1、2.1求解二元一次方程组（教案）教学目标知识与技能：会用代入消元法解二元一次方程组.过程与方法：培养学生独立思考问题的能力,同时能对复杂的问题有计划、有步骤地处理.情感态度与价值观：在探索新知的过程中,体会数学的趣味性,进而养成善于思考、勤于钻研的好习惯.教学重难点【重点】用代入消元法解二元一次方程组的基本步骤.【难点】在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.教学准备【教师准备】预想学生学习中可能遇到的问题.【学生准备】复习二元一次方程组的相关概念.教学过程一、导入新课导入一:上节课我们讨论了老牛和小马驮的包裹谁的多的问题,经过大家的共同努力,得出了二元一次方程组x-y=2,
2、x+1=2(y-1).到底谁的包裹多呢?这就需要解这个二元一次方程组.一元一次方程我们会解,二元一次方程组如何解呢?(课件展示问题)处理方式小组展开讨论,完成自主学习.设计意图通过提出这个实际问题,得出解方程组的必要性.充分调动学生的积极性,发挥团结合作,激发学生学习兴趣.导入二:大家都喜欢吃水果,老师这里也买了一些苹果和梨,请大家帮老师算算水果的质量(课件展示):市场上1斤苹果售价3元,1斤梨售价2元,老师买了苹果x斤,梨y斤,共用了18元钱,则苹果和梨之间的等量关系是什么?处理方式学生畅所欲言,在表达自己的想法的过程中发现无法得出确切的水果质量.生1:苹果的总价+梨的总价=18元.生2:我
3、可以列方程为3x+2y=18.师:那老师增加一个条件,如果买了苹果4斤,你又能列出什么样的关系式?生:可以列方程组为x=4,3x+2y=18.师:你能求出具体的质量了吗?生:可以,把x=4代入到第二个方程中,即可求出未知数y的值,也就可以得出苹果及梨的具体质量.设计意图通过解决相关题目使学生感受要想求出两个未知数的值,必须先知道其中一个未知数的值.这样设计为下面用代入消元法解二元一次方程组打下基础:即消去一个未知数,转化为一元一次方程去解.同时情境的创设贴合实际,可以激发学生的求知欲.二、 新知构建过渡语我们怎样解二元一次方程组呢?(1)、解二元一次方程组思路一问题1:在老牛和小马的问题中,二
4、元一次方程组是怎样变成一元一次方程的?问题2:在这个变化的过程中未知数的个数发生了怎样的变化?问题3:求出一个未知数的值后,第二个未知数的值可如何求出?【学生活动】学生独立完成.小组交流上面三个问题.二元一次方程组有两个未知数,如果消去其中的一个未知数,就可以将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程,就可以求解了,那么我们究竟怎么转化呢?我们发现由方程x-y=2可以得到y=x-2,把它代入到方程x+1=2(y-1)中,将方程x+1=2(y-1)中的y换为x-2,这个方程就化为一元一次方程了.这样便将我们不会解的方程组转化为我们会解的方程了.设计意图通过自学老牛和小马的问题,锻炼学生的自学能
5、力,让学生经历利用代入消元法将方程组转化为方程的过程.展示交流解题方法:解:x-y=2,x+1=2(y-1).(为了书写方便,先标上序号)由得y=x-2.(变形,用含x的代数式表示y)将代入得x+1=2(x-2-1),(将二元一次方程转化为一元一次方程)解得x=7.(解一元一次方程,求出x的值)把x=7代入,得y=5.(再代入求y的值)所以原方程组的解为x=7,y=5.(总结,写出方程组的解)所以老牛驮了7个包裹,小马驮了5个包裹.设计意图运用数学中“化未知为已知”的化归思想,使问题得到解决,培养学生的自主探索意识、合作交流的精神,启发学生并跟学生一起探讨“化未知为已知”的方法,这样进行教学既
6、能及时发现学生的闪光点,又能培养学生良好的合作关系,提高学生的学习兴趣.师:在解上面的二元一次方程组时,我们是将其中的一个方程变形,即用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数,然后代入第二个未变形的方程中,从而由“二元”转化为“一元”而达到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.这种解二元一次方程组的思想为消元思想.思路二代入法的基本思路是:通过“代入”达到“消元”(即消去一个未知数)的目的,从而将解二元一次方程组转化为解一元一次方程.代入法的一般步骤:下面以方程组2x-y=5,3x+4y=2为例,具体说明如下:第一步:由方程得到y=2x-5;第二步:将y=2x-5代入中,得到3x+4(2x-
7、5)=2;第三步:由3x+4(2x-5)=2,解得x=2;第四步:将x=2代入y=2x-5,求得y=-1,得到原方程组的解为x=2,y=-1.由上例可总结出代入法的一般步骤为:(1)选择较简单的方程,用其中一个未知数表示另一个未知数,写成x=或y=的形式.(2)代入:将(1)中x=或y=代入另一个方程中,消去一个未知数.(3)求其中一个未知数的值:解(2)中的一元一次方程,求出一个未知数的值.(4)求另一个未知数的值:将求出的一个未知数的值代入方程组中的任一方程,可求出另一个未知数的值,也可代入(1)中得到的x=或y=中.(5)写出方程组的解.这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法.设计
8、意图通过探究,使学生初步感知用代入法解二元一次方程组的基本思路,为下面例题的解答奠定良好的基础.(2)、例题讲解解方程组3x+2y=14,x=y+3.解:将代入,得3(y+3)+2y=14,3y+9+2y=14,5y=5,y=1.将y=1代入得x=4.所以原方程组的解是x=4,y=1.【思考】(1)将y=x-3代入可以吗?(2)还有其他的代入方法吗?(3)在代入的过程中要注意什么?解方程组2x+3y=16,x+4y=13.解:由得x=13-4y,将代入,得2(13-4y)+3y=16,26-8y+3y=16,-5y=-10,y=2.将y=2代入得x=5.所以原方程组的解是x=5,y=2.【教师
9、总结】上面解方程组的基本思路是“消元”把“二元”变为“一元”.主要步骤是:将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来;将这个代数式代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程;解这个一元一次方程;把求得的一次方程的解代入方程组中的任一方程,求得另一个未知数的值,组成方程组的解,这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法.知识拓展当二元一次方程组中的系数或未知数的关系较为复杂时,可先将方程组整理成二元一次方程组的标准形式a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2.这里a1,b1,c1,a2,b2,c2是整数,x,y是未知数,例如:解方程组x-14-2
10、y+3=0,3-x3=y+36时,应先经过去分母、移项、合并同类项等步骤,将方程组变为x-8y=-11,2x+y=15.三、课堂总结四、课堂练习1.解方程组的代入消元法是指把一个二元一次方程中的用含有的代数式表示出来,并另一个方程中,从而消去一个未知数,化为.答案:某个未知数另一个未知数代入一元一次方程2.用代入法解方程组3x+4y=2,2x-y=5,使得代入后消元较容易变形的是()A.由得x=2-4y3B.由得y=2-3x4C.由得x=y+52D.由得y=2x-5答案:D3.用代入消元法解方程组x+y=12,2x+3y=34.解:由得x=12-y,把代入得2(12-y)+3y=34,解得y=
11、10,把y=10代入得x=2,所以x=2,y=10.五、板书设计第1课时例1例2代入消元法六、布置作业(1)、教材作业【必做题】教材随堂练习.【选做题】教材习题5.2第2题.(2)、课后作业【基础巩固】1.(2019娄底中考)方程组x+y=1,2x-y=5的解是()A.x=-1,y=2B.x=-2,y=3 C.x=2,y=1 D.x=2,y=-12.已知x+3y-6=0,用含x的代数式表示y为.用含y的代数式表示x为.3.解方程组x-y=1,2x+y=2.【能力提升】4.四名同学解二元一次方程组3x-4y=5,x-2y=3,提出四种不同的解法,其中解法不正确的是()A.由得x=5+4y3,代入
12、 B.由得y=3x-54,代入C.由得y=-x-32,代入 D.由得x=3+2y,代入5.用代入法解方程组x+2y=7,4x-y=1,由得y=,把代入,得 ,解得x=,再把求得的x值代入,得y=.原方程组的解为.【拓展探究】6.已知关于x,y的方程组2x-3y=3,ax+by=-1和3x+2y=11,2ax+3by=3的解相同,求a,b的值.【答案与解析】1.D(解析:由得y=1-x,把代入得2x-(1-x)=5,解得x=2.把x=2代入得y=-1.所以原方程组的解是x=2,y=-1.)2.y=6-x3x=6-3y3.解:由得x=y+1,把代入,得2(y+1)+y=2,解得y=0.把y=0代入,得x=1.所以原方程组的解是x=1,y=0.4.C(解析:由得y=-3-x2.)5.4x-1x+2(4x-1)=713x=1,y=36.解:由题意可得方程组2x-3y=3,3x+2y=11,由得y=2x-33,将代入得x=3.将x=3代入得y=1.将x=3,y=1代入ax+by=-1,2ax+3by=3中,得3a+b=-1,6a+3b=3,解这个方程组,得a=-2,b=5.因此a,b的值分别是-2,5.
