1、3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例三维目标1知识与技能(1)能利用给定函数模型解决实际问题；(2)通过给出数据进行分析，画出散点图，并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合；(3)增强读图、画图、识图的意识，全面提高阅读理解的能力2过程与方法(1)通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定性函数的模型；(2)根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式3情感、态度与价值观应用数学知识解决实际问题培养学生高尚的品德，使其树立远大的理想，并能利用所学知识为社会服务重点难点重点：根据收集到的数据作出散点图
2、，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题重难点突破：结合学生的知识水平，在引导学生选择数学模型分析解决实际问题的同时总结该类问题的解法：(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；(2)列式比较法：若题中所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的
3、数学模型，问题即可顺利解决.课前自主导学课标解读1.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用2能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.知识1常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)分段函数模型f(x)知识2应用函数模型解决问题的基本过程课堂互动探究类型1一次(二次)函数建模问题某校高一(2)班共有学生51人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元，若
4、该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水，经测算和市场调查，其年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用228元，其中，纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y(桶)之间满足如图327所示关系图327(1)求y关于x的函数关系式；(2)当a120时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理由；(3)当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？【思路探究】用待定系数法求(1)分别计算全体学生饮用纯净水的年总费用与购买饮料的总
5、费用并比较大小建立函数模型利用函数最值求解【自主解答】(1)设ykxb(k0)，x8时，y400；x10时，y320.解之得y关于x的函数关系式为y40x720(x0)(2)该班学生买饮料每年总费用为511206 120(元)当y380时，38040x720，得x8.5，该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为3808.52283 458(元)，所以，饮用桶装纯净水的年总费用少(3)设该班每年购买纯净水的费用为P元，则Pxyx(40x720)40(x9)23 240，当x9时，Pmax3 240.要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少，则51aPmax228，解得a
6、68，故a至少为68元时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少1用一次函数模型解决实际问题的原则和关注点(1)原则：一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也较简单(2)关注点：用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式对于一次函数yaxb(a0)，当a0时为增函数，当a0时为减函数另外，要结合题目理解(0，b)或这些特殊点的意义2利用二次函数求最值的方法及注意点(1)一般方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值
7、，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题(2)注意点：利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低，为17.5万元，构成二次函数对应图象的顶点(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？【解】(1)ya(x15)217.5，将x10，y20代入上式，得2025a17.5.解得a.所以y(x15)
8、217.5(10x25)(2)设利润为Q(x)，则Q(x)1.6xy1.6x(x23)212.9(10x25)因为x2310,25，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.类型2分段函数建模问题某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x吨(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费【思路探究】由收费标准可知，水费与用水量之间存在两种不同对应关系，所以应分类讨论，建立分段函数模型【自
9、主解答】(1)当甲用户的用水量不超过4吨，即5x4时，乙用户的用水量也不超过4吨，即：y(5x3x)1.8014.4x；同理可得当时，y24x9.6.y(2)由于yf(x)在各段区间上均单调递增，所以当x时，yf26.40；当x时，yf0)左侧的图形的面积为f(t)，试求函数f(t)的解析式图328【解】OB所在的直线方程为yx.当x(0,1时，由xt，求得yt，所以f(t)t2；当t(1,2时，f(t)(2t)2；当t(2，)时，f(t)，f(t)类型3指数(对数)型函数建模问题大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵记鲑鱼的游速为v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log
10、3成正比，且当Q900时，v1.(1)求出v关于Q的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数；(3)一条鲑鱼要想把游速提高1m/s，其耗氧量的单位数应怎样变化？【思路探究】设出vklog3由点(900,1)在曲线上求k由v1.5，求Q由v2v11，求.【自主解答】(1)设vklog3，当Q900时，v1，1klog3，k，v关于Q的函数解析式为vlog3.(2)令v1.5，则1.5log3，Q2700，故一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位(3)设鲑鱼耗氧量为Q1，Q2时，游速分别为v1、v2，由题意：v2v11，即log3log31.log31，9，
11、即Q29Q1.故鲑鱼要想把游速提高1m/s，其耗氧量单位数应变为原来的9倍1指数函数模型：ymaxb(a0且a1，m0)2对数函数模型：ymlogaxc(m0，a0且a1)3幂函数模型：ykxnb(k0)如果已知函数模型，可用待定系数法求解相应参数某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题：(1)写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年)【解】(1)1年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%)，2年后该城市人口总数为y1
12、00(11.2%)2，3年后该城市人口总数为y100(11.2%)3，x年后该城市人口总数为y100(11.2%)x(xN)(2)10年后该城市人口总数为y100(11.2%)101001.01210112.7(万人)(3)设x年后人口将达到120万人，即可得到100(11.2%)x120，xlog1.012log1.0121.215.28.所以大约16年后该城市人口总数达到120万人.思想方法技巧拟合函数模型的建立与应用(12分)某企业常年生产一种出口产品，自2010年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长已知2010年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x1234f(x)
13、4.005.587.008.44(1)画出20102013年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2014年(即x5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2014年的年产量为多少？【思路点拨】【规范解答】(1)画出散点图，如图所示.2分(2)由散点图知，可选用一次函数模型设f(x)axb(a0)由已知得解得f(x)1.5x2.5.4分检验：f(2)5.5，且|5.585.5|0.080.1.f(4)8.5，且|8.448.5|0.06400时，f(x)60 000
14、100x是减函数f(x)60 00010040025 000.当x300时，f(x)的最大值为25 000.每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元.课后知能检测一、选择题1国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x(km)0x500500x1 0001 0000)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x应小于m，以便留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k0)(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值【解】(1)根据题意知，空闲率是，故y关于
15、x的函数关系式是ykx，0xm.(2)由(1)知，ykxx2kx2，0x4)立方米时，只付基本费3元和每户每月定额保险费C(05时，需付费用为4(x5)x元，所以应交的煤气费y11设在海拔xm处大气压强是yPa，y与x之间的函数关系式是yCekx，其中C，k是常量已知某地某日在海平面的大气压强为1.01105Pa,1 000m高空的大气压强为0.90105Pa，求600m高空的大气压强(结果保留3个有效数字)【解】将x0，y1.01105，x1 000，y0.90105分别代入yCekx，得即将C1.01105代入0.90105Ce1 000k，得0901051.01105e1 000k，即0.91.01e1 000k.两边取以e为底的对数(自然对数)，得kln1.15104，所以y1.01105e1.15104x将x600代入，得y1.01105e1.151046000.943105.答：在600m高空的大气压强约为0.943105Pa.
