1、变更主元巧证不等式利用导数证明含参数不等式的试题中,经常涉及到多个变量(如含有变量)。受惯性思维影响，解题者往往会选择以为主元进行求解.以为主元进行求解的解题过程经常是比较繁琐的,此时,我们不仿改变一下角度,先选择变量为主元,把问题视为关于变量的不等式,并加以解决,从而消去变量;消去变量后的等式只含有变量,我们自然地选择以变量为主元,再构造关于的不等式进行证明.这样的证明过程,会使得解题过程显得格外简捷自然.例题1(武汉市2021届高中毕业生三月质量检测)已知函数.(1)当时,求的最小值;(2)证明:当时,恒成立.解析(1)时,.设,因为,所以在单调递增.又,故当时,单调递减;当时,单调递增.
2、故在处取得最小值.(2)(定主元)设,设,所以在单调递椷,.设,所以在单调递减,.故时,.即在单调递减.故.由(1)知,.故时,即恒成立.在上述问题(2)中,如果以为主元求解较为繁琐.此时重新确定为主元,要证,只要证,即证.只需对进行求导,结合问题(1)的结论就可以得到,这使得解题过程大大简化.例题2(2018年高考新课标1卷文科)已知函数(1)设是的极值点.求,并求的单调区间；(2)证明:当时,.解析(1)略.(2)(定主元)设,则,所以在单调递增.所以当时,即设,则.当时,;当时,.所以是的最小值点.故当时,.所以.因此,当时,.在上述问题(2)中,要证明含参数不等式,我们可以确定以为主元
3、,因此只要证,即证.利用在的单调性得到是小值,最后证.例题3(2018年高考新课标3卷文科)已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)证明:当时,.解析(1)略.(2)(定主元)设,所以在单调递增,故,即.令,则,所以在上单调递增,又,故当时,;当时,所以是的最小值点.故.所以当,即.在上述问题(2)中,要证,只要证0,即证.利用在的单调性,得到最小值,最后证.将复杂的问题转化为简单的问题,提高解题效率.例题4(2013年高考新课标2卷理科)已知函数(1)设是的极值点,求,并讨论的单调性;(2)当时,证明.解析(1)略.(2)(定主元)设,则,所以在单调递减.所以,即.令在,单调递增.又.故在有唯一实根,且.当时,;当时，所以是的最小值点.由得,所以.故.所以.综上所述,当时,.在上述问题(2)中,对于已知参数取值范围,证明不等式成立,可以先把视为主元,因此要证,只要证,即证.利用在的单调性得到最小值,最后证.整个解题过程自然流畅,思路清晰,十分简捷
