1、平面向量共线的坐标表示 (20分钟35分)1.(2020菏泽高一检测)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且ab,则下列关系式一定成立的是()A.x1y1-x2y2=0B.x1x2-y1y2=0C.=D.x1y2-x2y1=0【解析】选D.A、B明显错误,C中只有在y1y20时才成立.2.若向量a=(3,2),b=(-1,m),且ab,则m=()A.B.-C.D.-【解析】选B.向量a=(3,2),b=(-1,m),且ab,则3m-2(-1)=0,解得m=-.3.已知向量a=(1-sin ,1),b=,且ab,则锐角等于()A.30B.45C.60D.75【解析】选B.由ab,可得(
2、1-sin )(1+sin )-=0,即cos =,而是锐角,故=45.【补偿训练】设a=,b=,且ab,则锐角为()A.30B.60C.45D.75【解析】选A.因为ab,所以-tan cos =0,即sin =,又为锐角,故=30.4.已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b()A.平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线【解析】选C.a+b=(x,1)+(-x,x2)=(0,x2+1),因为x2+11,所以点(0,x2+1)在y轴正半轴上.所以a+b平行于y轴.5.(2020宝山区高一检测)向量a=(1,-2),向量b与
3、a共线,且|b|=4|a|,则b=.【解析】因为ba,令b=a=(,-2),又|b|=4|a|,所以()2+(-2)2=16(1+4),故有2=16,解得=4,所以b=(4,-8)或(-4,8).答案:(4,-8)或(-4,8)6.已知A,B,C三点的坐标为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=,=,求证:.【证明】设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),依题意有=(2,2),=(-2,3),=(4,-1).因为=,所以(x1+1,y1)=(2,2).所以点E的坐标为.同理点F的坐标为,=.又(-1)-4=0,所以. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.
4、若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i,j的方向分别与x,y轴正方向相同且为单位向量).与共线,则x,y的值可能分别为()A.1,2B.2,2C.3,2D.2,4【解析】选B.因为=(1,2),=(3-x,4-y),又,所以4-y-2(3-x)=0,即2x-y-2=0,代入检验知B合适.2.(2020本溪高一检测)已知三点A(-1,1),B(0,2),C(2,0),若和是相反向量,则D点坐标是()A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,-1)D.(-1,1)【解析】选C.因为与是相反向量,所以=-,又=(1,1),所以=(-1,-1).设D(x,y),则=(x-2,y)=(-1,
5、-1).从而x=1,y=-1.即D(1,-1).3.设kR,下列向量中,与向量a=(1,-1)一定不平行的向量是()A.(k,k)B.(-k,-k)C.(k2+1,k2+1)D.(k2-1,k2-1)【解析】选C.因为(k2+1)+(k2+1)=2k2+20,所以a与(k2+1,k2+1)一定不平行.4.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则存在实数x,使ab;存在实数x,使(a+b)a;存在实数x,m,使(ma+b)a;存在实数x,m,使(ma+b)b.其中,所有叙述正确的序号为()A.B.C.D.【解析】选D.由abx2=-9无实数解,故不对;又a+b=(x-3,3+x),由(a+b
6、)a得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9无实数解,故不对;因为ma+b=(mx-3,3m+x),由(ma+b)a得(3m+x)x-3(mx-3)=0.即x2=-9无实数解,故不对;由(ma+b)b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,xR,故正确.5.(2020鞍山高一检测)ABC中A为其内角,设a=,b=,且ab,则sin A+cos A=()A.B.C.-D.2【解析】选B.a=,b=,且ab,所以-sin Acos A=0,则sin Acos A=.所以(sin A+cos A)2=sin2A+cos2A+2sin Acos A=1+2=2.
7、由A是ABC的内角,可得sin A0,cos A-1,所以sin A+cos A-1,则sin A+cos A=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020泰安高一检测)若三点A(-2,-2),B(0,m),C(n,0)(mn0)共线,则+的值为.【解析】因为A,B,C共线,所以.因为=(2,m+2),=(n+2,2),所以4-(m+2)(n+2)=0.所以mn+2m+2n=0.因为mn0,所以+=-.答案:-7.已知=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),则x+2y=.【解析】因为=+=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2),所以=-=-(x+4,y-2)=(
8、-x-4,-y+2).因为,所以x(-y+2)-(-x-4)y=0,即x+2y=0.答案:08.如图所示,在四边形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),则直线AC与BD交点P的坐标为.【解析】设P(x,y),则=(x-1,y),=(5,4),=(-3,6),=(4,0).由B,P,D三点共线可得=(5,4).又因为=-=(5-4,4),由于与共线得,(5-4)6+12=0.解得=,所以=,所以P的坐标为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).(1)求线段BD的中点M的坐标.(2)若点P(2,y
9、)满足点P,B,D三点共线,求y的值.【解析】(1)设B(x1,y1),因为=(4,3),A(-1,-2),所以(x1+1,y1+2)=(4,3),所以所以所以B(3,1).同理可得D(-4,-3),设BD的中点M(x2,y2),则x2=-,y2=-1,所以M.(2)=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).因为P,B,D三点共线,所以,所以-4+7(1-y)=0,所以y=.10.已知四边形ABCD是边长为6的正方形,E为AB的中点,点F在BC上,且BFFC=21,AF与EC相交于点P,求四边形APCD的面积.【解析】以A为坐标原点,所在直线为x轴
10、建立直角坐标系,如图所示,所以A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6),F(6,4),E(3,0),设P(x,y),=(x,y),=(6,4),=(x-3,y),=(3,6).由点A,P,F和点C,P,E分别共线,得所以所以=-=36-33-36=.1.已知梯形ABCD,其中ABCD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为.【解析】因为在梯形ABCD中,DC=2AB,ABCD,所以=2.设点D的坐标为(x,y),则=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),=(2,1)-(1,2)=(1,-1),所以(4-x,2-y)=2(1,-1),
11、即(4-x,2-y)=(2,-2),所以解得故点D的坐标为(2,4).答案:(2,4)2.如图,已知四边形ABCD是正方形,|=|,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE.【证明】建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则A(-1,1),B(0,1),若点E的坐标为(x,y),则=(x,y-1),=(1,-1).因为,所以x(-1)-1(y-1)=0.又|=|,所以x2+y2=2.由联立,解得点E的坐标为.设点F的坐标为(x,1),由=(x,1)和=共线,得x-=0,所以x=-(2+),所以点F的坐标为(-2-,1).所以=(-1-,0),=,所以|=1+=|,即AF=AE.
