1、2.2.2双曲线的简单几何性质自主预习探新知情景引入凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们的生产生活经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性新知导学1双曲线的简单几何性质焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上双曲线方程_1(a0，b0)_1(a0，b0)_范围_xa或xa_ya或ya_对称性关于_x_轴对称，关于_y_轴对称，关于_原点_对称关于_x_轴对称，关于_y_轴对称，关于_原点_对称顶点_(a,0)、(a,0)_(0，a)、(0，a)_渐近线_yx_yx_离心率e1e1e越大，张口越大，e越小，张口越小2双曲线几何性质的进一步理解(1)双曲线只有两个顶点，即实轴
2、的两个端点，而椭圆有四个顶点，即长轴两端点与短轴两端点(2)双曲线的实轴、虚轴与椭圆的长轴、短轴既有区别又有联系，勿将它们混淆(3)两个特殊的双曲线等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线共轭双曲线：实轴与虚轴互换的双曲线称为共轭双曲线，即1(a0，b0)与1(a0，b0)互为共轭双曲线(4)双曲线的焦点总在实轴所在直线上，而椭圆的焦点总在长轴上(5)双曲线中a、b、c的几何意义及特征三角形：当双曲线焦点在x轴上时，a是实半轴长，b是虚半轴长，且c2a2b2，所以以a、b、c为三边长可构成直角三角形，如图，其中RtOA2B2称为双曲线的特征三角形当双曲线的焦点在y轴上时，可得类似结论(
3、6)双曲线每一支上的所有点中顶点离焦点最近预习自测1双曲线1的顶点坐标是(A)A(5,0)B(5,0)或(0，3)C(4,0)D(4,0)或(0，3)解析双曲线的顶点在x轴上，又a5，选A2(2019浙江卷，2)渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是(C)AB1CD2解析由题意可得1， e.故选C3(2020山东潍坊高二期末)双曲线方程为y21，则渐近线方程为(A)AyxBy2xCyxDyx解析双曲线方程为y21，则渐近线方程为y20，即yx，故选A4已知双曲线1(a0)的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于(B)ABC3 D4解析由题意得a259，a24，a2.离心率e.5(2020北京
4、卷，12)已知双曲线C：1，则C的右焦点的坐标为_(3,0)_；C的焦点到其渐近线的距离是_.解析双曲线C：1中，c2639，c3，则C的右焦点的坐标为(3,0)，C的渐近线方程为yx，即yx，即xy0，则C的焦点到其渐近线的距离d.6已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是yx，且双曲线过点(，)(1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的焦点到渐近线的距离解析(1)设双曲线的方程为：3x2y2(0)，点(，)代入得3，所以所求双曲线方程为x21.(2)由于双曲线的方程为x21，所以它的焦点为(2，0)、(2,0)，点(2,0)到直线yx的距离为d.则双曲线的焦点到渐近线的距离为.互动探究攻重难互动探
5、究解疑命题方向根据双曲线方程研究其几何性质典例1 求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图思路分析将双曲线方程化成标准方程，求出a、b、c的值，然后依据各几何量的定义作答解析将9y24x236变形为1，即1，a3，b2，c，因此顶点为A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程yxx.作草图如图：规律方法由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式1(或1)，再根据它确定a、b的值(注意它们的分母分别为a2、b2，而不是a、b)，进而求出
6、c，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案画几何图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a、2b为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图跟踪练习1_求双曲线4x2y24的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图解析将4x2y24变形为x21，即1，a1，b2，c.顶点坐标为A1(1,0)、A2(1,0)，焦点坐标为F1(，0)、F2(，0)，实半轴长a1，虚半轴长b2，离心率e，渐近线方程为yx2x，作草图如图所示命题方向利用几何性质求双曲线的标准方程典例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)实轴长为8，离心率为；(2)已
7、知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，)解析(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)，2a8.由题意知且c2a2b2，a4，c5，b3，标准方程为1或1.(2)由2a2b得ab，所以可设双曲线方程为x2y2(0)双曲线过点P(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.双曲线的标准方程为1.规律方法1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，从而直接求得2根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程渐近线为yx的
8、双曲线方程可设为：(0)；如果两条渐近线的方程为AxBy0，那么双曲线的方程可设为A2x2B2y2m(m0)；与双曲线1共渐近线的双曲线方程可设为(0)跟踪练习2_根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(3,2)；(3)双曲线的渐近线方程为2x3y0，且两顶点间的距离是6.解析(1)设双曲线的方程为1或1(a0，b0)由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的方程为1或1.(2)设所求双曲线的方程为1(a0，b0)e，e21，.由题意得，解得.所求的双曲线方程为1.(3)若焦点在x轴上，设双曲线方程为1(a0，b0)由
9、题意知2a6，a3，b2.双曲线的方程为1.若焦点在y轴上，设双曲线方程为1(a0，b0)由题意知2a6，a3，b.双曲线的方程为1.故所求双曲线方程为1或1.命题方向双曲线的离心率典例3 (2019全国卷理，11)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为(A)ABC2D思路分析利用双曲线和圆的性质，结合已知条件得到关于a，c的方程，进而求得双曲线的离心率解析设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为
10、M，连接OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得22a2，故，即e.故选A规律总结1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，从而直接求得2根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程渐近线为yx的双曲线方程可设为：(0)；如果两条渐近线的方程为AxBy0，那么双曲线的方程可设为A2x2B2y2m(m0)；与双曲线1共渐近线的双曲线方程可设为(0)跟踪练习3_(1)若双曲线1的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为(A)ABCD2(2
11、)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为(D)ABCD解析(1)由已知双曲线两条渐近线互相垂直，()1，即a2b2，即ab，此双曲线是等轴双曲线，故e.(2)设a0，b0，因为双曲线渐近线方程为yx，所以43而a0，b0，ab，a2b2，e，选D命题方向实际应用问题典例4 如图所示，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中|AP|100 m，|BP|150 m，APB60.怎样运土才能最省工？思路分析半圆形横截面上的点可分三类：(1)沿AP到P较近；(2)沿BP到P较近；(3)沿AP或BP到P等距离，其中第三类的点位于前两类点的分界
12、线上解析设M为分界线上任一点，则|MA|AP|MB|BP|，即|MA|MB|PB|PA|50 m，所以M在以A、B为焦点的双曲线的右支上易得|AB|217 500 m2，建立如图所示的平面直角坐标系，得分界线所在的曲线方程为1(x25)故运土时，在双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工规律方法解决实际问题的主要方法是抽象出数学模型，用数学知识解决，最后再回归到实际问题中要注意实际问题中变量的范围及数学模型求解结果的实际意义跟踪练习4_A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B北偏西30，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两
13、地比A距P地远因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角解析如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(3,0)，A(3,0)，C(5,2)因为|PB|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上设敌炮阵地坐标为(x，y)，BC的中点为D，易求kBC，D(4，)，所以直线PD：y(x4)又|PB|PA|4，故P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且方程为1(x0)联立，得x8，y5，所以P的坐标为(8,5)因此kPA.故炮击的方向角为北偏东30.命题方向直线与双曲线的位置关系典例5 已知曲线C：x2y21和直线l：
14、ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值思路分析第一步，审题审结论明确解题方向，求k的值或k的取值范围，应利用条件建立k的方程或不等式求解；审条件发掘解题信息，直线与曲线交于不同两点，可利用判别式法求解，AOB的面积为，可利用割补法和根与系数的关系求解第二步，建立联系，探寻解题途径第(1)问，可将l与C的方程联立，消元利用0求k的取值范围；第(2)问可由A、B向x轴作垂线，将三角形面积转化为梯形与三角形面积的差或和用直线AB与y轴的交点，分割为两个三角形面积的和，利用根与系数的关系求解第三步，规范解
15、答解析(1)由，消去y整理，得(1k2)x22kx20.由题意知，解得k0，b0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则，两式相减，得(xx)(yy)0，变形得.应用“点差法”时因不能确定直线与双曲线是否相交，因此，最后需将结果代回检验典例6 已知双曲线方程为2x2y22.(1)过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使直线l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解析(1)若直线斜率不存在，即弦P1P2x轴，则由双曲线的
16、对称性知弦P1P2的中点在x轴上，不可能是点P(2,1)，所以直线l斜率存在故可设直线l的方程为y1k(x2)，即ykx2k1.由消去y并化简，得(2k2)x22k(2k1)x4k24k30.设直线l与双曲线的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)当2k20，即k22时，有x1x2.又点P(2,1)是弦P1P2的中点，4，解得k4.当k4时，4k2(2k1)24(2k2)(4k24k3)0，当k22，即k时，此时，直线的斜率与渐近线的斜率相等，即k的直线l与双曲线不可能有两个交点综上所述，所求直线方程为y4x7.(2)假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有1，
17、1.x1x22，y1y22，且两式相减，得(2x2x)(yy)0，2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，2(x1x2)(y1y2)0.若直线Q1Q2x轴，则线段Q1Q2的中点不可能是点Q(1,1)，直线Q1Q2有斜率，于是k2.直线Q1Q2的方程为y12(x1)，即y2x1.由得2x2(2x1)22，即2x24x30，16240，b0)由题意可知：点(2,3)在双曲线C上，从而有解得所以双曲线C的标准方程为x21.(2)由已知得直线l的方程为yx1，即xy10，所以原点O到直线l的距离为d.联立消去y可得x2x20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，x1x22，所以|AB|3，所以OAB的面积S|AB|d3.易混易错警示注意双曲线的焦点位置 典例7 已知双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，求双曲线的离心率错解由题意得，9a216(c2a2)，25a216c2，e2，e.错解分析错解的原因是审题不认真，误认为双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx而导致错误正解由题意得，16a29(c2a2)，25a29c2，e2，e.
