1、 圆的综合圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高多考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点，以及数形结合、整体代入等数学思想.此类题型常涉及以下问题：切线的判定；计算线段长及证明线段比例关系；求三角函数值；利用“辅助圆”求最值.右图为圆的综合问题中各题型的考查热度.题型1：切线的判定解题模板： 1.（2022阜新）如图，在RtABC中，ACB90，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CDAC求证：CD是O的
2、切线；【变式1-1】（2022鄂尔多斯）如图，以AB为直径的O与ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD求证：DE是O的切线；【变式1-2】（2022荆门）如图，AB为O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC3，点D在O上且满足ACAD，连接DC并延长到E点，使BEBD（1）求证：BE是O的切线；题型2：圆中求线段长度解题模板： 2.（2022西宁）如图，在RtABC中，C90，点D在AB上，以BD为直径的O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M（1）求证：四边形EMFC是矩形；（2）若AE，O的半径为2，求FM的长【变式2
3、-1】（2022盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在O上，边DA的延长线交O于点E，对角线DB的延长线交O于点F，连接EF并延长至点G，使FBGFAB（1）求证：BG与O相切；（2）若O的半径为1，求AF的长【变式2-2】（2022聊城）如图，点O是ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，AODEOD（1）连接AF，求证：AF是O的切线；（2）若FC10，AC6，求FD的长题型3：圆中的最值问题解题模板： 技巧精讲：1、 辅助圆模型3.（碑林区校级模拟）问题提出：（1）如图，半圆O的直径AB1
4、0，点P是半圆O上的一个动点，则PAB的面积最大值是 问题探究：（2）如图，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值问题解决：（3）如图，四边形ABCD中，ABAD6，BAD60，BCD120，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由【变式3-1】（2022秋南关区校级期末）【问题情境】如图，在四边形ABCD中，BD90，求证：A、B、C、D四点共圆小吉同学的作法如下：连结AC，取AC的中点O，连结OB、OD，请你帮助小吉补全余下的证明过程；【问题解决】如图，在正方形ABC
5、D中，AB2，点E是边CD的中点，点F是边BC上的一个动点，连结AE，AF，作EPAF于点P（1）如图，当点P恰好落在正方形ABCD对角线BD上时，线段AP的长度为 ；（2）如图，过点P分别作PMAB于点M，PNBC于点N，连结MN，则MN的最小值为 【变式3-2】（2020秋盱眙县期末）如图，ABC中，ACBC4，ACB90，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F（1）小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：ACBCEC，A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上AEBACB （2）
6、若BE2，求CF的长（3）线段AE最大值为 ；若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 4.如图（1），在RtABC中，A90，ABAC4，D、E分别是AB，AC的中点若等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAD1E1，如图（2），设旋转角为a（0a180），记直线BD1与CE1的交点为P（1）求证：BD1CE1；（2）当CPD12CAD1时，则旋转角为a （直接写结果）（3）连接PA，PAB面积的最大值为 （直接写结果）【变式4-1】如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，点F在边AC上，并且CF2，点E为BC边上的动点，将FCE沿直线EF翻折，点C落在点P处，求点P到边AB距
7、离的最小值【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴负半轴上，M与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C、D两点（点C在y轴正半轴上），且，点B的坐标为（3，0），点P为优弧CAD上的一个动点，连结CP，过点M作MECP于点E，交BP于点N，连结AN（1）求M的半径长；（2）当BP平分ABC时，求点P的坐标；（3）当点P运动时，求线段AN的最小值5.问题发现（1）如图1，在ABC中，AB2，C60，试猜想ABC面积的最大值为 ；问题探究（2）如图2，在四边形ABCD中，ABDC，A90，ABBC，C120，连接BD，求cosADB的值；问题解决（3）如图3，在四边形ABCD中
8、，ADC90，DC2AD，AB10，C为AB为直径的半圆上一点，O为圆心，请问四边形ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求这个最大值；若不存在，试说明理由【变式5-1】问题提出：如图1：在ABC中，BC10且BAC45，点O为ABC的外心，则ABC的外接圆半径是 问题探究：如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且EAF45，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由问题解决：如图3，四边形ABCD中，ABAD4，B45，D135，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且EAFC60，试问AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值若不存在，请说明理由1.（
9、2022东营）如图，AB为O的直径，点C为O上一点，BDCE于点D，BC平分ABD（1）求证：直线CE是O的切线；（2）若ABC30，O的半径为2，求图中阴影部分的面积2（2022锦州）如图，在O中，AB为O的直径，点E在O上，D为的中点，连接AE，BD并延长交于点C连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使CBFBAC（1）求证：BF为O的切线；（2）若AE4，OF，求O的半径3（2022鞍山）如图，O是ABC的外接圆，AB为O的直径，点E为O上一点，EFAC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若BCEABC（1）求证：EF是O的切线（2）若BF2，sinBEC，求O的
10、半径4（2022菏泽）如图，在ABC中，以AB为直径作O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DGBC于点G，交BA的延长线于点H（1）求证：直线HG是O的切线；（2）若HA3，cosB，求CG的长5（2022枣庄）如图，在半径为10cm的O中，AB是O的直径，CD是过O上一点C的直线，且ADDC于点D，AC平分BAD，点E是BC的中点，OE6cm（1）求证：CD是O的切线；（2）求AD的长6（2022兰州）如图，O是ABC的外接圆，AB是直径，ODOC，连接AD，ADOBOC，AC与OD相交于点E（1）求证：AD是O的切线；（2）若tanOAC，AD，求O的半径7（2022郴州）
11、如图，在ABC中，ABAC以AB为直径的O与线段BC交于点D，过点D作DEAC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P（1）求证：直线PE是O的切线；（2）若O的半径为6，P30，求CE的长8（2022辽宁）如图，ABC内接于O，AC是O的直径，过OA上的点P作PDAC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF（1）求证：BF与O相切；（2）若APOP，cosA，AP4，求BF的长9（2022秋黄埔区期末）如图1，O为ABC的外接圆，半径为6，ABAC，BAC120，点D为优弧上异于B、C的一动点，连接DA、DB、DC（1）求证：AD平分BDC；（2）如图2，CM平
12、分BCD，且与AD交于M花花同学认为：无论点D运动到哪里，始终有AMAC；都都同学认为：AM的长会随着点D运动而变化你贽同谁的观点，请说明理由（3）求DA+DB+DC的最大值10（2022秋江都区月考）在半径为5的O中，AB是直径，点C是直径AB上方半圆上一动点，连接AC、BC（1）如图1，则ABC面积的最大值是 ；（2）如图2，如果AC8，则BC ；作ACB的平分线CP交O于点P，求长CP的长（3）如图3，连接AP并保持CP平分ACB，D为线段BC的中点，过点D作DHAP，在C点运动过程中，请直接写出DH长的最大值11（2022秋姑苏区校级期中）如图，已知半径为2的O与直线l相切于点A，点P
13、是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作PCl，垂足为点C，PC与O交于点D，连接PA，PB，设PC的长为x（2x4）（1）当x3时，求弦PA，PB的长度；（2）用含有x的代数式表示PDCD，并求出当x为何值时，PDCD的值最大？最大值是多少？12（2022嵩县模拟）如图，RtABC的中，BAC90，AB4cm，AC3cm，点G是边AB上一动点，以AG为直径的O交CG于点D，E是边AC的中点，连接DE（1）求证：DE与O相切；（2）填空：当AG3cm时，O与直线BC相切；当点G在边AB上移动时，CDE面积的最大值是 cm213（1）如图，ABC中，OAOBOC，试求ACO和ABC的关系（2）已知A
14、BC中，A和B都是锐角，D和E在AB上，满足：ADBD，CEAB，已知ACDBCE，试判断ABC的形状14（2021秋自贡期末）在ABC中，ABAC，过点C作CDBC，垂足为C，BDCBAC，AC与BD交于点E（1）如图1，ABC60，BD6，求DC的长；（2）如图2，AMBD，ANCD，垂足分别为M，N，CN4，求DB+DC的长15（2021秋越秀区校级期中）如图1，在ABC中，ACB90，CD平分ACB，且ADBD于点D（1）判断ABD的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若BQ2，DQ3，BQD75，求AQ的长；（3）如图3，在（1）的结论下，若将DB绕着点D顺时针旋转（090）得到DP，连接BP，作DEBP交AP于点F试探究AF与DE的数量关系，并说明理由
