1、2.1.1平面填一填1.几何里的平面是无限延展的2平面的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形并且其锐角画成45，且横边长等于邻边长的2倍如图一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来如图3.平面的表示法图的平面可表示为平面，平面ABCD，平面AC或平面BD.4点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下：位置关系符号表示位置关系符号表示点P在直线a上Pa点Q不在直线a上Qa点A在平面内A点B不在平面内B直线a在平面内a直线l不在平面内l直线a与b相交于点AabA平面，相交于直线ll5.平面的基本性质及应用公理自然语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，
2、那么这条直线在此平面内.Al，Bl，且A，Bl.公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，B，C.公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.P，且Pl，且Pl.判一判1.两个不重合的平面只能把空间分成四个部分()2两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，记作A.()3两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()4三条直线两两相交时有三个交点()5两个平面的交线可能是一条线段()6三点可确定平面的个数是1.()7两个平面若有三个公共点，则这两个平面相交或重合()8如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共
3、面()想一想1.几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？提示：没有平行四边形2一个平面把空间分成了几部分？提示：两部分3三种语言的转换方法？提示：(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别(3)转化时要注意符号的使用，“”或“”反映的是点与线，点与面的关系，而“”或“”反映的是直线与平面的关系4证明点、线共面的方法有哪些？提示：方法一：先由确定平面的条件确定一个平面，然后再证明其他的点、线在该平面内方法二：先由有关点、线确定一
4、个平面，再由其余元素确定一个平面，然后根据有关定理，证明这两个平面重合思考感悟：练一练1.如图表示两个相交平面，其中画法正确的是()答案：D2下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，表示平面)，其中命题和叙述方法都正确的是()A因为A，B，所以ABB因为a，a，所以aC因为Aa，a，所以AD因为Aa，a，所以A答案：C3已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：(1)点C与平面：_.(2)点A与平面：_.(3)直线AB与平面：_.(4)直线CD与平面：_.(5)平面与平面：_.答案：(1)C(2)A(3)ABB(4)CD(5)BD.4在长方体ABCDA1B1C1D1的
5、所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有_条答案：5知识点一三种语言的转换1.文字语言叙述：“平面内有一条直线，则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是()Aa，AaA Ba，AaACa，AaA Da，AaA解析：直线在平面内用“”，点在直线上和点在平面内用“”，故选B.答案：B2给出下列说法：(设，表示平面，l表示直线，A，B，C表示点)若Al，A，B，Bl，则l若A，A，B，B，则AB若l，Al，则A，则正确的个数是()A1 B2C3 D4解析：中点A可以是直线与平面的交点，所以错误，正确故选B.答案：B知识点二点、线共面问题3.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分
6、别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()A点M一定在直线AC上B点M一定在直线BD上C点M可能在AC上，也可能在BD上D点M不在AC上，也不在BD上解析：MEF，EF平面ABC，故M平面ABC，又MGH，GH平面ACD，故M平面ACD，又因为平面ABC平面ACDAC，所以MAC，故选A.答案：A4给出下列说法：(1)梯形的四个顶点共面；(2)三条平行直线共面；(3)有三个公共点的两个平面重合；(4)每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面其中说法正确的是_(填序号)解析：(1)对，梯形是平面图形，其四个顶点共面；(2)错，三条平行直线可共面也可不共面；(3)错，两个平面相交时也
7、有三个公共点；(4)对，这四条直线构成一平面四边形答案：(1)(4)知识点三点共线、线共点、面共线问题5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点求证：CE，D1F，DA三线交于一点证明：连接EF，D1C，A1B，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF綊A1B.又因为A1B綊D1C，所以EF綊D1C，所以E，F，D1，C四点共面，可设D1FCEP.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又因为平面A1D1DA平面ABCDDA，所以据公理3可得PDA，即CE，D1F，DA三线交于一点6.如图，在正方
8、体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线证明：因为MNEFQ，所以Q直线MN，Q直线EF.又因为M直线CD，N直线AB，CD平面ABCD，AB平面ABCD，所以M，N平面ABCD，所以MN平面ABCD.所以Q平面ABCD.同理，可得EF平面ADD1A1.所以Q平面ADD1A1.又因为平面ABCD平面ADD1A1AD，所以Q直线AD，即D，A，Q三点共线.综合知识平面7.完成下列各题：(1)将下列文字语言转换为符号语言点A在平面内，但不在平面内；直线a经过平面外一点M；直线l在平面内，又在平面内(即平面
9、和平面相交于直线l)(2)将下列符号语言转换为图形语言a，bA，Aa；c，a，b，ac，bcP.解析：(1)A，A.Ma，M.l.(2)8.如图所示，ABP，CDP，A，D与B，C分别在平面的两侧，ACQ，BDR.求证：P，Q，R三点共线证明：因为ABP，CDP，所以ABCDP.所以AB，CD可确定一个平面，设为.因为AAB，CCD，BAB，DCD，所以A，C，B，D.所以AC，BD，平面，相交因为ABP，ACQ，BDR，所以P，Q，R三点是平面与平面的公共点所以P，Q，R都在与的交线上，故P，Q，R三点共线基础达标一、选择题1下列图形中不一定是平面图形的是()A三角形 B平行四边形C梯形 D
10、四边相等的四边形解析：利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形，而四边相等的四边形不一定是平面图形，故选D.答案：D2.长方体的12条棱所能确定的平面个数为()A8 B10C12 D14解析：在长方体中由12条棱可构成长方体的6个面和6个对角面，共12个面答案：C3若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成()A5部分 B6部分C7部分 D8部分解析：如图所示，三个平面，两两相交，交线分别是a，b，c且abc，观察图形，得，把空间分成7部分故选C.答案：C4如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()解析：在A图中分别连
11、接PS，QR，易证PSQR，所以P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQRS，所以P，Q，R，S共面；在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与QR为异面直线，所以四点不共面，故选D.答案：D5三条直线两两相交，经过这3条直线的平面有()A0个 B1个C0或1个 D3个解析：当3条直线有三个交点时，共面；当3条直线有两个交点或一个交点时，可共面，或不在同一平面内，即没有平面经过这3条直线综上可知选C.答案：C6若点M在直线a上，a在平面内，则M，a，间的关系可记为()AMa，a BMa，aCMa，a DMa，a解析：根据点与直线、直线与平面之间位置关系的符
12、号表示，可知B正确答案：B7下列推断中，错误的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADA，B，C，A，B，C，且A，B，C不共线，重合解析：直线不在平面内时，直线上可能有一个点在平面内，即直线与平面相交，所以C错，根据点、线、面的关系可知其余都对，故答案是C.答案：C二、填空题8把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上(1)A，a_；(2)a，P且P_；(3)a，aA_；(4)a，c，b，abcO_.解析：考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力，要注意点线面的表示习惯上常用大写字母表示点，小写字母表示线，希腊字母表示平面答案：(1)C(2)D(3)A(
13、4)B9已知，是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点若l，m，n，mnP，则点P与直线l的位置关系用符号表示为_解析：因为m，n，mnP，所以P且P.又l，所以点P在直线l上，所以Pl.答案：Pl10给出以下命题：和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面其中正确命题的个数是_解析：空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故错；若三条直线相交于一点时，不一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故错；若两平面相交时，也可有三个不同的公共点，故错；若三条直线两两平行且在同一平面内，
14、则只有一个平面，故错答案：011四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定_个平面解析：如图，四条线段用实线表示，可补为一个三棱锥，其可确定4个平面答案：412下列命题：若直线a与平面有公共点，则称a；若M，M，l，则Ml；三条平行直线共面；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面其中正确的命题是_(填写所有正确命题的序号)解析：错误若直线a与平面有公共点，则a与相交或a；正确由公理3知该命题正确；错误三条平行直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱；如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面答案：三、解答题13.如图，在三棱柱ABCA1B1C1
15、中，B1P2PA1，C1Q2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点证明：如图，连接PQ.由B1P2PA1，C1Q2QA1，得PQB1C1，且PQB1C1.又BC綊B1C1，四边形BCQP为梯形，直线BP，CQ相交，设交点为R，则RBP，RCQ.又BP平面AA1B1B，CQ平面AA1C1C，R平面AA1B1B，且R平面AA1C1C，R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线上，即RAA1，直线AA1，BP，CQ相交于一点14.如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG：GCDH：HC1：2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG
16、与HF交于点P，求证：P，A，C三点共线证明：(1)连接EF，GH，E，F分别是AB，AD的中点，EFBD.BG:GCDH:HC1:2，GHBD，EFGH，故E，F，G，H四点共面(2)EG与HF交于点P，点P在平面ABC内，且点P在平面DAC内又平面ABC平面DACAC，点P在直线AC上，P，A，C三点共线.能力提升15.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是B1C1，C1D1的中点，且ACBDP，A1C1EFQ.(1)求证：D，B，E，F四点共面；(2)求四边形BDFE的面积解析：(1)证明：如图，连接B1D1，交A1C1于点M.BB1DD1，且BB1DD1，四边形BB1D
17、1D是平行四边形，BDB1D1.又E，F分别是B1C1，C1D1的中点，EFB1D1，EFBD，D，B，F，E四点共面(2)连接PQ，由分析知四边形BDFE是等腰梯形，PQ为高设正方体的棱长为a，则BDB1D1a，EFB1D1a，BEDFa，PQa，四边形BDFE的面积S(BDEF)PQaa2.16.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AMAN1.(1)证明：M，N，C，D1四点共面；(2)平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比解析：(1)证明：连接A1B，在四边形A1BCD1中，A1D1BC且A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BD1C，在ABA1中，AMAN1，AA1AB3，所以，所以MNA1B，所以MND1C，所以M，N，C，D1四点共面(2)记平面MNCD1将正方体分成两部分的下面部分体积为V1，上面部分体积为V2，连接D1A，D1N，DN，则几何体D1AMN，D1ADN，D1CDN均为三棱锥，所以V1VD1AMNVD1ADNVD1CDNSAMND1A1SADND1DSCDND1D333.从而V2VABCDA1B1C1D1VAMNDD1C27，所以，所以平面MNCD1分此正方体的两部分体积的比为.
