1、2.3.1直线与平面垂直的判定知识导图学法指导1.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可以从直线与平面相交所成的角为90的角度来讨论，又可以从已有的线线垂直关系出发进行推理和论证2在线面垂直的判定定理中，有非常重要的限制条件“两条相交直线”，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用时一定要注意体现逻辑推理的规范性3求直线与平面所成的角的关键是作直线在平面上的射影高考导航1.考查线线、线面垂直关系的判定，常以选择题的形式出现，也可以是解答题的某一问，分值5分2考查直线与平面所成的角，常出现在文科卷中，以解答题的一问的形式呈现，分值5分3考查与其他知识的综
2、合问题，如求体积、参数、比值等，分值56分.知识点一直线与平面垂直直线与平面垂直定义如果直线l与平面内的所有直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直，记作l.直线l叫作平面的垂线，平面叫作直线l的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫作垂足画法通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号表述：l1直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形2注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”3判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定
3、垂直知识点二直线与平面所成的角直线和平面所成的角定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫作这条直线和这个平面所成的角当直线与平面垂直时，它们所成的角是90.当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0范围090画法如图，PAO就是斜线AP与平面所成的角把握定义应注意两点：斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线l垂直于平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()(2)若ab，a，l，则lb.()(3)若ab，b，则a.()答案：(1)(2)(3)
4、2在正方体ABCDA1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是()A平面DD1C1C B平面A1B1CDC平面A1B1C1D1 D平面A1DB解析：由于易证BC1B1C，又CD平面BCC1B1，所以CDBC1.因为B1CCDC，所以BC1平面A1B1CD.答案：B3若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A平面OAB B平面OACC平面OBC D平面ABC解析：OAOB，OAOC，OBOCO，OB，OC平面OBC，OA平面OBC.答案：C4设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若l，lm，则m B若l，m，则lmC若lm，m，则l D若l，m，则lm解析：易
5、知A正确B项，l与m可能异面，也可能平行C项，当l与内两条相交直线垂直时，才能判定l.D项，l与m可能平行、异面或相交答案：A类型一直线与平面垂直定义的理解例1已知平面及外一条直线l，给出下列命题：若l垂直于内两条直线，则l； 若l垂直于内所有直线，则l；若l垂直于内任意一条直线，则l； 若l垂直于内两条平行直线，则l.其中，正确命题的个数是()A0B1 C2D3【解析】根据直线与平面垂直的定义可知，正确，不正确【答案】C命题是否正确，一般先考虑能否利用定义来判断方法归纳直线与平面垂直要求直线与平面内的任一直线都垂直，“任一直线”与“所有直线”表示相同的含义但“任一直线”与“无数条直线”含义不
6、一样跟踪训练1如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正五边形的两边能保证该直线与平面垂直的是_(填序号)解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，中给定的两直线一定相交，能保证该直线与平面垂直而中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件答案：用定义判断时一定要弄清两直线是否相交类型二证明直线与平面垂直例2如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ACBC，N是AB的中点求证：CN平面ABB1A1.【证明】AA1CN，ABCN，又AA1平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，AA1ABA，所以CN平面AB
7、B1A1.要证明CN平面ABB1A1，先证明AA1CN且ABCN.方法归纳线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件跟踪训练2如图，已知PA底面ABC，其中ABC90 .求证：BC平面PAB.证明：PA底面ABC，BC平面ABC，PABC.ABC90，ABBC.又ABPAA，且AB平面PAB，PA平面PAB，BC平面PAB.本题中直接给出直角，据此可得垂直关系类型三直线与平面所成的角例3已知BOC在平面内，OA是平面的斜线，且AOBAOC60，OAOBOC1，BC.求OA与平面所成的角的大小【解析】O
8、AOBOC1，AOBAOC60，AOB，AOC为正三角形，ABAC1，又BC，AB2AC2BC2，ABAC，BAC为等腰直角三角形OBOC1，BC，OB2OC2BC2，OBOC，BOC为等腰直角三角形，如图，取BC的中点H，连接AH，OH，则AHBC，易得AHBAHO，AHOH，又OHBCH，OH平面，BC平面，AH平面，AOH即为OA与平面所成的角在RtAOH中，AH，sinAOH，AOH45，即AO与平面所成的角的大小为45.证明AOB，AOC为正三角形证明BAC，BOC为等腰直角三角形取BC的中点H证明AH平面找出直线OA与平面所成的角求角方法归纳求直线与平面所成的角的步骤(1)作：在斜
9、线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；(2)证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；(3)求：一般来说是借助三角形的相关知识求角跟踪训练3在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值解析：如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO，B1C.由ABCDA1B1C1D1为正方体，易得B1CBC1，B1CD1C1，BC1D1C1C1，BC1平面ABC1D1，D1C1平面ABC1D1，B1C平面ABC1D1，E，F分别为A1B1，CD的中点，EFB1C，
10、EF平面AC1，即EAO为直线AE与平面ABC1D1所成的角在RtEOA中，EOEFB1C，AE ，sinEAO.直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.求直线与平面所成的角按“一作，二证，三算”的步骤计算基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1已知直线l，则()AlBlCl D以上均有可能解析：由于，则平面内存在两条相交直线m，n分别平行于平面内两条相交直线a，b，又l，则la，lb，所以lm，ln，所以l.答案：C2直线l平面，直线m，则l与m不可能()A平行 B相交C异面 D垂直解析：若lm，则l，m，l，这与已知l矛盾，所以直线l与m不可能平行答案：A3已
11、知直线a、b和平面，下列推理中错误的是()A.ab B.bC.a或a D.ab解析：当a，b时，a与b可能平行，也可能相交或异面，即D推理错误故选D.答案：D4ABCDA1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是()ABD平面CB1D1 BAC1BDCAC1平面CB1D1 DAC1BD1解析：正方体中BDB1D1，可知选项A正确；由BDAC，BDCC1可得BD平面ACC1；从而BDAC1，即选项B正确；由以上可得AC1B1D1，同理AC1D1C，因此AC1平面CB1D1，即选项C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1BD1不正确选D.答案：D5如图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影B
12、O的2倍，则AB与平面所成的角是()A60 B45C30 D120解析：ABO即是斜线AB与平面所成的角，在RtAOB中，AB2BO，所以cosABO，即ABO60.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6在三棱锥PABC中，最多有_个直角三角形解析：不妨设PAAB，PAAC，则APB，PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA面ABC，由线面垂直的定义，可知PABC，若ABC90，则BCAB，BC面PAB，即PBC90，ABC，PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个答案：47有下列四种说法，正确的序号是_过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；已知两条不重合的直线m，n和平
13、面，若mn，m，则n；a，b，l表示三条不同的直线，表示平面，若a，b，la，lb，则l；若直线a不平行于平面，则直线a垂直于平面.解析：正确；对于，若直线n，也可满足mn，m，此时n不正确；对于，只有a，b相交时，才成立，否则不成立；显然错误，因为不平行时可以相交，而垂直只是相交的一种特殊情况故只有正确答案：8在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB，BCAA11，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为_解析：如图所示，连接B1D1，则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角在RtBD1B1中，tanBD1B1，则BD1B13
14、0.答案：30三、解答题(每小题10分，共20分)9如图，在四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.求证：SD平面SAB.证明：ABCD，BCCD，ABBC2，CD1，底面ABCD为直角梯形，AD.侧面SAB为等边三角形，SASBAB2.又SD1，AD2SA2SD2，SDSA.连接BD，则BD，BD2SD2SB2，SDSB.又SASBS，SD平面SAB.10如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB4，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C为圆O上一点，且BCAC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PDDB.(1)求证：CD平面PAB；(2)求直线
15、PC与平面PAB所成的角解析：(1)证明：连接CO，由3ADDB知，点D为AO的中点又因为AB为圆O的直径，所以ACCB.由ACBC知，CAB60，所以ACO为等边三角形故CDAO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD平面ABC，又CD平面ABC，所以PDCD，由PD平面PAB，AO平面PAB，且PDAOD，得CD平面PAB.(2)由(1)知CPD是直线PC与平面PAB所成的角，又AOC是边长为2的正三角形，所以CD在RtPCD中，PDDB3，CD，所以tanCPD，CPD30，即直线PC与平面PAB所成的角为30.能力提升(20分钟，40分)112019淮安一中月考在四面体PAB
16、C中，PAPBPCABBCCA，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是()ABC平面PDFBBC平面PAECDF平面PAEDAE平面APC解析：因为D，F分别为AB，AC的中点，所以DFBC，故BC平面PDF，故A项正确又ABAC，PBPC，E为BC的中点，所以AEBC，PEBC，所以BC平面PAE，又DFBC，所以DF平面PAE，故B、C项正确由于AE与AP不垂直(否则，等腰三角形PAE将有两个直角)，故AE与平面APC不垂直选D.答案：D12已知点O为三棱锥PABC的顶点P在平面ABC内的射影，若PAPBPC，则O为ABC的_心；若PABC，PBAC，则O为ABC的_
17、心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在ABC的内部，则O为ABC的_心解析：因为PAPBPC，所以OAOBOC，O是ABC的外心；若PABC，又PO平面ABC，所以BCPO.所以BC平面PAO.所以BCAO.同理ACOB.所以O是ABC的垂心若P到AB，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等，从而可判定O是ABC的内心答案：外垂内13.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点求证：PC平面BEF.证明：连接PE，EC.PA平面ABCD.PAAD，PAAB.在RtPAE，RtCDE中，PAABCD
18、，AEDE，PECE，即PEC是等腰三角形又F是PC的中点，EFPC.又BP2BC，F是PC的中点，BFPC.又BFEFF，PC平面BEF.14如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值解析：(1)如图所示，由于ADBC，故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得AP，故cosDAP.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)证明：因为AD平面PDC，PD平面PDC，所以ADPD.又BCAD，所以PDBC，又PDPB，BCPBB，所以PD平面PBC.(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC内的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故四边形DABF为平行四边形，故BFAD1，由已知，得CFBCBF2.又ADDC，ADBC，故BCDC.在RtDCF中，可得DF2，在RtDPF中，可得sinDFP.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
