1、二次函数的综合 题型解读：二次函数的综合问题在中考中常常作为压轴题出现，多考查二次函数与几何图形的综合，一般要用到线段最值、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三角形等相关知识，以及转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想.此类题型常涉及以下问题：求抛物线、直线的解析式；求点的坐标、线段长度、图形面积；探究几何图形的存在性问题或周长、面积的最值问题.下图为二次函数综合问题中各题型的考查热度.题型1：二次函数与最值问题解题模板： 1.（2022广元）在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yax2+bx+c（a0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C（1）求a，
2、b满足的关系式及c的值；（2）当a时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求ABP周长的最小值；（3）当a1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QDAB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值【变式1-1】（2022遂宁节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，2），求DEF周长的最小值；【变式1-2】（2022齐齐哈尔节选）综合与探究如图，某一次函数与二次函数y
3、x2+mx+n的图象交点为A（1，0），B（4，5）（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DEx轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；题型2：二次函数与图形面积问题解题模板： 技巧精讲：表示图形面积的方法2.（2022常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限（1）求此抛物线的解析式；（2）当OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PAPB的值最大时，求P的
4、坐标以及PAPB的最大值【变式2-1】（2022内蒙古节选）如图，抛物线yax2+x+c经过B（3，0），D（2，）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）【变式2-2】（2022淄博）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：yx+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）过点P作PMx轴于点M，PNl于点N，当1m3时，求PM+
5、PN的最大值；（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由【变式2-2】（2022菏泽节选）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC（1）求抛物线的表达式；（2）将ABC沿AC所在直线折叠，得到ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；题型3：二次函数与图形判定问题：类型一：与特殊三角形相关解题模板：技巧精讲；1：动点构成特殊三
6、角形的作图方法2.动点构成特殊三角形的分类讨论方法（情景同上）3.（2022百色）已知抛物线经过A（1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F（1）求抛物线的表达式；（2）求证：BOFBDF；（3）是否存在点M，使MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长【变式3-1】（2022东营）如图，抛物线yax2+bx3（a0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称
7、轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标【变式3-2】（2022呼和浩特节选）如图，抛物线yx2+bx+c经过点B（4，0）和点C（0，2），与x轴的另一个交点为A，连接AC、BC（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由类型二：与特殊四边形相关技巧精讲：动点构成特殊四边形的作图方法2.动点构成特殊四边形的分类讨论方法（情境同上）4.（2022攀枝花）如图，二次函数yax2+bx+
8、c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由【变式4-1】（2022朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），连接BC（1）求抛物线的解析式及点B的坐标（
9、2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由【变式4-2】（2022泰安）若二次函数yax2+bx+c的图象经过点A（2，0），B（0，4），其对称轴为直线x1，与x轴的另一交点为C（1）求二次函数的表达式；（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MNx轴于点N
10、若点N在线段OC上，且MN3NC，求点M的坐标；以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标【变式4-3】（2022黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）经过原点O的抛物线yx2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D（1）求抛物线yx2+bx+c的表达式；（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MNy轴且MN2时，求点M的坐标；（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由一、解答题1（九上垦
11、利期末）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点（）求抛物线的解析式；（）若抛物线交y轴于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（）在抛物线第二象限的图象上是否存在一点P，使得PBC的面积最大？若存在，请直接写出点P的坐标和PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由2（九上兰陵期中）如图，直线y=-12x+2与x轴、y轴分别交于B、A两点，Q是线段AB上的动点（不与A、B重合），将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90得到点Q，连接OQ，求OQ的最小值3（2021河东模拟）抛物线yx2+bx+c（b，c为常
12、数）与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点（）当x11，x23时，求点E，点A的坐标；（）若顶点E在直线yx上时，用含有b的代数式表示c；在的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式；（）若x11，b0，当P（1，0）满足PA+PE值最小时，求b的值4（2021阳西模拟）如图，点 B ， C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上， OB ， OC 的长分别为 x2-8x+12=0 的两个根 (OCOB) ，点 A 在 x 轴的负半轴上，且 OA=OC=3OB ，连接 AC （1）求过 A ， B ， C 三点的抛物线的函数解析式； （2）点 P 从点 C 出
13、发，以每秒2个单位长度的速度沿 CA 运动到点 A ，点 Q 从点 O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 OC 运动到点 C ，连接 PQ ，当点 P 到达点 A 时，点 Q 停止运动，求 SCPQ 的最大值； （3）M 是抛物线上一点，是否存在点 M ，使得 ACM=15 ？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 5（2021九上中山期末）如图，抛物线yax2bx3经过A、B、C三点，点A（3，0）、C（1，0），点B在y轴上点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE
14、最大，求出此时P点的坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由6（九上大安期末）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为 (-3，0) ，与y轴交于点C，点 D(-2，-3) 在抛物线上 （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出 PA+PD 的最小值； （3）若抛物线上有一动点Q，使 ABQ 的面积为6，求点Q的坐标 7（2021长葛模拟）如图，抛物线 y=-x2+bx+c 与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，直线 y=-x+4 与y
15、轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PFx轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m. （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得PCE与DEF相似.若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.8（2021铁岭模拟）如图，抛物线yax2bx6与x轴交于点A（6，0），B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CMBM最小时，求点M的坐标（3）抛物线上是否存在点P，使ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由9（2022九上金华月考）如图，抛物线与轴交于A、B（3
16、，0）两点，与轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M是x轴上的动点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（3）在直线BC下方抛物线上一点P，作PQ垂直BC于点Q，连接CP，当CPQ中有一个角等于ACO时，求点P的坐标。10（2022博山模拟）如图，已知抛物线 y=ax2+bx-4 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为 (-2，0) ，直线 BC 的解析式为 y=12x-4 （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点A作 ADBC 交抛物线于点D（异于点A），P是直线 BC 下方抛物线上一点，过点P作 PQy 轴，交 AD 于点Q，过点Q作 QRBC 于点R，连接 PR 求 PQR 面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，点C关于 x 轴的对称点为点 C ，将抛物线沿射线 CA 的方向平移 25 个单位长度得到新的抛物线 y ，新抛物线 y 与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由
