1、卷03 高二上学期10月第一次月考A卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在正方体中，中点为，则二面角的余弦值为ABCD【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，则，0，2，0，2，2，2，2，设平面的法向量为， 则，取，得，0，设平面的法向量为，则，取，得，设二面角的平面角为，由图知为钝角，二面角的余弦值故选：2如图三棱柱中，侧面是边长为2菱形，交于点，侧面，且为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为ABCD【解答】解：三棱柱中，侧面是边长为2菱形，交于点，侧面，且为等腰直角
2、三角形，如图建立空间直角坐标系，过作平面，垂足是，连结，则，点的坐标为，1，故选：3已知点，若直线上存在点，满足，则的取值范围是ABCD，【解答】解：因为点在直线上，设，则，所以，因为方程有解，所以，解得故选：4中，两条高，所在的直线方程分别为，则所在直线的方程是ABCD【解答】解：因为，边上的高，所在的直线方程分别为，所以它们的斜率分别为，故直线，的斜率分别为5，所以和的方程分别为，即，联立方程组，解得，所以，联立方程组，解得，所以，所以所在直线的方程为，即故选：5如图，在三棱锥中，分别为棱，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是AB，C，D，【解答】解：因为，又因为为公共边，所以，所
3、以，又因为的中点，所以，设，则，设如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，由已知得各点坐标如下：，0，1，0，所以，平面的法向量为，1，因为直线与平面所成角为，因为，于是，所以，所以，故选：6已知空间向量，0，1，0，向量，且，则不可能是AB1CD4【解答】解：，0，1，0，且，；，不可能是故选：7中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒cun尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近，若取，则下列结论正确的是A正四棱锥的底面边长为B正四棱锥的高为C正四棱锥的
4、体积为D正四棱锥的侧面积为【解答】解：如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，设底面边长为正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近，取，则，在中，解得，底面边长为，高为，侧面积为，体积故选：8在平面直角坐标系为坐标原点）中，不过原点的两直线、的交点为，过点分别向直线、引垂线，垂足分别为，则四边形的面积的最大值为A3BC5D【解答】解：将直线的方程变形得，由，得，则直线过定点，同理可知，直线过定点，所以，直线和直线的交点的坐标为，易知，直线，如下图所示，易知，四边形为矩形，且，设，则，四边形的面积为，当且仅当，即当时，等号成立，因此，四边形面积的最大值为，故选：二、多项选择题：本题共4小题，
5、每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有ABCD若，则【解答】解：对于，故恒成立；对于，故不会恒成立；对于，若，且，显然不会恒成立；对于，即有则恒成立故选：10已知实数，满足方程，则下列说法错误的是A的最大值为B的最大值为C的最大值为D的最小值为【解答】解：实数，满足方程，即满足，表示以为圆心，半径等于的圆令，即，当圆和直线相切时，取得最值，由，求得，或，故的最大值为，最小值为，故正确，错误；由于表示圆上的点到原点距离的平方，故它的最大值，故正确；
6、由于表示圆上的点与原点连线的斜率，故当直线和圆相切时，取得最值，设过原点的切线方程为，即，由，求得，故的最大值为，故错误，故选：11已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是A平面平面，且两平面的距离为B点在线段上运动，则四面体的体积不变C与所有12条棱都相切的球的体积为D是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点，则的最小值是【解答】解：，且，平面平面，长方体的体对角线，设到平面的距离为，则，即，则平面与平面的距离，故正确，点在线段上运动，则四面体的高为1，底面积不变，则体积不变，故正确，与所有12条棱都相切的球的直径等于面的对角线，则，则球的体积，故正确，如图，设与正方体的内
7、切球的球心为，三角形的外接圆的圆心为，由点在与正方体的内切球的球面上运动，点在三角形的外接圆上运动，可知线段长度的最小值是正方体的外接球的半径减去球的半径，正方体的棱长为1，线段长度的最小值是，故错误故选：12已知圆，圆，且，不同时为交于不同的两点，下列结论正确的是ABC，D，为圆上的两动点，且，则的最大值为【解答】解：根据题意，圆和圆交于不同的两点，两圆方程相减可得直线的方程为：，即，分别把点，两点坐标代入得：，所以选项正确，上面两式相减得：，即，所以选项正确，两圆的半径相等，由圆的性质可知，线段与线段互相平分，则有，变形可得，正确；，为圆上的两动点，且，设的中点为，则，所以，所以的中点的轨
8、迹为以为圆心，为半径的圆，所以的中点的轨迹方程为，又，所以的最大值为，故错误故选：三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为点为的重心，若，则1，【解答】解：根据题意得，点为的重心，设中点为，则，；，故答案为1，14已知四面体，则5【解答】解：根据题意，四面体，则；则；故答案为：515正方体的棱长为1，是正方体（包括表面）中的动点，且满足，则点所形成的几何体的体积等于【解答】解：如图所示，0，1，1，设，则，解得，点所形成的几何体的体积故答案为：16已知圆，点，是直线上的动点，若在圆上总存在不同的两点，使得四边形是菱形，则的取值范围为
9、【解答】解：在圆上总存在不同的两点，使得四边形是菱形，垂直平分当直线的斜率为0时，由直线得，此时在上不存在不同的两点，满足条件；当直线的斜率不存在时，由直线可得，此时直线为：，满足条件当直线的斜率存在且不为0时，直线方程为，化为，圆心到直线的距离，即，又，化为，解得，的取值范围是故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知以点为圆心的圆与_，过点的动直线与圆相交于，两点、从直线相切；圆关于直线对称；圆的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程【解答】解：选、（1）由直线与圆相切知
10、圆的半径为点到直线的距离，即，圆的方程为；（2）记线段的中点为，依据可得，且，则，即点到直线的距离为1，若直线的斜率存在，设为，直线，即，解得，直线的方程为若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意综上直线的方程为或选、与圆关于直线对称知圆的半径，圆的方程为（2）记线段的中点为，依据可得，且，则，即点到直线的距离为1，若直线的斜率存在，设为，直线，即，解得，直线的方程为若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意综上直线的方程为或选、（1）与圆的公切线长3，设圆的半径为，则，解得圆的方程为（2）记线段的中点为，依据可得，且，则，即点到直线的距离为1，若直线的斜率存在，设为，直线，即，解得，直线的
11、方程为若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意综上直线的方程为或18请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答，与平面所成的角为，如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，的中点为（1）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出在上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_，求二面角的余弦值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分，【解答】解：（1）在线段上存在中点，使得平面证明如下：设的中点为，连结，由题意得为平行四边形，则，又平面，平面，平面（2）选择平面，由题意知，彼此两两垂直，以，分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，2，2，1，0，1，设平面的法向量
12、，取，得，1，平面的法向量，0，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为选择与平面所成的角为平面，取中点，连结，取的中点，连结，则，且，平面，与平面所成角为，在中，又，彼此两两垂直，以、分别为，轴，建立空间直角坐标系， 0，0，1，2，0，1，0，1，0，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量，0，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为选择平面，取中点，连结，底面是菱形，是正三角形，是的中点，彼此两两垂直，以、分别为，轴，建立空间直角坐标系， 0，0，1，2，0，1，0，1，0，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量，0，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为19已知直线与圆交于，两点（1
13、）求出直线恒过定点的坐标；（2）求直线的斜率的取值范围；（3）若为坐标原点，直线，的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由【解答】解：（1）由直线，得，联立，解得，直线恒过定点；（2）由圆，知圆心，半径，当直线和圆相切时，得或，当时，直线方程，当时，直线方程，直线与圆相交时，直线的斜率取值范围；（3）由（2）知直线的斜率存在，设直线方程为，联立，得，由（1）可知，则，是定值，定值为120在，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题问题：如图，在正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系已知点的坐标为，0，为棱上的动点，为棱上的动点，_，试问是否存在点，满足
14、？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解答】解：由题意，正方体的棱长为2，则，0，2，0，0，2，设，2，则，则，若选择：，则，所以，故，若，则，解得，故存在点，1，2，使得，此时；若选：，则，解得，若，则，解得，故存在点，使得，此时；若选：，则与不共线，所以，即，所以，故不存在点，使得21在平面直角坐标系中，已知直线和圆，是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，（1）若，求点的坐标；（2）求线段长的最小值；（3）设线段的中点为，是否存在点，使得线段长为定值？若存在，求出点；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）若，则四边形为正方形，则到圆心的距离为在直线上，设，则，解得，故；（2）由
15、，可知当线段长最小时，线段长最小线段长的最小值，即点到直线的距离，故，；（3）设，则以为直径的圆的方程为，化简得：，与联立，可得所在直线方程为，联立，得，的坐标为，可得点轨迹为，圆心，半径故存在点，使得线段长为定值22已知直线，过点的直线分别与直线，交于，其中点在第三象限，点在第二象限，点；（1）若的面积为16，求直线的方程；（2）直线交于点，直线交于点，若直线、的斜率均存在，分别设为，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由【解答】解：（1）设直线方程为，与直线，分别联立，可得，的纵坐标分别为，的面积为16，即，解得，直线的方程为；（2）由（1）可得，又，设，由，共线，可得，解得，即有，由，共线，可得，解得，即有，则，即有为定值
