1、2.4向量的数量积第1课时数量积的定义学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念(易错点)2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义(重点)3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题(难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.一、向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos 叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.思考1：两个向量的数量积是向量吗？提示两个向量的数量积是一个数量，而不是向量思考2：数量积的大小
2、和符号与哪些量有关？提示数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定二、两个向量的夹角1定义：已知两个非零向量a，b，如图所示作a，b，则AOB称为向量a与b的夹角2范围：0180.3当0时，a与b同向；当180时，a与b反向4当90时，则称向量a与b垂直，记作ab.思考3：把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？提示角三、向量的数量积的运算律及性质1向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数.(1)abba；(2)(a)ba(b)(ab)ab；(3)(ab)cacbc.2数量积的性质：(1)aa|a|2或|a|；(2)|ab|a|b|；(3)ab
3、ab0.3数量积的几何意义：ab的几何意义是数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积思考4：向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？提示向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量思考5：向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗？提示不一定相同1已知|a|3，|b|6，则(1)若a与b夹角为0，则ab_；(2)若a与b的夹角为60，则ab_；(3)若a与b的夹角为90，则ab_.(1)18(2)9(3)0(1)ab|a|b|cos 0|a|b|18.(2)ab|a|b|cos 60369.(3)ab|a|b|cos 903600.2试指
4、出图中向量的夹角，图中向量与的夹角_；图中向量与的夹角_；图中向量与的夹角_；图中向量与的夹角_答案01803已知|a|3，|b|5，a与b的夹角为45，则a在b上的投影为_；b与a上的投影为_a在b上的投影为|a|cos 453；b在a上的投影为|b|cos 455.向量数量积的运算及几何意义【例1】已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)(2ab)(a3b)思路点拨：借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)解(1)ab|a|b|cos 120233.(2)a2b2|a|2|b|2495.(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|2
5、5|a|b|cos 1203|b|28152734.1求平面向量数量积的步骤：求a与b的夹角，0，；分别求|a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos .要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“”连结，而不能用“”连结，也不能省去2较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简1已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).解(1)与的夹角为60，|cos 6011.(2)与的夹角为120，|cos 12011.(3)与的夹角为60，|cos 6011.求向量的模【例2】已知向量a，b，AOB60，且|a|b|4.求|ab|，|ab|，|3ab|.思路点拨：
6、根据已知条件将向量的模利用|a|转化为数量积的运算求解解ab|a|b|cosAOB448，|ab|4，|ab|4，|3ab|4.1求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2|a|2，勿忘记开方2一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等2已知向量a与b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.因为|2ab|，所以(2ab)210，所以4a24abb210，又因为向量a与b的夹角为45，且|a|1，所以4|a|24|a|b|cos 45|b|210，故41241|b|b|210，整理得|b|22|b|60，解得|b|或|b|3(舍去)，
7、故|b|.求向量的夹角【例3】已知a，b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角思路点拨：解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而得到a，b之间的关系，再由cos 求得夹角解由已知，得(a3b)(7a5b)0，即7a216ab15b20，(a4b)(7a2b)0，即7a230ab8b20，两式相减，得2abb2，abb2，代入中任一式，得a2b2，设a，b的夹角为，则cos ，0180，60.1求向量a，b夹角的流程图：2若两非零向量a，b的夹角为锐角ab0且ab|a|b|；两非零向量a，b的夹角为钝角ab0且ab|a|b|.提醒：求两向量的夹角时，
8、要注意0，3已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2，be22e1的夹角.解e1，e2为单位向量且夹角为60，e1e211cos 60.ab(e1e2)(e22e1)2e1e2121，|a|，|b|，cos .又0，180，120.数量积的几何意义探究问题1设非零向量a，b，试用数量积“ab”及|a|，|b|表示a在b上的投影提示：a在b上的投影为|a|cos ，又cos ，|a|cos .2数量积ab|a|b|cos 的几何意义是什么？提示：数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|cos 的乘积已知ab9，a在b方向上的
9、投影为3，b在a方向上的投影为，求a与b的夹角.思路点拨：分别列出a在b方向上的投影和b在a方向上的投影，解方程组便可解由题意可知|a|6，|b|3，cos ，又0，.1(变结论)若本例中条件不变，求|2ab|.解由本例解答可知|a|6，|b|3，|2ab|.2(变条件)已知ab9，a为单位向量，a在b方向上的投影为，求a与b的夹角.解由题意可知|a|cos ，|b|18，cos .又0，.1投影是个数量，可正、可负、可为零2计算投影时要分清“谁是投影线”，即a在b上的投影为|a|cos ；b在a上的投影为|b|cos .教师独具1本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量的夹角和向量数
10、量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义2要掌握与数量积相关的三个问题(1)数量积的计算(2)向量的模的计算(3)向量的夹角及垂直问题3要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从ab0推出a0或b0.实际上由ab0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.(2)在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立这是因为|ab|a|b|cos |，而|cos |1.(3)实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba.在
11、向量数量积的运算中，若abac(a0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由abac(a0)不能得到bc.(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线1下面给出的关系式中不正确的是()A0a0Ba2|a|2Cab|a|b|D(ab)2a2b2D(ab)2a2b2cos2.2(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A.B.C.D.答案B3已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在b方向上的投影为_|a|cos .4已知非零向量a，b，满足|a|1，(ab)(ab)，且ab.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|ab|.解(1)(ab)(ab)，a2b2，即|a|2|b|2.又|a|1，|b|.ab，|a|b|cos ，cos ，向量a，b的夹角为45.(2)|ab|2(ab)2|a|22|a|b|cos |b|2，|ab|.
