1、第1页专项检测十 空间中的平行与垂直第2页一、选择题1已知直线 a 与直线 b 平行，直线 a 与平面 平行，则直线 b 与 的关系为()A平行B相交C直线 b 在平面 内D平行或直线 b 在平面 内D第3页解析：依题意，直线 a 必与平面 内的某直线平行，又 ab，因此直线 b 与平面 的位置关系是平行或直线 b 在平面 内第4页2已知 E，F，G，H 是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线 EF 和 GH 不相交，则甲是乙成立的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件B第5页解析：若 E，F，G，H 四点不共面，则直线 EF 和 GH 肯定不
2、相交，但直线 EF 和 GH 不相交，E，F，G，H 四点可以共面，例如 EFGH，故甲是乙成立的充分不必要条件第6页3设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则()A若 mn，n，则 mB若 m，则 mC若 m，n，n，则 mD若 mn，n，则 mC第7页解析：对 A，若 mn，n，则 m 或 m 或 m，错误；对 B，若 m，则 m 或 m 或 m，错误；对 C，若 m，n，n，则 m，正确；对 D，若mn，n，则 m 或 m 或 m，错误故选C.第8页4(2019合肥市一模)平面 外有两条直线 a，b，它们在平面 内的投影分别是直线 m，n，则下列命题正确的是()A若 ab，则
3、mnB若 mn，则 abC若 mn，则 abD若 m 与 n 相交，则 a 与 b 相交或异面D第9页解析：对于选项 A，当直线 a，b 相交，且所在平面与平面 垂直时，直线 m，n 重合，故 A 不正确；对于选项 B，不妨在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中考虑，取面对角线 AB1，AD1，其所在直线分别记为 a，b，其在平面 ABCD 上的投影分别为AB，AD，记为 m，n，此时 mn，但 a 与 b 不垂直，故 B 不正确；对于选项 C，不妨在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中考虑，取面对角线 AB1，CD1，其所在直线分别记为 a，b，其在平面ABCD 上的投影分别为 AB，C
4、D，记为 m，n，此时 mn，但a 与 b 不平行，故 C 不正确；对于选项 D，若 m 与 n 相交，则 a 与 b 不可能平行，只能是相交或异面，故 D 正确，选 D.第10页5如图，在三棱锥 P-ABC 中，不能证明 APBC 的条件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面 BPC平面 APC，BCPCDAP平面 PBCB第11页解析：A 中，因为 APPB，APPC，PBPCP，所以 AP平面 PBC.又 BC平面 PBC，所以 APBC，故 A 正确；C 中，因为平面 BPC平面 APC，BCPC，所以 BC平面 APC.又 AP平面 APC，所以 APBC，故 C 正确
5、；D 中，由 A 知 D 正确；B 中条件不能判断出 APBC，故选 B.第12页6(2019成都市诊断性检测)在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1 中，已知 M 是棱 BB1 的中点，N 是棱 AC 的中点，则异面直线 A1M 与 BN 所成角的正切值为()A.3B1C.63D.22C第13页解析：如图，取 AA1 的中点 P，连接 PN，PB，则由直三棱柱的性质可知 A1MPB，则PBN 为异面直线 A1M 与 BN所成的角(或其补角)设三棱柱的棱长为 2，则 PN 2，PB 5，BN 3，所以 PN2BN2PB2，所以PNB90，在RtPBN 中，tanPBNPNBN 23 63
6、，故选 C.第14页7如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PAB 与PBC 是正三角形，平面 PAB平面 PBC，ACBD，则下列结论不一定成立的是()APBACBPD平面 ABCDCACPDD平面 PBD平面 ABCDB第15页解析：取 BP 的中点 O，连接 OA，OC，则 BPOA，BPOC，又因为 OAOCO，所以 BP平面 OAC，所以 BPAC，故选项 A 正确；又 ACBD，BPBDB，得 AC平面 BDP，又 PD平面 BDP，所以 ACPD，平面 PBD平面ABCD，故选项 C，D 正确，故选 B.第16页二、填空题8如图，DC平面 ABC，EBDC，EB2DC，P，Q分别为
7、AE，AB 的中点则直线 DP 与平面 ABC 的位置关系是平行第17页第18页9(2019新课标全国卷)已知ACB90，P 为平面 ABC外一点，PC2，点 P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为 3，那么 P 到平面 ABC 的距离为.2第19页解析：如图，过点 P 分别作 PEBC 交 BC 于点 E，作PFAC 交 AC 于点 F.由题意知 PEPF 3.过 P 作 PH平面 ABC 于点 H，连接 HE，HF，HC，易知 HEHF，则点 H在ACB 的平分线上，又ACB90，故CEH 为等腰直角三角形在 RtPCE 中，PC2，PE 3，则 CE1，故 CH 2，在 RtPCH
8、中，可得 PH 2，即点 P 到平面 ABC 的距离为 2.第20页10(2019重庆市调研抽测)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 在线段 A1B 上运动，则异面直线 DP 与 CB1 所成角的取值范围是(0，3解析：由题意，在正方体中，连接 DA1，DB，则 CB1DA1，所以A1DP 为异面直线 DP 与 CB1 所成的角，点 P 与 B 重合时，A1DP 最大，且最大为3，当点 P 与 A1 无限接近时，A1DP 趋近于零，故异面直线 DP 与 CB1 所成角的取值范围是(0，3第21页三、解答题11如图，平面 CDEF平面 ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形，CD
9、EF 为直角梯形，ADC120，CFCD，且CFDE，AD2DCDE2CF.(1)求证：BF平面 ADE.(2)若 AD2，求该几何体的各个面的面积的平方和第22页解：(1)证明：取 DE 的中点 H，连接 AH，HF.因为四边形 CDEF 为直角梯形，第23页DE2CF，H 是 DE 的中点，所以 HFDC，且 HFDC.因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ABDC，且 ABDC；所以 ABHF，且 ABHF，所以四边形 ABFH 是平行四边形，所以 BFAH.因为 AH平面 ADE，BF平面 ADE，所以 BF平面 ADE.第24页(2)因为在BCD 中，BC2DC，所以BDC90，
10、所以 S 四边形 ABCD212BDAB212 31 3，SADE12222，SBCF12211.因为 DEBD，且 DE2，BD 3，所以 BE 7，又 AE2 2，AB1，所以 AE2AB2BE2，即EBA90，所以 SABE121 7 72.第25页所以 SBEF12 5 2 102.S 梯形 CDEF12(DECF)CD123132.所以该几何体的各个面的面积的平方和为(3)222123227221022292.第26页12(2019广东广州天河二模)如图，已知等边ABC 中，E，F 分别为 AB，AC 边的中点，M 为 EF 的中点，N 为 BC 边上一点，且 CN14BC，将AEF
11、 沿 EF 折到AEF 的位置，使平面 AEF平面 EFCB.(1)求证：平面 AMN平面 ABF；(2)求二面角 E-AF-B 的余弦值第27页解：(1)证明：因为 E，F 分别为等边ABC 中 AB，AC 边的中点，所以 EFBC，AEF 为等边三角形，所以折叠后，AEF 也是等边三角形，且 EFBC.因为 M 是 EF 的中点，所以 AMEF.又平面 AEF平面 EFCB，AM平面AEF，所以 AM平面 EFCB，又 BF平面 EFCB，所以AMBF.因为 CN14BC，EFBC 且 EF12BC，M 为 EF的中点，所以 MFCN，MFCN，则四边形 MFCN 是平行四边形，所以 MN
12、CF.第28页在正ABC 中，知 BFCF，所以 BFMN.而 AMMNM，所以 BF平面 AMN.又因为 BF平面 ABF，所以平面 AMN平面 ABF.(2)设等边ABC 的边长为 4，取 BC 的中点 G，连接 MG，由题设知 MGBC，由(1)知 AM平面 EFCB，又 MG平面 EFCB，所以 AMMG，如图建立空间直角坐标系 M-xyz，则 F(1,0,0)，A(0,0，3)，B(2，3，0)，第29页FA(1,0，3)，FB(3，3，0)设平面 ABF 的法向量为 n(x，y，z)，则nFA x 3z0，nFB3x 3y0，令 z1，则 n(3，3,1)易知平面 AEF 的一个法
13、向量为 m(0,1,0)，第30页所以 cosn，m nm|n|m|31 3913 1313，显然二面角 E-AF-B 是锐二面角，所以二面角 E-AF-B 的余弦值为3 1313.第31页13(2019郑州市质量预测)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面为等腰直角三角形，ABAC，点 M，N 分别是边 AB1，A1C 上的动点，若直线 MN平面 BCC1B1，Q 为线段 MN 的中点，则点 Q 的轨迹为()A双曲线的一支(一部分)B圆弧(一部分)C线段(去掉一个端点)D抛物线的一部分C第32页解析：如图，分别取 AA1，B1C 的中点 E，F，任意作一个与平面 BCC1B1 平行的平面
14、 与 AB1，A1C 分别交于 M，N，则 MN平面 BCC1B1.由题意知ABC 为等腰直角三角形，ABAC，则侧面 AA1B1B 与侧面 AA1C1C 是两个全等的矩形，且这两个侧面关于过棱 AA1 与平面 BCC1B1 垂直的平面是对称的，因此 EF 必过 MN 的中点 Q，故点 Q 的轨迹为线段 EF，但需去掉端点 F，故选 C.第33页14 (2019 重 庆 市 七 校 联 考)如 图，在 正 方 体ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 在线段 BC1 上运动，有下列判断：第34页平面 PB1D平面 ACD1；A1P平面 ACD1；异面直线 A1P 与 AD1 所成角的取值范围是
15、(0，3；三棱锥 D1-APC 的体积不变其中，正确的是.(把所有正确判断的序号都填上)第35页解析：在正方体中，B1D平面 ACD1，B1D平面 PB1D，所以平面 PB1D平面 ACD1，所以正确；连接 A1B，A1C1，如图，容易证明平面 A1BC1平面 ACD1，又 A1P平面 A1BC1，所以 A1P平面 ACD1，所以正确；因为 BC1AD1，所以异面直线 A1P 与 AD1 所成的角就是直线 A1P 与 BC1 所成的角，在A1BC1 中，易知所求角的范围是3，2，所以错误；VD1-APCVC-AD1P，因为点 C 到平面 AD1P 的距离不变，且AD1P 的面积不变，所以三棱锥
16、 D1-APC 的体积不变，所以正确第36页第37页15如图所示，梯形 ABCD 所在的平面与等腰梯形 ABEF所在的平面互相垂直，ABCDEF，ABAD，CDDAAFFE2，AB4.(1)求证：DF平面 BCE；(2)线段 CE 上是否存在点 G，使得 AG平面 BCF？请说明理由第38页解：(1)证明：在平面 ABEF 内，过 A 作 AzAB.因为平面 ABCD平面 ABEF，平面 ABCD平面 ABEFAB，又 Az平面 ABEF，AzAB，所以 Az平面 ABCD，所以 ADAB，ADAz，AzAB.第39页如图所示，以 A 为坐标原点，AD，AB，Az 所在直线分别为 x 轴、y
17、轴、z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz.由题意得，A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(2,2,0)，D(2,0,0)，E(0,3，3)，F(0,1，3)所以BC(2，2,0)，BE(0，1，3)，DF(2,1，3)设平面 BCE 的法向量为 u(x0，y0，z0)，则uBC0，uBE0，即2x02y00，y0 3z00.第40页取 y01，则 u(1,1，33)为平面 BCE 的一个法向量所以DF u(2)111 3 33 0，所以DF u.因为 DF平面 BCE，所以 DF平面 BCE.第41页(2)线段 CE 上不存在点 G，使得 AG平面 BCF，理由如下连接 AC，AE，如图所示
18、由(1)知AC(2,2,0)，AE(0,3，3)，BC(2，2,0)，BF(0，3，3)设平面 BCF 的法向量为 n(x，y，z)，则nBC0，nBF0，即2x2y0，3y 3z0.第42页令 y1，则 x1，z 3，所以 n(1,1，3)为平面 BCF的一个法向量方法 1：设平面 ACE 的法向量为 m(x1，y1，z1)，则mAC0，mAE0，即2x12y10，3y1 3z10.令 y11，则 x11，z1 3，所以 m(1,1，3)为平面 ACE 的一个法向量因为 mn0，所以平面 ACE 与平面 BCF 不可能垂直，所以线段 CE 上不存在点 G，使得 AG平面 BCF.第43页方法 2：假设线段 CE 上存在点 G，使得 AG平面 BCF，设CG CE，其中 0,1设 G(x2，y2，z2)，则有(x22，y22，z2)(2，3)，所以 x222，y22，z2 3，从而 G(22，2，3)，所以AG(22，2，3)因为 AG平面 BCF，所以AG n.所以有22121 33，无解，所以假设不成立所以线段 CE 上不存在点 G，使得 AG平面 BCF.