1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时空间向量长度与夹角的坐标表示必备知识自主学习导思1.怎样用坐标求向量的模和夹角？2怎样计算几何体中的线段和夹角？1.空间向量的模与夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式模|a|=|a|=夹角cos=(a0，b0)cos=2.空间两点间的距离已知点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(a2a1，b2b1，c2c1)，A，B两点间的距离dAB|1辨析记忆(对的打“”，错
2、的打“”)(1)若a(x，y，z)，则|a|x2y2z2.()(2)若a(1，2，0)，b(2，0，1)，则|a|b|.()(3)已知向量a(0，2，1)，b(1，1，2)，则a与b的夹角为90.()(4)若x1y1z11，则a为单位向量()提示：(1).|a|.(2).，所以.(3).因为ab0，所以a与b的夹角为90.(4).若x1y1z11，则，所以a不是单位向量2已知：A(1，2，2)，B(2，2，1)，则| |()A18 B12 C3 D2【解析】选C.| |3.3(教材例题改编)已知A点的坐标是(1，2，6)，B点的坐标是(1，2，6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是_【解析】co
3、s ，1，所以，.答案：4已知a(1t，2t1，0)，b(2，t，t)，tR，则|ba|的最小值为_.【解析】因为ba(1t，1t，t)，所以|ba|.答案：关键能力合作学习类型一用向量运算求夹角和距离(数学运算)角度1求夹角【典例】已知向量a，则下列向量中与a成60的是()A BC D【思路导引】用夹角公式计算夹角余弦，进一步求角【解析】选B.对于A选项中的向量a1，cos a，a1，则a，a1120；对于B选项中的向量a2，cos a，a2，则a，a260；对于C选项中的向量a3，cos a，a3，则a，a3120；对于D选项中的向量a4，此时a4a，两向量的夹角为180.角度2求距离【典
4、例】ABCA1B1C1是正三棱柱，若AB1，AB1BC1，则AA1()A B C D【思路导引】由题意画出图形，取AB的中点O，连接OC，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，设AA1a，再由AB1BC10列式求解a的值，则答案可求【解析】选B.如图，取AB的中点O，连接OC，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系设AA1a，则A，B1，B，C1(0，a)，则AB1，BC1.由AB1BC1，得AB1BC1a20，即a.所以AA1. 利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间
5、直角坐标系；(2)求坐标：求出相关点的坐标；写出向量的坐标；(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；(4)转化：转化为夹角与距离问题1在空间直角坐标系Oxyz中，O(0，0，0)，E(2，0，0)，F(0，2，0)，B为EF的中点，C为空间一点且满足|3，若cos ，则()A9B7C5D3【解析】选D.设C(x，y，z)，B(，0)，(x，y，z)，(x，y，z)，(2，2，0)，由cos ，整理可得：xy，由|3，得，化简得xy，以上方程组联立得x，y，则(x，y，z)2y3.2已知ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为_【解析】设BC
6、边的中点为D，则()(1，2，2)，所以|3.答案：33已知向量a(2，1，2)，b(1，1，4).(1)计算2a3b和.(2)求a，b【解析】(1)因为向量a(2，1，2)，b(1，1，4)所以2a3b2(2，1，2)3(1，1，4)(4，2，4)(3，3，12)(1，5，8)，所以3.(2)cos a，b，因为a，b0，所以a，b.类型二立体图形中的角与距离(直观想象，数学运算)【典例】已知正三棱柱ABCA1B1C1，底面边长AB2，AB1BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点建立如图所示的空间直角坐标系(1)求三棱柱的侧棱长(2)M为BC1的中点，试用基向量，表示向量.(3)求异
7、面直线AB1与BC所成角的余弦值【思路导引】设棱长，写点的坐标，利用与垂直，数量积为零获得侧棱长【解析】(1)设侧棱长为b，则A(0，1，0)，B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，所以(，1，b)，(，1，b).因为AB1BC1，所以(，1，b)(，1，b)()212b20，解得b.(2)因为M为BC1的中点，所以()().(3)由(1)知(，1，)，(，1，0)，因为| |，|2，(，1，)(，1，0)()2112，所以|cos ，|.所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为. 运用向量坐标运算解决几何问题的方法1如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中
8、，ABAD，ABAD4，CD，CDA45.设ABAP，在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由【解析】因为PA平面ABCD，且AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD.又ABAD，所以AP，AB，AD两两垂直以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等连接GB，GC，GP，设ABAPt，则B(t，0，0)，G(0，m，0)(其中0m4t)，P(0，0，t)，D(0，4t，0).因为CDA45，所以C(1，3t，0).所以(1，3tm，0)，(0，4tm，0)，(
9、0，m，t).由|，得12(3tm)2(4tm)2，即t3m.由|，得(4tm)2m2t2.由消去t，化简得m23m40.由于方程没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等2如图，在长方体OABCO1A1B1C1中，|2，|3，| |2，E为BC的中点(1)求与所成角的余弦值；(2)作O1DAC于D，求O1D的长【解析】建立如图所示的空间直角坐标系(1)由已知得A(2，0，0)，O1(0，0，2)，B1(2，3，2)，E(1，3，0)，所以(2，0，2)，(1，0，2)，所以cos ，.(2)因为，而C(0，3，0)，设D(x，y，0)，则O1D(x，y
10、，2)，(x2，y，0)，(2，3，0)，所以所以D，所以O1D|O1D|.课堂检测素养达标1已知a(1，0，1)，b(2，1，1)，c(3，1，0)，则|ab2c|等于()A3 B2 C D5【解析】选A.ab2c(9，3，0)，|ab2c|3.2若ABC的三个顶点坐标分别为A(1，2，1)，B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形【解析】选A.(3，4，2)，(5，1，3)，(2，3，1).由0，得A为锐角；由0，得C为锐角；由0，得B为锐角所以ABC为锐角三角形3(教材习题改编)若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则_，_【解析】(1，1，1)，|.答案：(1，1，1)4若向量a，b，则_()A B2 C3 D3【解析】选D.由于向量a，b，所以2ab.故3.5已知空间三点A(1，1，1)，B(1，0，4)，C(2，2，3)，则与的夹角的大小是_【解析】因为(2，1，3)，(1，3，2)，cos ，所以，120.答案：120关闭Word文档返回原板块- 11 - 版权所有高考资源网
