1、四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二数学下学期第四学月考试试题 理（含解析）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数即可得
2、到复数z，进一步得到复数的模.【详解】，所以.故选：A【点睛】本题考查复数的除法运算以及求复数的模，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2. 设函数的定义域，函数的定义域为，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合A、B，再利用交集的定义计算即可.【详解】由已知，解得，故，又，所以.故选：D【点睛】本题考查集合间的交集运算，涉及到求函数的定义域，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.3. 命题“，使”的否定为( )A. B. C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】的否定为.【详解】根据全称命题的否定是特称命题，知，使的否定为.故选：B【点睛】本题考查含有一个量词
3、的命题的否定，做此类题要注意两个方面的变换：1.量词，2.结论.是一道容易题.4. 抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标.【详解】因为可化为，所以，且焦点在轴负半轴，因此焦点坐标为故选C【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.5. 随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题，某市创新性的采用“公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心”，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理，计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统（等距）
4、抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有5号23号和29号，则下面号码中可能被抽到的号码是（ ）A. 9B. 12C. 15D. 17【答案】D【解析】【分析】根据等距抽样的特点，求得抽样距离，即可列出抽取的号码，从而判断.【详解】由等距抽样的方法可知，23号和29号差6，则可以抽到5号，11号，17号，23号，29号，故选：D【点睛】本题考查系统抽样的特点，属基础题.6. 已知函数，则( )A. B. eC. D. 1【答案】C【解析】【分析】先求导，再计算出，再求.详解】由题得，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查导数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力，属基础题.7. 执行如
5、图所示的程序框图，输出的的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据程序框图，顺着流程线依次代入循环结构，得到结果.【详解】第一次循环：，：第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，；第五次循环：，此时循环结束，可得.选A.【点睛】本题考查了循环结构，顺着结构图，依次写出循环，属于简单题型.8. 已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题设可知：是真命题，是假命题；所以，是假命题，是真命题；所以，是假命题，是假命题，是假命题，是真命题；故选D.考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、
6、判断复合命题的真假.9. 若向量，则（ ）A. B. C. 3D. 【答案】D【解析】分析】根据题意得，所以【详解】由于向量，所以.故故选：D.【点睛】本题主要考查向量的模长问题，属于基础题目.10. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数排除,当时,利用导数得在上递减,在上递增,根据单调性分析不正确,故只能选.【详解】令,则,所以函数为偶函数,其图像关于轴对称,故不正确,当时,由,得,由,得,所以在上递减,在上递增,结合图像分析不正确.故选:D【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数
7、的图象,属于中档题.11. 在四面体中，两两垂直，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为，两两垂直，以为X轴，以为Y轴，以为Z轴建立空间直角坐标系，求出向量与平面的法向量，再根据，即可得出答案.【详解】因为在四面体中，两两垂直，以为X轴，以为Y轴，以为Z轴建立空间直角坐标系，又因为； ，又因为、分别为棱、的中点所以 故 ， ，. 设平面的法向量为 ，则 令 则； 所以设直线与平面所成角为 ，则 所以 故选：C【点睛】本题主要考查线面角，通过向量法即可求出，属于中档题目.12. 已知函数，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数
8、的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过导数研究函数的单调性即极值，通过对与函数的极值的大小关系的讨论得到结果.【详解】易知当0时，方程只有一个解，所以0令，令得，为函数的极小值点，又关于的方程=在区间内有两个实数解，所以，解得，故选A.【点睛】该题考查的是有关根据方程在某个区间上的根的个数求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将根的个数转化为函数图象交点的个数来完成，属于中档题目.第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围
9、是_【答案】【解析】【详解】恒成立，当时，成立；当时，得；14. 函数在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】设切点由已知可得，即可解得所求【详解】由，得，故，函数在点处的切线方程为函数.即.故答案为：.【点睛】本题考查导数几何意义，解题关键是掌握导数求曲线切线的方法，考查学生的计算能力，比较基础.15. 设x，y满足约束条件，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】先画出可行域，根据表示可行域内的点到定点的距离的平方，即可求出最小值【详解】作出不等式组表示的可行域为一个三角形区域（包括边界），表示可行域内的点到定点的距离的平方，由图可知，该距离的最小值为点到直线的距离，故.【点睛】本题考
10、查线性规划，属于基础题16. 若，为自然数，则下列不等式：；，其中一定成立的序号是_【答案】.【解析】【分析】对于根据不等式,作差并构造函数,利用导数证明函数的单调性即可比较大小;对于不等式,根据移项变形,构造函数,通过求即可判断函数的单调性,比较大小即可;对于,构造函数,利用换底公式,求导即可判断函数的单调性,进而比较大小即可.【详解】对于若成立.两边同时取对数可得,化简得因为则,不等式两边同时除以可得令,则当时, ,所以即在内单调递增所以当时,即所以故正确对于若,化简可得令,则由可知在内单调递增而所以在内先负后正因而在内先递减,再递增,所以当时无法判断与的大小关系.故错误.对于,若令利用换
11、底公式化简可得,则当时, 所以,即则内单调递减所以当时, 即所以正确综上可知,正确的为故答案为: 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,通过构造函数比较不等式大小,对分析问题的能力要求较高,属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. 已知函数，其中.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在内只有一个零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将代入，求出函数解析式，可得的值，利用导数求出的值，可得在点处的切线方程；（2
12、）求出函数的导函数，结合a的讨论，分别判断函数零点的个数，综合讨论结果，可得答案.【详解】解：（1）,，则，故所求切线方程为；（2），当时，对恒成立 ，则在上单调递增，从而，则，当时，在上单调递减，在上单调递增，则 ，当时， 对恒成立，则在上单调递减，在（1，2）内没有零点 ，综上，a的取值范围为（0，1）.【点睛】本题主要考查了函数的零点，导函数的综合运用及分段函数的运用，难度中等.18. 如图，在正方体中，点为的中点，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，平面的法向量，得到
13、证明.（2）计算平面的法向量，平面的法向量，计算夹角得到答案.【详解】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，平面的法向量，平面，平面.（2），设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取得，得，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为.、【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19. 近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用
14、面积（单位：亩）12345管理时间（单位：月）810132524并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望参考公式：其中临界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828参
15、考数据：【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）分别求出，从而，求出，从而得到管理时间与土地使用面积线性相关（2）完善列联表，求出，从而有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性（3）的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出的分布列和数学期望【详解】解：依题意：故则，故管理时间与土地使用面积线性相关（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得的观测值为故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关
16、性（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故故的分布列为X0123P则数学期望为（或由，得【点睛】本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等20. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足当点在圆上运动时，线段的中点形成轨迹（1）求轨迹的方程；（2）若直线与曲线交于两点，为曲线上一动点，求面积的最大值【答案】（1）；（2）面积最大为【解析】【分析】（1）设出点的坐标，由为线段的中点得到的坐标，把的坐标代入圆整理得线段的中点的轨迹方程；（2）联立直线和椭圆，求出的长；设过且与
17、直线平行的直线为，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，求出，和两平行直线间的距离，再由面积公式，即可得到最大值【详解】设，由题意，为线段的中点，即又在圆上，即，所以轨迹为椭圆，且方程为.联立直线和椭圆，得到，即即有设过且与直线平行的直线为，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，将代入椭圆方程得：由相切的条件得解得，则所求直线为或，故与直线的距离为，则的面积的最大值为.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系，注意等价的条件，同时考查联立方程，消去变量的运算能力，属于中档题21. 已知函数，（）若在内单调递减，求实数的取值范围；（）若函数有两个极值点分别为，证明：【答案】
18、（）（）见证明【解析】【分析】（I）先求得函数的导数，根据函数在上的单调性列不等式，分离常数后利用构造函数法求得的取值范围.（II）将极值点代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法证得上述不等式成立.【详解】（I） 在内单调递减， 在内恒成立， 即在内恒成立令，则，当时，即在内为增函数；当时，即在内为减函数 的最大值为，（）若函数有两个极值点分别为，则在内有两根，由（I），知 由，两式相减，得不妨设， 要证明，只需证明 即证明，亦即证明 令函数，即函数在内单调递减时，有，即不等式成立 综上，得【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数，考查利用导数研究函数极值点问题，
19、考查利用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设与交于、两点，中点为，的垂直平分线交于、.以为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.（1）求的直角坐标方程与点的直角坐标；（2）求证：.【答案】（1），；（2）见解析.【解析】【分析】（1）将曲线的极坐标方程变形为，再由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的方程与曲线的方程联立，求出点、的坐标，即可得出线段的中点的坐标；（2）
20、求得，写出直线的参数方程，将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理求得的值，进而可得出结论.【详解】（1）曲线的极坐标方程可化为，即，将代入曲线的方程得，所以，曲线的直角坐标方程为.将直线的极坐标方程化为普通方程得，联立，得或，则点、，因此，线段的中点为；（2）由（1）得，易知的垂直平分线的参数方程为（为参数），代入的普通方程得，因此，.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数，.（1）解不等式；（2）若对，有，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用零点分段法解绝对值不等式，即可得答案；（2）根据三角形绝对值不等式，即可证明不等式；【详解】（1），即 或或解得：或或无解故不等式的解集为（2）证明：.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解和证明，考查逻辑推理能、运算求解能力，属于基础题.
