1、第九课时 二倍角的正弦、余弦、正切(三)教学目标：灵活应用和、差、倍角公式，掌握和差化积与积化和差的方法；培养学生联系变化的观点，提高学生的思维能力.教学重点：和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用.教学难点：二倍角公式的变形式的灵活应用.教学过程：.课题导入现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.先看本章开始所提问题，在章头图中，令AOB，则ABasin，OAacos，所以矩形ABCD的面积Sasin2acosa22sincosa2sin2a2当sin21，即290，45时，a2sin2a2S不难看出，这时A、D两点与O点的距离都是a，矩形的面积最大，于是问题得到解决.讲授新课例1求
2、证sin2分析：此等式中的可作为的2倍.证明：在倍角公式cos212sin2中以代替2，以代替，即得cos12sin2 sin2请同学们试证以下两式:(1)cos2 (2)tan2证明：(1)在倍角公式cos22cos21中以代替2、以代替，即得cos2cos21， cos2(2)由tan2 sin2 cos2 得tan2这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法.另外，在这三
3、式中，如果知道cos的值和角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得sin、cos与tan.下面，再来看一例子.例2求证：sincossin()sin()分析：只要将S()、S()公式相加，即可推证.证明：由sin()sincoscossin sin()sincoscossin 得：sin()sin()2sincos即：sincossin()sin()请同学们试证下面三式：(1)cossinsin()sin()(2)coscoscos()cos()(3)sinsincos()cos()证明：(1)由sin()sincoscossin sin()sincoscossin 得：sin()sin(
4、)2cossin即：cossinsin()sin()(2)由cos()coscossinsin cos()coscossinsin 得：cos()cos()2coscos即：coscoscos()cos()(3)由cos()coscossinsin cos()coscossinsin 得cos()cos()2sinsin即：sinsincos()cos() 不难看出，这一组式子也有一共同特点，即，左式均是乘积形式，右式均为和差形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式.和差形式是否可以化为乘积的形式呢?看这一例子.例3求证sinsin2sincos分析：可有代替， 证明：
5、左式sinsinsinsinsincoscossinsincoscossin2sincos右边请同学们再证下面三式.(1)sinsin2cossin；(2)coscos2coscos；(3)coscos2sinsin.证明：(1)令，则左边sinsinsinsinsincoscossinsincoscossin2cossin右边(2)左边coscoscoscoscoscossinsincoscossinsin2coscos右边(3)左边coscoscoscoscoscossinsincoscossinsin2sinsin右边.这组式子的特点是左式为和差形式，右式为积的形式，所以这组式子也可称为
6、和差化积公式，只要求掌握这种推导方法，不要求记忆.课堂练习1.已知、为锐角，且3sin22sin21，3sin22sin20.求证：2证法一：由已知得3sin2cos2 3sin22sin2 得tantan（2）、为锐角，0，02，20，22，2证法二：由已知可得：3sin2cos2，3sin22sin2cos(2)coscos2sinsin2cos3sin2sinsin23sin2cossin3sincos0又由2(0，)2证法三：由已知可得 sin(2)sincos2cossin2sin3sin2cossin23sin(sin2cos2)3sin又由，得3sincossin2 22，得9s
7、in49sin2cos21sin，即sin(2)1又02，2评述：一般地，若所求角在(0，)上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在(，)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切.2.在ABC中，sinA是cos(BC)与cos(BC)的等差中项，试求(1)tanBtanC的值.(2)证明tanB(1tanC)cot(45C)(1)解：ABC中，sinAsin(BC)2sin(BC)cos(BC)cos(BC)2sinBcosC2cosBsinC2cosBcosCcosBcosC0 tanBtanC1(2)证明：又由上：tan1tanC(1
8、tanC) (1tanC)tan(45C)(1tanC)cot(45C).课时小结通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式的方法，虽不要求记忆，但要知道它们的互化关系.另外，要注意半角公式的推导与正确使用.当然，这些都是在熟练掌握二倍角公式的基础上完成的.课后作业课本P111习题 7、8、10.二倍角的正弦、余弦、正切1已知sin，23，那么sincos等于 （ ）A. B. C. D. 2sin10sin30sin50sin70的值是 （ ）A. B. C. D. 3已知f(sinx)cos2x，则f(x)等于 （ ）A.2x21 B.12x2 C.2xD.2x 4设sinsin8
9、5，则cos等于 （ ）A. B. C. D.1 5（sincos)(sincos) . 6化简cos()cos（) . 7sin2 . 8 . 9已知cos2，(0， )，sin，(， )，求cos().10已知sinsin，coscos，求cos的值.11已知sin()，cos()，且，求cos().二倍角的正弦、余弦、正切答案1D 2A 3B 4B 5 6cos2 7 89已知cos2，(0， )，sin，(， )，求cos().解：由(0， )得sin，cos(， )，cos代入cos()coscossinsin()()10已知sinsin，coscos，求cos的值.两式平方相加，得112（coscossinsin)cos()，cos2cos11已知sin()，cos()，且，求cos().，cos()，0sin()cos()cos()()sin()sin()cos()cos()()().
