1、六等差数列习题课 (20分钟35分)1.为了参加5 000 m长跑比赛,李强给自己制订了10天的训练计划;第1天跑5 000 m,以后每天比前一天多跑400 m,李强10天一共跑的路程是()A.60 000 mB.64 000 mC.68 000 mD.72 000 m【解析】选C.将李强每一天跑的路程记为数列an,由题意知,an是等差数列,则a1=5 000 m,公差d=400 m.所以S10=10a1+d=105 000+45400=68 000(m),故李强10天一共跑了68 000 m.2.已知数列an的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5ak8,则k等于()A.9B.8C.7D.6
2、【解析】选B.由an=所以an=2n-10.由52k-108,得7.5k9,由于kN+,所以k=8.3.1002-992+982-972+22-12的值是()A.5 000B.5 050C.10 100D.20 200【解析】选B.对相邻两项由平方差公式得,原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5 050.4.设数列an的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|=()A.139B.153C.144D.178【解析】选B.Sn=n(n-6).因为an0时,n.所以|a1|+|a2|+|a15|=-a1-a2-a3+a4+a5+a15=S15-2S3=15
3、9-23(-3)=153.5.2020年3月美国某市突发新冠肺炎疫情期间,根据CDC的记录,3月12日该市新冠肺炎感染者有2万人,此后每天的新感染者平均比上一天的新感染者增加5 000人,那么到3月18日该市新冠肺炎感染者共有人.【解析】由题意可知,从3月12日到3月18日该市每天新感染者组成一个以2万为首项,5 000为公差的等差数列.所以到3月18日纽约市新感染者共有720 000+765 000=245 000.答案:245 0006.等差数列an中,a1=1,an,an+1是方程x2-(2n+1)x+=0的两个根,求数列bn的前n项和Sn.【解析】因为an,an+1是方程x2-(2n+
4、1)x+=0的两个根,所以an+an+1=2n+1,又因为数列an为等差数列,所以an+an+1=a1+a2n=1+a2n=2n+1,所以a2n=2n,所以an=n.anan+1=n(n+1)=,所以bn=-,所以数列bn的前n项和Sn=1-+-+-=1-=. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.+=()A.B.C.D.【解析】选C.原式=1-+-+-+-+-=.2.在数列中, a2=8, a5=2,且2an+1-an+2=an(nN+),则+的值是()A.-10B.10C.50D.70【解析】选C.由2an+1-an+2=an得2an+1=an+2+an,即数列是等差数列
5、,由 a2=8, a5=2得a1=10,d=-2,所以an=-2n+12,当1n6时,an0,当n7时an0,公差d0,a10S210,a110,从而得到Sn最大时n的值为10.【解析】选B.由题意可得S21=21a1+d=21=21a11,因为a10S210,所以a10a110,公差d0,a110,则2n-50,所以n3.所以|a1|+|a2|+|a10|=1+1+a3+a10=2+(S10-S2)=2+(102-410+2)-(22-42+2)=66.【误区警示】本题由于不注意an=-1容易当成等差数列的绝对值求和.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知数列an:,+,+,+,bn=,
6、则数列bn的前n项的和为.【解析】因为an=,所以bn=4.所以Sn=4=4.答案:47.若等差数列an的前n项和为Sn=An2+Bn,则该数列的公差为.【解析】数列an的前n项和为Sn=An2+Bn,所以当n2时,an=Sn-=An2+Bn-A(n-1)2-B(n-1)=2An+B-A,当n=1时也满足,所以d=2A.答案:2A8.(2020江门高二检测)已知无穷项等差数列an中,它的前n项和为Sn,且S7S6,S7S8,若数列中bn=,数列的和为Tn,则下列命题正确的是.bn中b7最大; an中a3或a4最大;当n8时anS6知a70,由S7S8知a80,故d0,所以当n8时an0,所以T
7、3T11,所以错误.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020大庆高一检测)已知数列的各项为正数的递增数列,其前n项和Sn满足Sn=,设bn=10-an.(1)求证:数列是等差数列,并求的通项公式;(2)设数列的前n项和为Tn,求Tn的最大值.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=, 所以a1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=-,即-2an-2an-1=0,所以-2an+1=+2an-1+1,所以=,所以an-1=an-1+1,所以an-an-1=2,所以是等差数列,an=2n-1.(2)bn=10-an=-2n+11,b1=9,因为bn-bn-1=-2,所以是等差数列,所以
8、Tn=-n2+10n,当n=5时,Tnmax=-52+105=25.10.一支车队有15辆车,某天依次出发执行任务.第1辆车于下午2时出发,第2辆车于下午2时10分出发,第3辆车于下午2时20分出发,以此类推.假设所有的司机都连续开车,并且都在下午6时停下休息.(1)到下午6时,最后一辆车行驶了多长时间?(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h,这支车队当天一共行驶了多少路程?【解析】由题意,知第1辆车休息时行驶了240 min,各辆车行驶的时间构成一个等差数列an,其中a1=240,公差d=-10,则an=240-10(n-1)=-10n+250.(1)因为a15=-1015+250=1
9、00,所以到下午6时,最后一辆车行驶了100 min.(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为15=2 550(min)=(h),所以这支车队当天一共行驶的路程为60=2 550(km).1.已知直线x+2y+=0与直线x-dy+11=0互相平行且距离为m.等差数列an的公差为d,且a7a8=35,a4+a100,令Sn=|a1|+|a2|+|a3|+|an|,则Sm的值为()A. 60B. 52C. 44D. 36【解析】选B.由两直线平行得d=-2,由两平行直线间距离公式得m=10,因为a7(a7-2)=35得a7=-5或a7=7.因为a4+a10=2a70,所以a7=-5,所以an=-2n+
10、9,所以Sm=|a1|+|a2|+|a3|+|a10|=|7|+|5|+|3|+|1|+|-1|+|-3|+|-5|+|-7|+|-9|+|-11|=52.所以选B.2.Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=lg an,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,lg 99=1.(1)求b1,b11,b101.(2)求数列bn的前1 000项和.【解析】(1)设an的公差为d,根据已知有7+21d=28,解得d=1,所以an的通项公式为an=n.b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.(2)因为bn=所以数列bn的前1 000项和为190+2900+31=1 893.
