1、第六章 不等式、推理与证明 第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 第六章 不等式、推理与证明 主干知识梳理 一、二元一次不等式(组)表示的平面区域 1在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域：第六章 不等式、推理与证明 不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括AxByC0包括不等式组各个不等式所表示平面区域的边界直线边界直线公共部分第六章 不等式、推理与证明 2.二元一次不等式表示的平面区域的确定：二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线
2、的一侧，反之在直线的另一侧第六章 不等式、推理与证明 二、线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的线性约束条件 由x，y的不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数，如z2x3y等线性目标函数 关于x，y的解析式可行解满足线性约束条件的解不等式(组)一次解析式一次(x，y)第六章 不等式、推理与证明 可行域所有可行解组成的最优解使目标函数取得或的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的或问题集合最大值最小值最大值最小值第六章 不等式、推理与证明 基础自测自评1(教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为()A2xy30B2xy30C2x
3、y30D2xy30第六章 不等式、推理与证明 B 将原点(0，0)代入2xy3得200330，所以不等式为2xy30.第六章 不等式、推理与证明 2(教材习题改编)已知实数 x、y 满足x1，y2，xy0，则此不等式组表示的平面区域的面积是()A.12 B.14C1 D.18第六章 不等式、推理与证明 A 作出可行域为如图所示的三角形，S121112.第六章 不等式、推理与证明 3(2013天津高考)设变量 x，y 满足约束条件3xy60，xy20，y30，则目标函数 zy2x 的最小值为()A7 B4C1 D2第六章 不等式、推理与证明 A 作约束条件3xy60，xy20，y30，所表示的可
4、行区域，如图所示，zy2x 可化为 y2xz，z 表示直线在 y 轴上的截距，截距越大 z 越大，作直线 l0：y2x，平移 l0 过点 A(5，3)，此时 z 最小为7，故选 A.第六章 不等式、推理与证明 第六章 不等式、推理与证明 4写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是_第六章 不等式、推理与证明 解析 由可行域知不等式组为x0，0y1，2xy20.答案 x0，0y1，2xy20第六章 不等式、推理与证明 5完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成请木工需付工资每人 50 元，请瓦工需付工资每人 40 元，现有工人工资预算2 000 元，设木工 x 人，瓦工 y 人，则所请工人数的约
5、束条件是_答案 50 x40y2 000，xN*，yN*第六章 不等式、推理与证明 关键要点点拨1确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；第六章 不等式、推理与证明(2)特殊点定域，即在直线AxByC0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧特别地，当C 0时，常把原点作为测试点；当C0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点第六章 不等式、
6、推理与证明 2最优解问题如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个第六章 不等式、推理与证明 典题导入(2014青岛一模)已知关于 x，y 的不等式组0 x4，xy40，kxy40所表示的平面区域的面积为 16，则 k 的值为()A1 B0C1 D3二元一次不等式(组)表示平面区域第六章 不等式、推理与证明 听课记录 作如图所示可行域显然 A 点坐标为 A(4，4k4)阴影部分面积为12(4
7、k4)416.k1.选 C.答案 C第六章 不等式、推理与证明 规律方法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点第六章 不等式、推理与证明 跟踪训练1(1)若满足条件xy0，xy20，ya的整点(x，y)恰有 9 个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 a 的值为()A3 B2C1 D0第六章 不等式、推理与证明 C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a0 时，只有 4 个整点(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0
8、)；当 a1 时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)5 个整点，故选 C.第六章 不等式、推理与证明(2)(2014辽宁五校联考)已知集合 A(x，y)|2xy20 x2y10 xy20，B(x，y)|x2(y1)2m，若 AB，则 m 的取值范围是()Am1 Bm2Cm2 Dm5第六章 不等式、推理与证明 C 作出可行域，如图中阴影部分所示，三个顶点到圆心(0，1)的距离分别是 1，1，2，由 AB 得三角形内所有点都在圆的内部，故 m 2，解得 m2.第六章 不等式、推理与证明 典题导入(1)(2012新课标全国卷)设 x，y 满足约束条件xy1，xy3，x
9、0，y0，则 zx2y 的取值范围为_(2)已知实数 x，y 满足x0，y1，2x2y10，若目标函数 zaxy(a0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数 a 的值为_求目标函数的最值 第六章 不等式、推理与证明 听课记录(1)依题意，画出可行域，如图阴影部分所示，显然，当直线 y12xz2过点 B(1，2)时，z 取得最小值为3；当直线过点 A(3，0)时，z 取得最大值为 3，综上可知 z 的取值范围为3，3第六章 不等式、推理与证明(2)画出平面区域所表示的图形，如图中的阴影部分所示，平移直线axy0，可知当平移到与直线2x2y10重合，即a1时，目标函数zaxy的最小值有无数多个答案
10、(1)3，3(2)1第六章 不等式、推理与证明 互动探究若本例(2)条件变为目标函数 zaxy(a0)仅在点12，1 处取得最小值，其它条件不变，求 a 的取值范围解析 由本例图知，当直线 axy0 的斜率 ka1，即 a1 时，满足条件，所求 a 的取值范围为(，1)第六章 不等式、推理与证明 规律方法1求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义 2常见的目标函数有：(1)截距型：形如 zaxby.求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值 第六章 不等式、推理与证明(2
11、)距离型：形如 z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如 zybxa.注意转化的等价性及几何意义第六章 不等式、推理与证明 跟踪训练2(1)设 z2xy，其中 x，y 满足xy0，xy0，0yk，若 z 的最大值为 6，则 k 的值为_；z 的最小值为_(2)已知 O 是坐标原点，点 A(1，0)，若点 M(x，y)为平面区域xy2，x1，y2上的一个动点，则|OA OM|的最小值是_第六章 不等式、推理与证明 解析(1)在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2xy6，结合图形分析可知，要使z2xy的最大值是6，直线yk必过直线2xy6与xy0的交点，即必过点(2，2)，于是有k
12、2；平移直线2xy6，当平移到经过该平面区域内的点(2，2)时，相应直线在y轴上的截距达到最小，此时z2xy取得最小值，最小值是z2(2)22.第六章 不等式、推理与证明(2)依题意得，OA OM(x1，y)，|OA OM|（x1）2y2可视为点(x，y)与点(1，0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(1，0)向直线 xy2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(1，0)的距离最小，因此|OA OM|的最小值是|102|23 22.答案(1)2 2(2)3 22 第六章 不等式、推理与证明 典题导入(2013湖北高考)某旅行社租用
13、A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A31 200元 B36 000元C36 800元D.38 400元线性规划的实际应用第六章 不等式、推理与证明 听课记录 设需 A，B 型车分别为 x，y 辆(x，yN)，则 x，y 需满足36x60y900，yx7，xN，yN，设租金为 z，则 z1 600 x2 400y，画出可行域如图，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为 x5，y12，此时 z最小等于 36 800，故选 C.第
14、六章 不等式、推理与证明 答案 C第六章 不等式、推理与证明 规律方法与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：设未知数，确定线性约束条件及目标函数；转化为线性规划模型；解该线性规划问题，求出最优解；调整最优解第六章 不等式、推理与证明 跟踪训练3(2012四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品
15、中，公司共可获得的最大利润是()A1 800元 B2 400元C2 800元D3 100元第六章 不等式、推理与证明 解析 设每天分别生产甲产品 x 桶，乙产品 y 桶，相应的利润为 z元，则x2y12，2xy12，x0，y0，z300 x400y，第六章 不等式、推理与证明 在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300 x400y0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4，4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z300 x400y取得最大值，最大值是z300440042 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元答案 C第六章 不等式、推理与证明【创新探究】利用线性
16、规划问题求解非线性规划问题(2012江苏高考)已知正数 a，b，c 满足：5c3ab 4ca，cln bacln c，则ba的取值范围是_【思路导析】将 a、b 看作变量 x、y.整理变形后已知不等式化作关于 a、b 的约束条件，作出可行域，结合图形分析求ba的范围 第六章 不等式、推理与证明【解析】由题意知ab4c，3ab5c，cln bacln cbceac.作出可行域(如图所示)第六章 不等式、推理与证明 由ab4c，3ab5c，得 ac2，b72c.此时ba max7.由ab4c，bceac，第六章 不等式、推理与证明 得 a 4ce1，b 4cee1.此时ba min4cee14ce
17、1e.所以bae，7【答案】e，7第六章 不等式、推理与证明【高手支招】本题巧妙地将 a、b 看作变量，c 看作常量，问题转化成线性规划问题同时对于 cln bacln c 转化成 bceac后利用指数函数图象，作出相关的区域是解决本题的一个关键点、难点该题的主要目的是考查学生的化归能力及数形结合解题的能力，难度较大第六章 不等式、推理与证明 体验高考1(2013福建高考)若变量 x，y 满足约束条件xy2，x1，y0，则 z2xy 的最大值和最小值分别为()A4 和 3 B4 和 2C3 和 2 D2 和 0第六章 不等式、推理与证明 B 画出可行域(如图中阴影部分)，由图象可得，当 y2x
18、z 经过点 B(2，0)时，zmax4；当 y2xz 经过点 A(1，0)时，zmin2，故选 B.第六章 不等式、推理与证明 2(2013新课标全国高考)已知 a0，x，y 满足约束条件x1，xy3，ya（x3）.若 z2xy 的最小值为 1，则 a()A.14B.12C1 D2第六章 不等式、推理与证明 B 由题意作出x1，xy3所表示的区域如图阴影部分所示，作直线 2xy1，因为直线2xy1 与直线 x1 的交点坐标为(1，1)，结合题意知直线 ya(x3)过点(1，1)，代入得 a12，所以 a12.第六章 不等式、推理与证明 3(2013山东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组2x3y60，xy20，y0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是_第六章 不等式、推理与证明 解析 由约束条件可画出可行域如图中阴影部分所示 由图可知 OM 的最小值即为点 O 到直线 xy20 的距离，即dmin|2|2 2.答案 2第六章 不等式、推理与证明 课时作业
