象如图：若 ，则 ，与 ，只有一个交点，满足条件，当 时，若 ，要使两个函数只有一个交点，则满足 ，即 得 ，得 或 ，综上 或 ，即实数
13、 a 的取值范围是 ，故答案为：17【解析】（1）111Ax xxx，2002xBxxxx，因此，01ABxx；（2）全集U R，1U Ax x 或1x，因此，1U ABx x 或0 x.18【解析】（1）幂函数解析式为21 3()(322)mf xmmx ，23221mm，即23210mm，解得1m 或 13，当1m 时，2()f xx在(0,)上为减函数，不合题意，舍去；当13m 时，2()f xx在(0,)上为增函数，符合题意，2()f xx（2）22(21)1yxaxa 在区间(2,3)上为单调函数，函数对称轴为212ax，有 2122a 或 2132a ，解得32a 或52a，实数
14、a 的取值范围为3|2a a 或53a 19【解析】解：函数 是定义在 上的奇函数，即 ，又因为 ，所以 ，即 ，所以 ，综上可知 ，由 可知当 时，当 时，且函数 是奇函数 ，当 时，函数 的解析式为 ，任取 ，且 ，则 ，且 ，于是 ，即 ，故 在区间 上是单调增函数 20.【答案】解：令 ，得 ，令 ，得 ，是偶函数：令 ，则 ，是偶函数 由式 得式 ，由 得，函数 是偶函数，则不等式等价为 ，时 为增函数，不等式等价为 ，平方得 ，即 ，即 ，即满足不等式 的 x 取值集合为 21【解析】（1）由题意，当040 x时，25 100101003000Sxxx 2104003000 xx；
15、当40 x时，5 1005014100001000050030001500Sxxxxx；所以2104003000,040100001500,40 xxxSxxx；（2）当040 x时，210(20)1000Sx，当且仅当20 x=时，max()1000L x；当40 x时，1000010000()1500150021300L xxxxx(当且仅当10000 xx，即100 x 时，“”成立)因为10001300，所以，当100 x 时，即2020 年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1300万元.22解：时，因为 ，所以 ，所以函数 的值域为 设 ，则 ，若 ，则函数 无最大值，即 无最大值，不合题意；故 ，因此 最大值在 时取到，且 ，所以 ，解得 或 ，由 ，所以 因为 时，设 ，设真数为 ，此时对称轴 ，所以当 时，为增函数，且 ，即 在 上为增函数 所以，即方程 在 上有两个不同实根，即 ，设 ，所以 即方程 有两个大于 1 的不等实根，因为 ，所以 解得 ，由 ，得 即存在 ，使得函数 为“1 档类正方形函数”，且
