1、1内江六中高 21 届高二（下）期中考试试题数学（文科）第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分，每个小题只有一个选项正确）1.设复数 z 满足1 ，则 A.12B.22C.2D.2【答案】C2.已知0(1 3)(1)(1)1,limxfxffx 等于()A.1B.1C.3D.13【答案】C3.“t h”是“ln 1 t h”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B4.已知函数()yf x的图象与直线8yx 相切于点(5,(5)f，则(5)(5)ff 等于()A.12B.0C.1D.2【答案】D5过抛物线24yx的焦点
2、F 作直线，交抛物线于 11,A x y，22,B xy两点，若126xx，则AB 为（）A.4B.6C.8D.10【答案】C6.已知函数 在 R 上可导，其部分图象如图所示，设(2)(1)2 1ffa，则下列不等式正确的是A.(1)(2)ffaB.(1)(2)fafC.(2)(1)ffaD.(1)(2)aff【答案】B7已知双曲线22215xya 的右焦点与抛物线212yx的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A.B.3C.5D.【答案】A8给出如下四个命题：若“p 且 q”为假命题，则 p、q 均为假命题；命题“若 t h，则 t h 1”的否命题为“若 h，则 h 1”；“xR
3、，1 1”的否定是“200,1 1xR x”；在 th 中，“t t”是“t t”的充要条件其中正确的命题的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C9设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F，P 是C 上的点，212PFF F，12=30PF F，则C 的离心率为()A.36B.13C.12D.33【答案】D10曲线2lnyx上的点到直线 230 xy的最短距离为（）A.5B.2 5C.3 5D.2【答案】A11.若椭圆2214xy 和双曲线2212xy 有相同的焦点1F、2F，P 是两条曲线的一个交点，则12PF F的面积是（）A1B2C4D1012【答案】A12
4、.已知椭圆22+=14yx和点1 11(,),(,1)2 22AB，若椭圆的某弦的中点在线段 AB 上，且此弦所在直线斜率为 k，则 k 的取值范围为（）A 2,1B 4,1C 4,21D1 1,2【答案】C3第卷（非选择题）二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13.在复平面上，复数(1)()i ai对应的点位于第四象限，则实数 a 的取值范围是【答案】(1,1)14.曲线214yx在点(2,1)处的切线与 x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积为【答案】1215.已知过双曲线的22221(0,0)xyabab左焦点1F 且倾斜角为60 的直线l 与双曲线的左支有两个交点
5、，则双曲线的离心率的取值范围为【答案】(1,2)16.椭圆22143xy的左右焦点分别为12,F F，过椭圆的右焦点2F 作直线l 交椭圆于,P Q 两点，则1F PQ的内切圆面积的最大值是.【答案】916三、解答题（本题共 6 个小题，共 70 分）17.（本题满分 10 分）已知0m，p:260 xx,q:22mxm（1）若 p 是q 的充分条件，求实数 m 的取值范围；（2）若5m，“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数 x 的取值范围.解：（1）:26px，且 p 是 q 的充分条件 2,6是2,2mm的子集2 分022426mmmmm 的取值范围是4,5 分（）当5m 时，:37
6、qx，由题意可知,p q 一真一假，6 分p 真 q 假时，由2637xxxx 或8 分p 假 q 真时，由26326737xxxxx 或或9 分所以实数 x 的取值范围是3,26,710 分18.（本题满分 12 分）已知曲线32()2f xxxx（1）求曲线()yf x在2x 处的切线方程；（2）求曲线()yf x过原点O 的切线方程【答案】解：（1）由题意得，2()341fxxx，5 分(2)5,(2)2ff，3 分 切线方程为25(2)yx即580 xy 5 分（2）设切点00(,)P xy，由切点 P 在曲线上3200002yxxx，2000()341kfxxx 7 分切线方程为32
7、2000000(2)(341)()yxxxxxxx切线过原点（0,0）322000000(2)(341)()xxxxxx9 分即200(1)0 xx，解得0001xx或10kk或11 分切线方程为0yxy或12 分19.（本题满分 12 分）已知点(0,2)F，直线:2l y 交 y 轴于点 H，点 M 是l 上的动点，过点 M 经且垂直于l 的直线与线段 MF 的垂直平分线交于点 P.（1）求点 P 的轨迹C 的方程；（2）若 AB、为轨迹C 上的两个动点，且16OA OB ，证明直线 AB 必定点，并求出该定点.解：（1）由题意知|PFPM2 分点 P 的轨迹是以(0,2)F为焦点，l 为
8、准线的抛物线4 分则2:8C xy5 分（2）设直线1122:,(,),(,)AB ykxb A x yB xy，则由228808ykxbxkxbxy7 分由2020kb 128x xb 则222121288xxy yb9 分由12121616OA OBx xy y 即281604bbb满足式11 分直线 AB 必定点(0,4).12 分20.（本题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)xxEabab的离心率为22，右焦点为(1,0)F（1）求椭圆 E 的方程；（2）设点 O 为坐标原点，过点 F 作直线 l 与椭圆 E 交于，两点，若以 MN 为直径的圆过了坐标原点 O，求直线 l 的方
9、程解：1依题意得，1，1 h 1；2 分解得 ，h 1；椭圆 E 的标准方程为 1；4 分由题意，设 MN 的方程为1myx，1，1，由2222+1(2)210+2=2xmymymyxy 1221222212myymy ym 7 分212121212(1)(1)()1x xmymym y ym yy；2222222221222mmmmmm 9 分又 ，h；62121221 202mx xy ym，解得22m 11 分直线 l 的方程为220220 xyxy或12 分21.（本题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)xxEabab的一个顶点为 B(0，4)，离心率 e 55，直线 l交椭圆于
10、 M，N 两点(1)若直线 l 的方程为 yx4，求弦 MN 的长；(2)如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式解(1)由已知得 b4，且ca 55，即c2a215，a2b2a215，解得 a220，椭圆方程为x220y2161.2 分将 4x25y280 与 yx4 联立，消去 y 得 9x240 x0，x10，x2409，4 分所求弦长|MN|112|x2x1|40 29.5 分(2)椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0)，设线段 MN 的中点为 Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知BF2FQ，又 B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，即22x02，42y0
11、，故得 x03，y02，即 Q 的坐标为(3，2)7 分设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x26，y1y24，且x2120y21161，x2220y22161，以上两式相减得x1x2x1x220y1y2y1y2160，9 分kMNy1y2x1x245x1x2y1y245 6465，11 分故直线 MN 的方程为 y265(x3)，即 6x5y280.12 分722.（本题满分 12 分）设 A、B 为曲线2:4xC y 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4（1）求直线 AB 的斜率；（2）设弦 AB 的中点为 N，过点 A、B 分别作抛物线的切线，则两切线的交点为 E，过点 E
12、 作直线l，交抛物线于 P、Q 两点，连接 NP、NQ 证明：2EAEBNPNQABkkkkk.解：设1122,A x yB xy则2212121212,444xxxxyyxx（1）直线 AB 的斜率21122114AByyxxkxx 3 分（2）由（1）知，等价于证明2EAEBNPNQkkkk，112EAx xxky，222EBx xxky12122222EAEBxxxxkk5 分设直线:ABlyxm过 11,A x y点的切线方程为11112yyxxx，整理得2111124yx xx同理，过 22,B xy点处切线的方程为2221124yx xx，联立方程组21122211241124yx
13、 xxyx xx解得：2111112,4xyxxxym 2,Em 7 分设 3344,P x yQ xy易知割线的斜率存在，因为2,Em，设割线的方程为2ymk x，代入抛物线24xy，整理得24840 xkxkm，则34344,84xxk xxkm所以2222343434341112442444yyxxxxxxkkm，22222343434111444416yyxxx xkkmm，82223434433443341184444x xx yx yxxxxxxkmk 9 分因为2,2Nm，1212(2,2)22xxyym所以343422,22NPNQymymkkxx所以343443343434343422122842224NPNQymymkkx yx ymxxyymxxx xxx 2218884242 442842848444mkkmmkkkmmkmkm 11 分综上可得2EAEBNPNQkkkk所以2EAEBNPNQABkkkkk12 分
