1、第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第三节 二项式定理(1)(2015湖南卷)已知x ax5的展开式中含 x32的项的系数为 30，则 a()A.3 B 3C6 D6(2)(2015课标全国卷)(x2xy)5 的展开式中，x5y2 的系数为()A10 B20C30 D60解析：(1)Tr1Cr5(x)5raxr(a)rCr5x52r2，由52r232，解得 r1.因此 C15(a)30，所以 a6.(2)法一(x2xy)5(x2x)y5，含 y2 的项为 T3C25(x2x)3y2.其中(x2x)3 中含 x5 的项为 C13x4xC13x5.所以 x5y2 的系数为 C25C1330.法
2、二(x2xy)5 表示 5 个 x2xy 之积 x5y2 其中有两个取 y，两个取 x2，一个取 x.因此 x5y2 的系数为 C25C23C1130.答案：(1)D(2)C1二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项 2求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解(1)(2016山西四校联考)若x6 1x xn的展开式中含有常数项，则
3、正整数 n 的最小值等于()A3 B4C5 D6(2)(2014新课标全国卷)(xy)(xy)8 的展开式中 x2y7 的系数为_(用数字作答)解析：(1)二项展开式的通项 Tr1Crn(x6)nr1x xrCrnx6n15r2 若 Tr1 是常数项，则 6n15r2 0，即 n54r.又 nN*，故 n 的最小值为 5.(2)(xy)(xy)8x(xy)8y(xy)8 x(xy)8中含 x2y7的项为 xC78xy7，y(xy)8中含 x2y7的项为 yC68x2y6.故(xy)(xy)8 的展开式中 x2y7 的系数为 C78C68C18C2820.答案：(1)C(2)20(经典母题)(1
4、)(2015湖北卷)已知(1x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A212B211C210D29(2)(2016石家庄质检)若(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a1a2a3a4_解析：(1)(1x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等 C3nC7n，得 n10 从而 C010C110C210C1010210 奇数项的二项式系数和为 C010C210C101029.(2)令 x1，得 a0a1a2a3a4(12)41 又令 x0，得 a0(10)41.因此 a1a2a3a40.答案：(1)D(2)0【探究迁移 1】若
5、本例(2)中条件不变，问题变为“求 a0a2a4 的值”，则结果如何？解：在(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4 中，令 x1，得 a0a1a2a3a41 令 x1，得 a0a1a2a3a434 由，可得 a0a2a412(341)41.【探究迁移 2】(2)若将本例(2)变为“若(12x)2 016a0a1x a2x2 a2016x2 016(xR)，则 a12 a222 a2 01622 016 的 值 为_”解析：令 x0，得 a0(10)20161.令 x12，则 a0a12 a222a2 01622 0160，a12 a222a2 01622 0161.答案：11第(1)小
6、题求解的关键在于求 n，本题常因把“n 的等量关系表示为 C4nC8n”，错求 n12；(2)第(2)小题主要是“赋值”求出 a0与各项系数的和 2求解这类问题要注意：区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为 1，1.(1)设 aZ，且 0a13，若 512012a 能被 13 整除，则 a()A0 B1C11 D12(2)(2014安徽卷)设 a0，n 是大于 1 的自然数，1xan的展开式为 a0a1xa2x2anxn.若点 Ai(i，ai)，(i0，1，2)的位置如图所示，则 a_解析：(1)5
7、12 012a(521)2 012a C02 012522 012C12 012522 011C2 0112 01252(1)2 011C2 0122 012(1)2 012a，C02 012522 012C12 012522011C20112 01252(1)2 011 能被13 整除 且 512 012a 能被 13 整除，C2 0122 012(1)2 012a1a 也能被 13 整除 因此 a 可取值 12.(2)由题意知 A0(0，1)，A1(1，3)，A2(2，4)故 a01，a13.a24.又1xan的通项公式 Tr1Crnxar(r0，1，2，n)故C1na 3，C2na24，
8、解得 a3.答案：(1)D(2)31第(1)题求解的关键在于将 512012变形为(521)2012，使得展开式中的每一项与除数 13 建立联系(2)运用二项式定理要注意两点：余数的范围，acrb，其中余数 b0，r)，r 是除数，切记余数不能为负；二项式定理的逆用 2第(2)题将二项式定理的应用与坐标系中图象点的坐标交汇渗透，命题角度新颖；将图表信息转化为运用二项展开式的系数求待定字母参数，体现数形结合和方程思想的应用(2016济南调研)若ax2bx6的展开式中 x3 项的系数为 20，则 a2b2 的最小值为_解析：ax2bx6的展开式的通项为 Tr1Cr6(ax2)6rbxrCr6a6rbrx123r，令 123r3，得 r3.由 C36a63b320 得 ab1，所以 a2b22ab2，故 a2b2 的最小值为 2.答案：2
