1、第三章 圆一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项)1有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中假命题为()A B C D2如图3Z1，A，B，C三点都在O上，AOB80，则ACB的度数为()图3Z1A40 B60 C80 D1003如图3Z2，P是O外一点，PA，PB分别交O于点C，D，已知，的度数分别为88，32，则P的度数为()图3Z2A26 B28 C30 D324已知O的半径OA10 cm，弦AB16 cm，P为弦AB上的一个动点，则OP长的最小值为()A5 cm B6 cm
2、 C8 cm D10 cm5如图3Z3，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为()图3Z3A3 cm B4 cm C6 cm D8 cm6如图3Z4，O内切于ABC，切点分别为D，E，F，且B50，C60，那么EDF的度数为()图3Z4A40 B55 C65 D757.如图3Z5，在ABC中，BCA60，A45，AC2，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长的最小值是()图3Z5A3 B2 C2 D.8如图3Z6，PQR是O的内接正三角形，四边形ABCD是O的内接正方形，BCQR，则DOR的度数是()图3Z6
3、A60 B65 C72 D759把直尺、三角尺和圆形螺母按图3Z7所示放置于桌面上，CAB60，若量出AD6 cm，则圆形螺母的外直径是()图3Z7A12 cm B24 cm C6 cm D12 cm10如图3Z8，在锐角三角形ABC中，A60，ACB45，以BC为弦作O，交AC于点D，OD与BC交于点E，若AB与O相切，则下列结论：BOD90；DOAB；CDAD；BDEBCD；.其中正确的有()图3Z8A BC D请将选择题答案填入下表：题号12345678910总分答案第卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11如图3Z9，O是ABC的外接圆，AC是O的直
4、径，ODBC于点D，OD5，则AB的长是_图3Z912如图3Z10，在44的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将AOC绕点O顺时针旋转90得到BOD，则的长为_图3Z1013已知RtABC中，C90，AC3，BC，CDAB，垂足为D，以点D为圆心作D，使得点A在D外，且点B在D内设D的半径为r，则r的取值范围是_14如图3Z11，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是ABC的外心，则点C的坐标为_图3Z1115如图3Z12，P，Q分别是O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BPCQ，则POQ_
5、. 图3Z1216.如图3Z13，在AOB中，AOB90，AO16 cm，BO12 cm.动点C从点A出发，在边AO上以4 cm/s的速度向点O运动；与此同时，动点D从点B出发，在边BO上以3 cm/s的速度向点O运动过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了_s时，以点C为圆心、3 cm为半径的圆与直线EF相切图3Z13三、解答题(共52分)17(6分)已知：如图3Z14，PAC30，在射线AC上顺次截取AD3 cm，DB10 cm，以DB为直径作O交射线AP于E，F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长图3Z1418(6分)如图3Z15，线段AB与O相切于点C，连接OA，OB，OB交O于
6、点D，已知OAOB6，AB6.(1)求O的半径；(2)求图中阴影部分的面积图3Z1519(6分)如图3Z16，已知AB，AC为O的两条弦(1)用直尺(没有刻度)和圆规作出劣弧BC的中点D.(2)连接OD，则ODAC成立吗？若成立，请证明；若不成立，请添加一个适当的条件，使之成立，再证明图3Z1620(6分)已知：如图3Z17，在ABC中，ABAC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DEAC，垂足为E.求证：(1)ABC是等边三角形；(2)AECE.图3Z1721(6分)如图3Z18，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使BEDC.(1)判断直线AC与
7、圆O的位置关系，并证明你的结论；(2)若AC8，cosBED，求AD的长图3Z1822(6分)如图3Z19，RtACB中，C90，点D在AC上，CBDA，过A，D两点的圆的圆心O在AB上(1)利用直尺和圆规在图3Z19中画出O(不写作法，保留作图痕迹)；(2)判断BD所在的直线与(1)中所作的O的位置关系，并证明你的结论；(3)设O交AB于点E，连接DE，过点E作EFBC，垂足为F.若D是线段AC的黄金分割点(即)，如图3Z19，试说明四边形DEFC是正方形图3Z1923(8分)有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形(1)如图3Z20，在半对角四边形ABCD中，BD，CA，求B
8、与C的度数之和；(2)如图3Z20，锐角三角形ABC内接于O，若边AB上存在一点D，使得BDBO，OBA的平分线交OA于点E，连接DE并延长交AC于点F，AFE2EAF，求证：四边形DBCF是半对角四边形；(3)如图3Z20，在(2)的条件下，过点D作DGOB于点H，交BC于点G，当DHBG时，求BGH与ABC的面积之比图3Z2024(8分)定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”理解：(1)如图3Z21，已知A，B是O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使ABC为“智慧三角形”(画出点C的位置，保留作图痕迹)；(2
9、)如图3Z21，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CFCD，试判断AEF是不是“智慧三角形”，并说明理由；运用：(3)如图3Z21，在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，点Q是直线y3上的一点，若在O上存在一点P，使得OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，请直接写出此时点P的坐标图3Z21详解详析1B2.A3B解析 和的度数分别为88和32，A3216，ADB8844.PAADB，PADBA441628.故选B.4B5.C6.B7.A8D解析 连接OA，如图，PQR是O的内接正三角形，PQPRQR，POR360120.四边形ABCD是O的内接正方形，AOD90，D
10、OP9045，DORPORDOP75.故选D.9D解析 设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，如图所示AD，AB分别为圆O的切线，AO为DAB的平分线，ODAC，OEAB.又CAB60，OAEOADDAB60.在RtAOD中，OAD60，AD6 cm，tanOADtan60，即，OD6 cm，则圆形螺母的外直径为12 cm.故选D.10C解析 ACB45，由圆周角定理得BOD2ACB90，正确；AB切O于点B，ABO90，DOBABO180，DOAB，正确；假如CDAD，DOAB，CEBE.根据垂径定理的推论得ODBC，则OEB90.已证出DOB90，此时OEB不存在，错误
11、；DOB90，ODOB，ODBOBD45ACB，即ODBC.又DBECBD，BDEBCD，正确；过点E作EMBD于点M，则EMD90.ODB45，DEM45EDM，DMEM.设DMEMa，则由勾股定理得DEa.ABC180CA75，OBC15.OBD45，EBM30.在RtEMB中，BE2EM2a，正确故选C.111012.13.r解析 RtABC中，ACB90，AC3，BC，AB4.CDAB，CD.在RtACD中，AD，BDABAD4，当点A在D外，点B在D内时，r的取值范围是r.14(7，4)或(6，5)或(1，4)解析 如图，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)PA
12、PB.点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是ABC的外心，PCPAPB，则点C的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4)1572解析 连接OA，OB，OC.五边形ABCDE是O的内接正五边形，AOBBOC72.OAOB，OBOC，OBAOCB54.在OBP和OCQ中，OBOC，OBPOCQ，BPCQ，OBPOCQ，BOPCOQ.POQBOPBOQ，BOCBOQCOQ，POQBOC72.16.解析 当以点C为圆心，3 cm为半径的圆与直线EF相切时，CF3 cm.由题意得AC4t cm，BD3t cm，OC(164t)cm，OD(123t)cm.E是OC的中点，CEOC(82t)cm.
13、易证EFCBOA，即，EF.由勾股定理可知CE2CF2EF2，(82t)232()2，解得t或t.0t4，t.则当点C运动了 s时，以点C为圆心、3 cm为半径的圆与直线EF相切17解：过点O作OGAP于点G，连接OF，DB10 cm，OD5 cm，AOADOD358(cm)PAC30，OGAO84(cm)OGEF，EGGF.GF3(cm)，EF6 cm.18解：(1)连接OC.AB与O相切于点C，OCAB.OAOB，ACBCAB63.在RtAOC中，OC3，O的半径为3.(2)在RtBOC中，OCOB，B30，COB60，扇形OCD的面积，阴影部分的面积SRtCBOS扇形OCD33.19解：
14、(1)作法：如图，连接BC；分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径画弧，设两弧在BC的右侧交于点M；连接OM，设OM与O交于点D.点D即为所求(2)不成立，添加条件：AB是O的直径证明：如图，连接OC.D为的中点，CODBOD，BOC2BOD.BOC2CAB，BODCAB，ODAC.20证明：(1)连接OD，DE是圆O的切线，ODDE.又DEAC，ODAC，BDOA.又OBOD，OBDBDO，OBDA，BCAC.又ABAC，ABC是等边三角形(2)连接CD，BC是半圆O的直径，CDAB，D是AB的中点在RtADE中，A60，AEADcosAAD，AEABAC，AECE.21解：(1)直线AC与
15、O相切证明：是BED与BAD所对的弧，BADBED.OCAD，AOCBAD90，BEDAOC90.又BEDC，CAOC90，OAC90，ABAC，故直线AC与O相切(2)连接BD.AB是O的直径，ADB90.在RtAOC中，CAO90，AC8，cosCcosBED，AO6，AB12.在RtABD中，cosBADcosBED，AD12.22解：(1)如图，O即为所求作的圆(2)BD所在的直线与O相切证明如下：连接OD，OAOD，AODA.CBDA，CBDODA.C90，CBDCDB90，ODACDB90，ODB90，ODBD，BD所在的直线与O相切(3)CBDA，DCBBCA，CDBCBA，BC
16、2DCAC.D是线段AC的黄金分割点，即，AD2DCAC，ADBC.AE为直径，ADE90，CDEEFCC90，四边形DEFC是矩形在ADE和BCD中，ACBD，ADBC，ADEC，ADEBCD，DECD，矩形DEFC是正方形23解：(1)在半对角四边形ABCD中，BD，CA.ABCD360，3B3C360，BC120，即B与C的度数之和为120.(2)证明：在BED和BEO中，BDBO，EBDEBO，BEBE，BEDBEO，BDEBOE.BCFBOE，BCFBDE.连接OC，设EAF，则AFE2EAF2，EFC180AFE1802.OAOC，OACOCA，AOC180OACOCA1802，A
17、BCAOCEFC，四边形DBCF是半对角四边形(3)连接OC，过点O作OMBC于点M，四边形DBCF是半对角四边形，ABCACB120，BAC60，BOC2BAC120.OBOC，OBCOCB30，BC2BMBOBD.DGOB，HGBBAC60.又DBGCBA，DBGCBA，()2.DHBG，BG2GH，DG3GH，.24解：(1)如图所示(2)AEF是“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a.E是BC的中点，BEEC2a.CFCD，CFa，DF4aa3a.在RtABE中，AE2(4a)2(2a)220a2，在RtECF中，EF2(2a)2a25a2，在RtADF中，AF2(4a)2(3a)225a2，AE2EF2AF2，AEF是直角三角形，AF为斜边斜边AF上的中线等于AF的一半，AEF是“智慧三角形”(3)过点P作PMOQ，如图所示由“智慧三角形”的定义可得OPQ为直角三角形根据题意可得一条直角边OP1，PQ最小时，POQ的面积最小，即OQ最小由垂线段最短可得斜边长最小为3，由勾股定理可得PQ2 .根据面积公式得OQPMOPPQ，PM12 3.由勾股定理可求得OM.故点P的坐标为(，)或(，)
