1、20222023学年度下期期末高一年级调研考试数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.
2、已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，所以.故选：C2. 已知，为共线向量，且，则（ ）A. B. C. 40D. 【答案】A【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示及模的公式求解即可.【详解】，为共线向量，即，.故选：A.3. 已知为虚数单位，复数共轭复数为，且满足，则（ ）A. B. 0C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出复数，再结合共轭复数的意义求解作答.【详解】依题意，则，所以.故选：C4. ，是不同的直线，是互不相同的平面，下列说法正确的是（ ）A. 若直线，在平面内，且均平行平面，则平面与平面
3、平行B. 若平面平行直线，直线平行平面，则平面与平面平行C. 若平面垂直平面，平面垂直平面，则平面与平面平行D. 若直线垂直平面，直线垂直平面，则直线与直线平行【答案】D【解析】【分析】根据线面的位置关系可判断ABC；利用线面垂直的性质可判断D.【详解】若直线，平行且在平面内，均平行平面，此时平面与平面可能相交，故A错误；若平面平行直线，直线平行平面，此时平面与平面可能相交，故B错误；若平面垂直平面，平面垂直平面，此时平面与平面可能相交，故C错误；若直线垂直平面，直线垂直平面，由线面垂直的性质得直线与直线平行，故D正确.故选：D.5. 在中，则的值为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【
4、解析】【分析】由题意得，又，根据数量积的定义可求得.【详解】，又，故选：B.6. 已知，分别为三个内角，的对边，且满足，则为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 以上皆有可能【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角即可求解.【详解】由及正弦定理，得,因为，所以,所以,即，所以，则所以，所以为直角三角形.故选：B.7. “辛普森（Simpson）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积V等于其上底面的面积、中截面（过高的中点且平行于底面的截面）的面积的4倍、下底面的面积之和
5、乘以高的六分之一，即我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体称为拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，中国古代名词“刍童”（原来是草堆的意思）就是指上下底面皆为矩形的拟柱体，已知某个“刍童”如图所示，且体积为，则它的高为（ ） A. B. C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】求出上下底面的面积和中截面的面积，代入公式即可求出高.【详解】上底面的面积，下底面的面积，中截面是过高的中点，且平行于底面的截面，其中分别是对应棱上的中点，如图所示， 根据中位线定理得，所以中截面的面积，解得，故选：C8. 设正三棱锥底面的边长为2，侧面与底面所成的二面角的余弦值为
6、，则此三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设的中点为，连接，设为等边的中心，连接，由正三棱锥的性质可得平面，为侧面与底面所成的二面角的平面角，从而结合已知可求出高，进而可求出其体积.【详解】设中点为，连接，设为等边的中心，连接，则平面，因为三棱锥为正三棱锥，所以，所以，所以为侧面与底面所成的二面角的平面角，因为等边的边长为2，所以，因为侧面与底面所成的二面角的余弦值为，所以，解得，所以，所以三棱锥的体积为，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0
7、分.9. 的内角，的对边分别为，下列四个结论正确的是（ ）A. B. 若，则为120C. 若，则为等腰直角三角形D. 若，则是钝角三角形【答案】ABD【解析】【分析】由余弦定理化角为边可判断A；由余弦定理得，可判断B；利用两角和差的正弦公式求解可判断C；由正弦定理得，由余弦定理得为钝角，可判断D.【详解】，故A正确；由余弦定理得，而，则，故B正确；若，即,展开整理得，或，为直角三角形或等腰三角形，故C错误；若，由正弦定理得，由余弦定理得，可得为钝角，则是钝角三角形，故D正确.故选：ABD10. 九章算术是我国古代的数学经典名著，它在几何学方面的研究比西方早一千年，在九章算术中，将四个面都为直角
8、三角形的四面体称为“鳖臑”如图，“鳖臑”几何体中，平面，于点，于点设，则有（ ） A. 四面体最长的棱为B. 平面平面C. ，两两互相垂直D. 【答案】ABD【解析】【分析】由平面，得，又，可得平面，由此即可判断C；设，求出各棱长，即可判断A；证得平面，而过点作平面的垂线有且仅有一条，由此可判断B；求出可判断D【详解】平面，平面，平面，平面，平面，由以上可知，两两互相垂直，故C正确；设，则；，则四面体最长的棱为，故A正确；，平面，平面，而过点作平面的垂线有且仅有一条，平面，平面，平面与平面不垂直，故B错误；，故D正确故选：ABD11. 已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ）A.
9、若，则为重心B. 若，则为的内心C. 若为的重心，是边上的中线，则D. 若，则【答案】AD【解析】【分析】取的中点，则，得，即可判断A；若，则为的外心，不一定是内心，即可判断B；由题意，则，即可判断C；取的中点，则，得，即可判断D.【详解】取的中点，连接，则，若，则，则三点共线，且，则为的重心，故A正确；若，则为的外心，不一定是内心，故B错误；若为的重心，是边上的中线，则，则，故C错误；取的中点，连接，则，若，则，则三点共线，且，则，故D正确.故选：AD.12. 下列各式中，值为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据两角和的正、余弦公式及诱导公式、同角三角函数关系
10、化简即可求解.【详解】对于A，；对于B，；对于C，；对于D，.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 化简的结果是_.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用向量的加法计算作答.【详解】.故答案为：14. _.【答案】#【解析】【分析】利用两角差的正弦公式，特殊角的三角函数值即可求解【详解】故答案为：15. 若复数满足，为虚数单位，表示的共轭复数，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，设，求出，再利用复数模的意义结合三角函数性质求解作答.【详解】因为复数满足，则设，有，因此，而时，则，即，于是，所以的取值范围为.故答案为：16. 如图，在四棱锥
11、中，底面，底面为矩形，且，则该四棱锥的外接球的表面积为_. 【答案】【解析】【分析】将四棱锥补成长方体，求出长方体的对角线长，即可得外接球的半径，进而得表面积.【详解】将四棱锥补成长方体如图： 则此四棱锥的外接球即为长方体的外接球，长方体的对角线长为，所以四棱锥的外接球的直径为3，即半径，则该四棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.四、解答题：本题共6.小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知平面向量，且，.（1）若，求实数，的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算求解；（2）根据向量垂直的坐标表示求解.【小问1详解】
12、，且，解得.【小问2详解】，解得.18. 如图，在直三棱柱中，底面为正三角形，侧面为正方形，且，分别是，的中点. （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，可得，根据线面平行的判定定理即可证得结论；（2）分别取的中点，可证得为平行四边形，则，故直线与平面所成角与直线与平面所成角相等，由平面，得为直线与平面所成角，在直角三角形求解即可.【小问1详解】连接，则是，的交点，分别是，的中点，平面，平面，平面. 【小问2详解】分别取的中点，连接，分别是的中点，又，为平行四边形，直线与平面所成角与直线与平面所成角相等，平面，为直线与平面所成角，
13、在直角三角形中，直线与平面所成角为.19. 用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：00200（1）请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；（2）当时，求的值域.【答案】（1）表格见解析， （2）【解析】【分析】（1）根据表中数据结合“五点法”画图，求得，即可得答案；（2）结合角的范围，利用三角函数的性质求解即可.【小问1详解】由题中数据可知，从而，且，即，又，表中数据补充完整为：00200【小问2详解】，即当时，的值域为.20. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，边长为，点为侧棱的中点，过，三点的平面交侧棱于点. （1）求四棱锥的体积；（2）求证：.【
14、答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出，利用棱锥体积公式求解；（2）由PD平面ABCD，得PDDC，又DCAD，得DC平面PAD，则DCPA，又DEPA，可得PA平面CDEF，即可得出结论.【小问1详解】平面，平面，四棱锥的体积.【小问2详解】PD平面ABCD，DC平面ABCD，PDDC，DCAD，ADPDD，AD，PD平面PAD，DC平面PAD，又PA平面PAD，DCPA，PDAD，E为侧棱PA的中点，DEPA，DCDED，DC，DE平面CDEF，PA平面CDEF，CF平面CDEF，PACF21. 世界大学生夏季运动会，素有“小奥运会”之称，由国际大学生体育联合会（Inte
15、rnational University Sports Federation）主办，只限在校大学生和毕业不超过两年的大学生（年龄限制为1728岁）参加的世界大型综合性运动会始办于1959年，其前身为国际大学生运动会第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕，为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖公园一角修建具有成都文化特色的观景步道（如图）在中，是边上一点，米， （1）若米，求；（2）当，记，求当角取何值时，的面积最大，并求出这个最大值【答案】（1）米 （2）当时，的面积的最大值为【解析】【分析】（1）由正弦定理求得，从而得，设，结合勾股定理求出；（2）根据已知条件求出的范围，
16、由正弦定理求得，利用三角形面积公式及三角函数的性质求得答案.【小问1详解】在中，由正弦定理，得，在中，设，又，即米.【小问2详解】，由正弦定理得，当时取等号，当时，的面积的最大值为.22. 已知函数，函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，.（1）若，求；（2）若对任意，存在使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简的解析式，从而由解得；（2）利用三角函数的图象变换规律求出函数的解析式，根据题意，将所给条件转化为和的值域的包含关系，根据分段函数的特征及二次函数的性质分类讨论，列出不等式组，求得实数的取值范围【小问1详解】，若，则，.【小问2详解】，当时，若对任意，存在使得成立，则函数的值域是的子集.，令，记，当时，在时单调递减，则，即，由题意得，解得，又，矛盾，所以无解；当时，在时单调递减，在时单调递增，在时单调递减，由题意得，解得，又，所以；当时，在时单调递减，在时单调递增，由题意，解得，又，所以；当时，在时单调递减，则，即，由题意得，解得，又，所以，综上可得，.【点睛】方法点睛：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，则；（2）若，使得成立，则；（3）若，使得成立，则；（4）若，使得成立，则的值域是值域的子集
