1、本作品版权由孙小明老师所有,授权予北京校园之星科技有限公司，任何机构或个人均不得擅自复制、传播。本公司热忱欢迎广大一线教师加入我们的作者队伍。有意者请登录高考资源网()版权所有，盗用必究！共6页第6页86 抛物线的几何性质（1） 一、教学目标知识目标：1掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；能力目标：1从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力2在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 二、教材分析“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重
2、要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一 对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论 已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为（或），则轴（或轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数1重点：抛物线的几何性质及初步运用(
3、解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出)2难点：抛物线的几何性质的应用(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用)三、活动设计提问、填表、讲解、演板、口答四、教学过程（一）复习引入： 1抛物线的定义是什么？请一同学回答应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线”2抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p0)，y2=-2px(p0)，x2=2py(p0)和x2=-2py(p0)下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p0)出发来研究它的几何性质(二)几何性质怎样由抛物线的标准
4、方程确定它的几何性质？以y2=2px(p0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写填写完毕后，再向学生提出问题：和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较其结果是应规定抛物线的离心率为1注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来
5、了注意：抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率 附：抛物线不存在渐近线的证明（反证法）假设抛物线y22px存在渐近线ymxn，A（x，y）为抛物线上一点，A0（x，y1）为渐近线上与A横坐标相同的点如图，则有和y1mxn 当m0时，若x，则当m0时，当x，则这与ymxn是抛物线y22px的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线（三）讲解范例：例1 已知抛物线关于x轴为
6、对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，所以 ，即 因此，所求的抛物线方程为将已知方程变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得x01234y022.83.54描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径6
7、0cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程是 (p0)由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得，即 所求的抛物线标准方程为例3 过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷证明：如图设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线引垂线AD，EH，
8、BC，垂足为D、H、C，则AFAD，BFBCABAFBFADBC2EH所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线相切（四）课堂练习：1过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（ B ）（A）10 （B）8 （C）6 （D）42已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ B ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）63过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（ C ）（A） （B） （C） （D）4过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是 _ (答案： ) 5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小
9、值，并求出此时中点的坐标（答案： , M到轴距离的最小值为）（五）小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等 （六）课后作业：1根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，3）到焦点距离为52过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则A2FB2等于3抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程4以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长5有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？习题答案：1（1）y232x（2）x28y（3）x28y2903x216 y45米（七）板书设计 86 抛物线的几何性质(1)
