1、章末检测卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1以下四组向量中，互相平行的组数为()a(2,2,1)，b(3，2，2)；a(8,4，6)，b(4,2，3)；a(0，1,1)，b(0,3，3)；a(3,2,0)，b(4，3,3)；A1B2C3 D4解析：中a2b，ab；中ab，ab；而中的向量不平行答案：B2设l1的方向向量为a(1,2，2)，l2的方向向量为b(2,3，m)，若l1l2，则m等于()A1 B2C. D3解析：若l1l2，则ab，ab0，1(2)23(2m)0，解得m2.答案：B3已知向量i，j，k是一组单位正交向
2、量，m8j3k，ni5j4k，则mn()A7 B20C28 D11解析：因为m(0,8,3)，n(1,5，4)，所以mn0401228.答案：C4如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等给出下列结论：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A1 B2C3 D4解析：，从而A1MD1P，可得正确又B1Q与D1P不平行，故不正确答案：C5在空间四边形ABCD中，等于()A1 B0C1 D不确定解析：如图，令a，b，c，则a(cb)b(ac)c(ba)acabba
3、bccbca0.答案：B6已知二面角l的大小为，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A. B.C. D.解析：设m，n的方向向量分别为m，n.由m，n知m，n分别是平面，的法向量|cosm，n|cos，m，n或.但由于两异面直线所成的角的范围为，故异面直线m，n所成的角为.答案：B7巳知空间三点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,1)在直线OA上有一点H满足BHOA，则点H的坐标为()A(2,2,0) B(2，1,0)C. D.解析：由(1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(，0)，则(，1，1)又BHOA，0，即(，1，1)(1,1,0)0，即10，解得，H.答
4、案：C8在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|(ab)c|a|b|c|.A2 B3C4 D5解析：|a|b|ab|a与b共线，但a与b共线时|a|b|ab|不一定成立，故不正确；b需为非零向量，故不正确；因为2211，由共面向量定理知，不正确；由基底的定义知正确；由向量的数量积的性质知，不正确答案：C9已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹
5、角为()A30 B60C120。 D150解析：设向量ab与c的夹角为，因为ab(1，2，3)，|ab|，cos，所以60.因为向量ab与a的方向相反，所以a与c的夹角为120.答案：C10三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90解析：不妨设ABACAA11，以A为原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，所以(1,0,1)，(0,1,1)，cos，所以，60，所以异面直线BA1与
6、AC1所成的角等于60.答案：C11已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin|cosn，|.答案：A12在直角坐标系xOy中，设A(2,2)，B(2，3)，沿y轴把坐标平面折
7、成120的二面角后，AB的长是()A. B6C3 D.解析：过A，B作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|2，|2，|5，60，所以2()22222224254222cos600037.|.故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13已知a(3，6，6)，b(1,3,2)为两平行平面的法向量，则_.解析：由题意知ab，解得2.答案：214正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动， 则的取值范围是_解析：如图所示，由题意，设，其中0,1，()()2110,1因此的取值范围是0,1答案：0,115如图，正方体ABCDA1B1C
8、1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则线段CE与DF长度和的值等于_解析：以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CEx，DFy，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(0,0,1y)，B(1,1,1)，则(x1,0,1)，(1,1，y)，由于ABB1E，故若B1E平面ABF，只需B1EFB，即(1,1，y)(x1,0,1)0，得xy1.答案：116如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2.求点A到平面MBC的距离_.解析：取CD的中点O，连接OB，OM，则
9、OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，所以MO平面BCD.以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形，所以OBOM，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，0)，A(0，2)，所以(1，0)，(0，)，(0,0,2)设平面MBC的法向量为n(x，y，z)，由得即取x，可得平面MBC的一个法向量为n(，1,1)又(0,0,2)，所以所求距离d.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知a(x,4,1)，b(2，y，1
10、)，c(3，2，z)ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)ac与bc夹角的余弦值解析：(1)因为ab，所以，解得x2，y4，则a(2,4,1)，b(2，4，1)又bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设ac与bc夹角为，因此cos.18(12分)在空间四边形ABCD中，G为BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量解析：G是BCD的重心，BE是CD边上的中线，.又()，(如图所示)19(12分)已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABDC，DAB90。，PD底面ABCD，且P
11、DDACD2AB2，M点为PC的中点(1)求证：BM平面PAD；(2)在平面PAD内找一点N，使MN平面PBD.解析：(1)证明：PD底面ABCD，CDAB，CDAD.以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz(如图所示)由于PDCDDA2AB2.所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，M(0,1,1)，(2,0,1)，(0,2,0)，平面PAD，是平面PAD的法向量，且0.又BM平面PAD.BM平面PAD.(2)设N(x,0，z)是平面PAD内一点，则(x，1，z1)，(0,0,2)，(2,1,0)，若M
12、N平面PBD，则即在平面PAD内存在点N，使MN平面PBD.20(12分)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，面ABCD与面D1C1CD垂直，且D1DC，DCDD12，DA，ADC，求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(，0,0)，D1(0,1，)，C(0,2,0)，D(0,0,0)由得A1(，1，)(，1，)(，1，)cos，.异面直线A1C与AD1所成角的余弦值为.21(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)求DB与平面DE
13、F所成角的正弦值解析：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图Dxyz.设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.(0，a,0)0.，EFCD.(2)设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则即即取x1，则y2，z1，n(1，2,1)，cos，n.设DB与平面DEF所成角为，则sin.22(12分)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC
14、的中点E，作EFPB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.(1)证明：PB平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值解析：(1)因为PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.而DE平面PCD，所以BCDE.又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.而PB平面PBC，所以PBDE.又PBEF，DEEFE，所以PB平面DEF.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体DBEF的四个面都是直角三角形，即四面体DBEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)如图，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与 平 面ABCD的交线由(1)知，PB平面DEF，所以PBDG.又因为PD底面ABCD，所以PDDG.而PDPBP，所以DG平面PBD.故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PDDC1，BC，有BD，在RtPDB中，由DFPB，得DPFFDB，则tantanDPF，解得.所以.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，.
