1、第1页专项检测十 空间中的平行与垂直第2页一、选择题1已知直线 a 与直线 b 平行,直线 a 与平面 平行,则直线 b 与 的关系为()A平行B相交C直线 b 在平面 内D平行或直线 b 在平面 内D第3页解析:依题意,直线 a 必与平面 内的某直线平行,又 ab,因此直线 b 与平面 的位置关系是平行或直线 b 在平面 内第4页2已知 E,F,G,H 是空间四点,命题甲:E,F,G,H四点不共面,命题乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件B第5页解析:若 E,F,G,H 四点不共面,则直线 EF 和 GH 肯定不
2、相交,但直线 EF 和 GH 不相交,E,F,G,H 四点可以共面,例如 EFGH,故甲是乙成立的充分不必要条件第6页3设 m,n 是两条不同的直线,是两个不同的平面,则()A若 mn,n,则 mB若 m,则 mC若 m,n,n,则 mD若 mn,n,则 mC第7页解析:对 A,若 mn,n,则 m 或 m 或 m,错误;对 B,若 m,则 m 或 m 或 m,错误;对 C,若 m,n,n,则 m,正确;对 D,若mn,n,则 m 或 m 或 m,错误故选C.第8页4(2019合肥市一模)平面 外有两条直线 a,b,它们在平面 内的投影分别是直线 m,n,则下列命题正确的是()A若 ab,则
3、mnB若 mn,则 abC若 mn,则 abD若 m 与 n 相交,则 a 与 b 相交或异面D第9页解析:对于选项 A,当直线 a,b 相交,且所在平面与平面 垂直时,直线 m,n 重合,故 A 不正确;对于选项 B,不妨在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中考虑,取面对角线 AB1,AD1,其所在直线分别记为 a,b,其在平面 ABCD 上的投影分别为AB,AD,记为 m,n,此时 mn,但 a 与 b 不垂直,故 B 不正确;对于选项 C,不妨在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中考虑,取面对角线 AB1,CD1,其所在直线分别记为 a,b,其在平面ABCD 上的投影分别为 AB,C
4、D,记为 m,n,此时 mn,但a 与 b 不平行,故 C 不正确;对于选项 D,若 m 与 n 相交,则 a 与 b 不可能平行,只能是相交或异面,故 D 正确,选 D.第10页5如图,在三棱锥 P-ABC 中,不能证明 APBC 的条件是()AAPPB,APPCBAPPB,BCPBC平面 BPC平面 APC,BCPCDAP平面 PBCB第11页解析:A 中,因为 APPB,APPC,PBPCP,所以 AP平面 PBC.又 BC平面 PBC,所以 APBC,故 A 正确;C 中,因为平面 BPC平面 APC,BCPC,所以 BC平面 APC.又 AP平面 APC,所以 APBC,故 C 正确
5、;D 中,由 A 知 D 正确;B 中条件不能判断出 APBC,故选 B.第12页6(2019成都市诊断性检测)在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1 中,已知 M 是棱 BB1 的中点,N 是棱 AC 的中点,则异面直线 A1M 与 BN 所成角的正切值为()A.3B1C.63D.22C第13页解析:如图,取 AA1 的中点 P,连接 PN,PB,则由直三棱柱的性质可知 A1MPB,则PBN 为异面直线 A1M 与 BN所成的角(或其补角)设三棱柱的棱长为 2,则 PN 2,PB 5,BN 3,所以 PN2BN2PB2,所以PNB90,在RtPBN 中,tanPBNPNBN 23 63
6、,故选 C.第14页7如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PAB 与PBC 是正三角形,平面 PAB平面 PBC,ACBD,则下列结论不一定成立的是()APBACBPD平面 ABCDCACPDD平面 PBD平面 ABCDB第15页解析:取 BP 的中点 O,连接 OA,OC,则 BPOA,BPOC,又因为 OAOCO,所以 BP平面 OAC,所以 BPAC,故选项 A 正确;又 ACBD,BPBDB,得 AC平面 BDP,又 PD平面 BDP,所以 ACPD,平面 PBD平面ABCD,故选项 C,D 正确,故选 B.第16页二、填空题8如图,DC平面 ABC,EBDC,EB2DC,P,Q分别为
7、AE,AB 的中点则直线 DP 与平面 ABC 的位置关系是平行第17页第18页9(2019新课标全国卷)已知ACB90,P 为平面 ABC外一点,PC2,点 P 到ACB 两边 AC,BC 的距离均为 3,那么 P 到平面 ABC 的距离为.2第19页解析:如图,过点 P 分别作 PEBC 交 BC 于点 E,作PFAC 交 AC 于点 F.由题意知 PEPF 3.过 P 作 PH平面 ABC 于点 H,连接 HE,HF,HC,易知 HEHF,则点 H在ACB 的平分线上,又ACB90,故CEH 为等腰直角三角形在 RtPCE 中,PC2,PE 3,则 CE1,故 CH 2,在 RtPCH
8、中,可得 PH 2,即点 P 到平面 ABC 的距离为 2.第20页10(2019重庆市调研抽测)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在线段 A1B 上运动,则异面直线 DP 与 CB1 所成角的取值范围是(0,3解析:由题意,在正方体中,连接 DA1,DB,则 CB1DA1,所以A1DP 为异面直线 DP 与 CB1 所成的角,点 P 与 B 重合时,A1DP 最大,且最大为3,当点 P 与 A1 无限接近时,A1DP 趋近于零,故异面直线 DP 与 CB1 所成角的取值范围是(0,3第21页三、解答题11如图,平面 CDEF平面 ABCD,四边形 ABCD 是平行四边形,CD
9、EF 为直角梯形,ADC120,CFCD,且CFDE,AD2DCDE2CF.(1)求证:BF平面 ADE.(2)若 AD2,求该几何体的各个面的面积的平方和第22页解:(1)证明:取 DE 的中点 H,连接 AH,HF.因为四边形 CDEF 为直角梯形,第23页DE2CF,H 是 DE 的中点,所以 HFDC,且 HFDC.因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 ABDC,且 ABDC;所以 ABHF,且 ABHF,所以四边形 ABFH 是平行四边形,所以 BFAH.因为 AH平面 ADE,BF平面 ADE,所以 BF平面 ADE.第24页(2)因为在BCD 中,BC2DC,所以BDC90,
10、所以 S 四边形 ABCD212BDAB212 31 3,SADE12222,SBCF12211.因为 DEBD,且 DE2,BD 3,所以 BE 7,又 AE2 2,AB1,所以 AE2AB2BE2,即EBA90,所以 SABE121 7 72.第25页所以 SBEF12 5 2 102.S 梯形 CDEF12(DECF)CD123132.所以该几何体的各个面的面积的平方和为(3)222123227221022292.第26页12(2019广东广州天河二模)如图,已知等边ABC 中,E,F 分别为 AB,AC 边的中点,M 为 EF 的中点,N 为 BC 边上一点,且 CN14BC,将AEF
11、 沿 EF 折到AEF 的位置,使平面 AEF平面 EFCB.(1)求证:平面 AMN平面 ABF;(2)求二面角 E-AF-B 的余弦值第27页解:(1)证明:因为 E,F 分别为等边ABC 中 AB,AC 边的中点,所以 EFBC,AEF 为等边三角形,所以折叠后,AEF 也是等边三角形,且 EFBC.因为 M 是 EF 的中点,所以 AMEF.又平面 AEF平面 EFCB,AM平面AEF,所以 AM平面 EFCB,又 BF平面 EFCB,所以AMBF.因为 CN14BC,EFBC 且 EF12BC,M 为 EF的中点,所以 MFCN,MFCN,则四边形 MFCN 是平行四边形,所以 MN
12、CF.第28页在正ABC 中,知 BFCF,所以 BFMN.而 AMMNM,所以 BF平面 AMN.又因为 BF平面 ABF,所以平面 AMN平面 ABF.(2)设等边ABC 的边长为 4,取 BC 的中点 G,连接 MG,由题设知 MGBC,由(1)知 AM平面 EFCB,又 MG平面 EFCB,所以 AMMG,如图建立空间直角坐标系 M-xyz,则 F(1,0,0),A(0,0,3),B(2,3,0),第29页FA(1,0,3),FB(3,3,0)设平面 ABF 的法向量为 n(x,y,z),则nFA x 3z0,nFB3x 3y0,令 z1,则 n(3,3,1)易知平面 AEF 的一个法
13、向量为 m(0,1,0),第30页所以 cosn,m nm|n|m|31 3913 1313,显然二面角 E-AF-B 是锐二面角,所以二面角 E-AF-B 的余弦值为3 1313.第31页13(2019郑州市质量预测)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面为等腰直角三角形,ABAC,点 M,N 分别是边 AB1,A1C 上的动点,若直线 MN平面 BCC1B1,Q 为线段 MN 的中点,则点 Q 的轨迹为()A双曲线的一支(一部分)B圆弧(一部分)C线段(去掉一个端点)D抛物线的一部分C第32页解析:如图,分别取 AA1,B1C 的中点 E,F,任意作一个与平面 BCC1B1 平行的平面
14、 与 AB1,A1C 分别交于 M,N,则 MN平面 BCC1B1.由题意知ABC 为等腰直角三角形,ABAC,则侧面 AA1B1B 与侧面 AA1C1C 是两个全等的矩形,且这两个侧面关于过棱 AA1 与平面 BCC1B1 垂直的平面是对称的,因此 EF 必过 MN 的中点 Q,故点 Q 的轨迹为线段 EF,但需去掉端点 F,故选 C.第33页14 (2019 重 庆 市 七 校 联 考)如 图,在 正 方 体ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在线段 BC1 上运动,有下列判断:第34页平面 PB1D平面 ACD1;A1P平面 ACD1;异面直线 A1P 与 AD1 所成角的取值范围是
15、(0,3;三棱锥 D1-APC 的体积不变其中,正确的是.(把所有正确判断的序号都填上)第35页解析:在正方体中,B1D平面 ACD1,B1D平面 PB1D,所以平面 PB1D平面 ACD1,所以正确;连接 A1B,A1C1,如图,容易证明平面 A1BC1平面 ACD1,又 A1P平面 A1BC1,所以 A1P平面 ACD1,所以正确;因为 BC1AD1,所以异面直线 A1P 与 AD1 所成的角就是直线 A1P 与 BC1 所成的角,在A1BC1 中,易知所求角的范围是3,2,所以错误;VD1-APCVC-AD1P,因为点 C 到平面 AD1P 的距离不变,且AD1P 的面积不变,所以三棱锥
16、 D1-APC 的体积不变,所以正确第36页第37页15如图所示,梯形 ABCD 所在的平面与等腰梯形 ABEF所在的平面互相垂直,ABCDEF,ABAD,CDDAAFFE2,AB4.(1)求证:DF平面 BCE;(2)线段 CE 上是否存在点 G,使得 AG平面 BCF?请说明理由第38页解:(1)证明:在平面 ABEF 内,过 A 作 AzAB.因为平面 ABCD平面 ABEF,平面 ABCD平面 ABEFAB,又 Az平面 ABEF,AzAB,所以 Az平面 ABCD,所以 ADAB,ADAz,AzAB.第39页如图所示,以 A 为坐标原点,AD,AB,Az 所在直线分别为 x 轴、y
17、轴、z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz.由题意得,A(0,0,0),B(0,4,0),C(2,2,0),D(2,0,0),E(0,3,3),F(0,1,3)所以BC(2,2,0),BE(0,1,3),DF(2,1,3)设平面 BCE 的法向量为 u(x0,y0,z0),则uBC0,uBE0,即2x02y00,y0 3z00.第40页取 y01,则 u(1,1,33)为平面 BCE 的一个法向量所以DF u(2)111 3 33 0,所以DF u.因为 DF平面 BCE,所以 DF平面 BCE.第41页(2)线段 CE 上不存在点 G,使得 AG平面 BCF,理由如下连接 AC,AE,如图所示
18、由(1)知AC(2,2,0),AE(0,3,3),BC(2,2,0),BF(0,3,3)设平面 BCF 的法向量为 n(x,y,z),则nBC0,nBF0,即2x2y0,3y 3z0.第42页令 y1,则 x1,z 3,所以 n(1,1,3)为平面 BCF的一个法向量方法 1:设平面 ACE 的法向量为 m(x1,y1,z1),则mAC0,mAE0,即2x12y10,3y1 3z10.令 y11,则 x11,z1 3,所以 m(1,1,3)为平面 ACE 的一个法向量因为 mn0,所以平面 ACE 与平面 BCF 不可能垂直,所以线段 CE 上不存在点 G,使得 AG平面 BCF.第43页方法 2:假设线段 CE 上存在点 G,使得 AG平面 BCF,设CG CE,其中 0,1设 G(x2,y2,z2),则有(x22,y22,z2)(2,3),所以 x222,y22,z2 3,从而 G(22,2,3),所以AG(22,2,3)因为 AG平面 BCF,所以AG n.所以有22121 33,无解,所以假设不成立所以线段 CE 上不存在点 G,使得 AG平面 BCF.