1、2.3.2抛物线的简单几何性质自主预习探新知情景引入大家都比较熟悉抛物线，二次函数的图象就是抛物线，但你知道抛物线与椭圆、双曲线有哪些相似的性质吗？新知导学1抛物线的简单几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图象性质范围_x0_x0_y0_y0_对称轴_x_轴_y_轴顶点_(0,0)_焦点_(，0)_(，0)_(0，)_(0，)_准线_x_x_y_y_离心率e_1_2.焦点弦问题如图所示：AB是抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l.(1)以AB为直径的圆必与
2、准线l_相切_；(2)|AB|_2(x0)_x1x2p；(3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2_，y1y2_p2_.预习自测1顶点在原点，对称轴是y轴，且通径为2的抛物线的标准方程为(A)Ax22yBx2yCy2xDy22x解析由题意，设标准方程为x22py(p0)，2p2，x22y.2顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点(1，2)，则它的方程是(A)Ay2x2或y24xBy24x或x22yCx2yDy24x解析抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，抛物线的方程为标准形式当抛物线的焦点在x轴上时，抛物线过点(1,2)，设抛物线的方程为y22px(p0)222p(1)p2.
3、抛物线的方程为y24x.当抛物线的焦点在y轴上时，抛物线过点(1,2)，设抛物线的方程为x22py(p0)(1)22p2，p.抛物线的方程为x2y.3设抛物线y28x上一点P到直线x1的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离为(A)A6 B7 C8 D12解析抛物线y28x的焦点F(2,0)，准线l：x2，点P到准线l的距离为5(2)(1)6，故|PF|6.4过抛物线y28x的焦点，作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为(B)A8B16C32D61解析由抛物线y28x的焦点为(2,0)，得直线的方程为yx2.代入y28x，得(x2)28x，即x212x40.x1x212，弦长x1x2p12
4、416.5已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程解析由题意，设抛物线方程为y2ax(a0)焦点F(，0)，直线l：x，所以A、B两点的坐标分别为(，)、(，)，所以AB|a|，因为AOB的面积为4，所以|a|4，所以a4，所以抛物线的标准方程为y24x.互动探究攻重难互动探究解疑命题方向待定系数法求抛物线的标准方程典例1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，2)求抛物线的标准方程思路分析由于抛物线以坐标轴为对称轴，而抛物线的对称轴只有一条，因此可能是以x轴为对称轴，也可能是以
5、y轴为对称轴，故分情况讨论解析当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2mx.将点M(1，2)代入，得m4，y24x.当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2ny.将点M(1，2)代入，得n.x2y.故所求的抛物线标准方程为y24x或x2y.规律方法由抛物线的几何性质求抛物线的标准方程时，应先确定其形式，再由条件确定待定系数跟踪练习1_已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，准线过椭圆1的焦点，求抛物线的方程解析椭圆1的焦点在y轴上，焦点坐标为(0，6)，(0,6)故抛物线的准线方程为y6或y6.当准线方程为y6时，设抛物线方程为x22py(p0)，则p12，所求抛物线的方程为x224y
6、；当准线方程为y6时，设抛物线方程为x22py(p0)，则p12，所求抛物线的方程为x224y.故所求抛物线的方程为x224y或x224y.命题方向抛物线的焦点弦与焦半径问题1抛物线上任意一点(x0，y0)与焦点的连线称为焦半径，通常转化为点到准线的距离过焦点与抛物线相交的线段称为焦点弦抛物线焦点弦的主要性质：抛物线y22px(p0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.同样对于抛物线y22px，x22py，x22py，也可得到类似的性质2求抛物线的焦点弦长有两种方法：一是根据直线被二次曲线所截得弦的弦长公式；二是根据抛物线的
7、焦半径直接得到弦长，用前面的方法在使用根与系数的关系整体代入时要用到两根之和与两根之积，用后面这个方法仅仅用到两根之和，还省去了开方的麻烦，故在求抛物线的焦点弦长时一般是用后面这种方法3抛物线y22px(p0)的焦点弦还有如下一些结论：设抛物线y22px(p0)的焦点弦为AB，中点为M，直线AB的倾斜角为(0)，点A，B，M在准线l：x上的射影分别为A1，B1，M1.有以下几个常见结论：为定值；|AB|；SOAB；A，O，B1三点共线，B，O，A1三点共线；抛物线平分线段MM1；以AB为直径的圆与抛物线的准线相切于点M1(或AM1B)典例2 求过抛物线y22px(p0)的焦点F的弦长的最小值解
8、析解法一：如图，设抛物线y22px(p0)的焦点弦的两个端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，并设焦点弦所在直线方程为xmy，于是有x1my1，x2my2，将代入y22px，得y22pmyp20.所以y1y22pm，y1y2p2.因为(y1y2)2(y1y2)24y1y24p2(m21)所以|AB|2p(m21)所以|AB|2p，故当m0，即过焦点的弦垂直于x轴时，它的长度最小，其最小值为2p.解法二：如图所示，设焦点弦AB的中点为E，分别过A、E、B作准线l的垂线，垂足为D、H、C，由抛物线定义知|AD|AF|，|BC|BF|，所以|AB|AF|BF|AD|BC|2|EH|.由图可知|H
9、E|GF|，当且仅当AB与x轴垂直时，|HE|GF|，即|AB| min2|GF|2p.规律方法解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解跟踪练习2_过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，求p的值解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知过焦点的直线方程为yx，联立，得x23px0，|AB|x1x2p3pp4p8，p2，p的值为2.规律方法根据条件写出直线方程，与抛物线方程联立，消元后根据直线被曲线所截得的弦长公式求解或利用焦点弦的性质求解命题
10、方向最值问题与抛物线有关的定点、定值问题(1)从特殊入手，求出定点(或定值)，再证明这个点(或值)与其他变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算过程中消去有关变量，从而得到定点或定值典例3 设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线焦点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值解析(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x1，由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连AF交抛物线于P
11、点，故最小值为，即.(2)如图把点B的横坐标代入y24x中，得y，因为2，所以B在抛物线内部，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1.此时，由抛物线定义知：|P1Q|P1F|.那么|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314.即最小值为4.规律方法与抛物线有关的最值问题，一是涉及焦点或准线的距离，可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离)，构造出“两点间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”使问题获解；二是抛物线上的点到某曲线或直线的距离最小，常转化为函数最值求解跟踪练习3_(1)定点M与抛物线y22x上的点P之间的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则d1d2取最
12、小值时，P点坐标为(C)A(0,0)B(1，)C(2,2)D(2)设P是抛物线y22x上任一点，则P到直线xy30的距离的最小值为_，点P的坐标为_(，1)_.解析(1)如下图连结PF，则d1d2|PM|PF|MF|，知d1d2最小值是|MF|，当且仅当点P在线段MF上时，等号成立，而直线MF的方程为y，与y22x，联立求得x2，y2或x，y(舍去)，所以，P点坐标为(2,2)(2)解法一：设P(x0，y0)是y22x上任一点，则点P到直线l的距离d，当y01时，dmin，点P坐标为(，1)解法二：设与抛物线相切且与直线xy30平行的直线方程为xym0，由得y22y2m0，(2)242m0，m
13、.平行直线的方程为xy0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin，点P坐标为(，1)学科核心素养与抛物线有关的定点、定值、最值问题 与抛物线有关的最值问题(1)最值问题求解最值问题常用方法是由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解(2)常见题型及处理方法求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时，两直线间的距离问题求抛物线上一点到定点的最值问题，可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围求抛物线弦长的
14、最值问题可利用函数求最值的方法求解典例4 如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值思路分析第一步，审题审结论明确解题目标，欲证明直线BC的斜率为定值，可写出直线BC的方程，然后说明其斜率为定值，或直接用k0，写出斜率，然后说明k0的值与参数无关；审条件，挖掘解题信息，已知直线AB、AC过定点，AB与AC两直线倾斜角互补，故两直线方程可用同一参数(直线AB的斜率k)来表示第二步，建联系确定解题步骤先设直线AB的斜率为k，用k将AB、AC的方程表示出来，再由直线与抛物线交于两点，利用根与系数的关系求得B、C点的坐标，然后
15、验证kBC与k无关第三步，规范解答解析设kABk(k0)，直线AB、AC的倾斜角互补，kACk(k0)，AB的方程是yk(x4)2.由方程组，消去y整理得，k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)、B(xB，yB)是上述方程组的解，4xB，即xB，以k代替xB中的k，得xC，kBC.所以直线BC的斜率为定值点评自己试一下，将直线与抛物线的方程联立后消去x解答，并比较两种解法，你有什么体会？规律方法解析几何中，常遇到定点、定值问题，解决这类问题常用方法是依据题设条件选取某个参数，将题中定值(或过定点的几何对象)用参数表示，然后说明与参数无关，常涉及方法有斜率法、方程法、向量法等
16、跟踪练习4_过抛物线y22px(p0)的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB求证：直线AB过抛物线对称轴上的一定点解析证法一：依题意，设A(2pt，2pt1)，B(2pt，2pt2)，且t10，t20.OAOB，1，即t1t21，t2.直线AB的斜率k.直线AB的方程为y2pt1(x2pt)，可化为(x2p)y0.直线AB过定点(2p,0)证法二：设直线OA的方程为ykx(k0)，则由OAOB得直线OB的方程为yx.由得A.由得B(2pk2，2pk)设直线AB与抛物线对称轴(x轴)的交点为M(m,0)，则A、M、B三点共线，即(1k2)m(1k2)2p，m2p，即直线AB交x轴于定点(2p,0
17、)规律方法(1)求抛物线方程时，先定型，再定量(2)引进直线AB的斜率k，把|MN|表示为斜率k的函数，求最值时利用换元法最终转化为二次函数求最值(3)设而不求和分类讨论是解决此类问题的常用方法易混易错警示忽略对直线斜率的讨论 典例5 求过点P(0,1)且与抛物线y22x只有一个公共点的直线方程错解设直线方程为ykx1，由方程组，消去y，得k2x22(k1)x10.由直线与抛物线只有一个公共点，则4(k1)24k20，所以k，所以所求直线的方程为yx1.错解分析本题造成错解的原因有两个：一是遗漏了直线不存在斜率的情况，只考虑了斜率存在的直线；二是方程组消元后的方程认定为二次方程，事实上，当二次项系数为零的一次方程的解也符合题意正解(1)若直线斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x0，由，得 .即直线x0与抛物线只有一个公共点(2)若直线的斜率存在，设为k，则过点P(0,1)的直线方程为ykx1，由方程组，消去y，得k2x22(k1)x10.当k0时，得 .即直线y1与抛物线只有一个公共点；当k0时，直线与抛物线只有一个公共点，则4(k1)24k20，所以k，直线方程为yx1.综上所述，所求直线方程为x0或y1或yx1.
