1、 数与代数 第课时 整式与因式分解 识别代数式、整式,能分析具体问题中的简单数量关系,并用代数式表示会求代数式的值能解释乘法公式的几何背景,并能利用它们进行简单计算能进行简单的整式加法、减法和乘法运算能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)代数式的有关概念()代数式:用 把 数 或 表 示 数 的 字 母 连 结 而 成 的式子叫 代 数 式单 独 的 一 个 数 或 者 一 个 字 母 也 是 代数式()代数式的值:用数值代替代数式里的字母,并按代数式中的 计算所得的结果叫做代数式的值整式有关概念()单项式:由 数 与 字 母 的 组 成 的 代 数 式
2、叫 做 单项式单项式中 因数叫做这个单项式的系数;单项式中 叫 做 这 个 单 项 式 的 次 数单 独 的 一个数或字母也是单项式()多项式:几个 的和叫做多项式不含字母的项叫做 多 项 式 中 次 数 的 项 的 次 数 叫做这个多项 式 的 次 数多 项 式 中 的 个 数 叫 做这个多项式的项数()整式:和 统称为整式()同类项:所含字母 ,且相同字母的指数也分别 的项叫做同类项整式的运算()整式的加减法:实质上就是合并同类项,遇到括号要先去括号合并同类项:就是把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数 去括号法则:(abc),(abc)()整式的乘除法幂的运算am an
3、 ,am an ,(am)n ,(ab)n (m,n为整数)整式的乘法单项 式 乘 以 单 项 式:如(xy)(xy)单项式乘以多项式:m(abc)多项式乘以多项式:(mn)(ab)乘法公式平方差:(ab)(ab);完全平方公式:(ab)整式的除法单项 式 除 以 单 项 式:如(abc)(abc)多项式 除 以 单 项 式:如(ab abc)(ab)因式分解()因式分 解:把 一 个 多 项 式 化 成 几 个 整 式 的 的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式因式分解是整式乘法的逆变形()因式分解的常用方法:提公因式法和 考点 列代数式例 (安徽)某企业今年月份产值为a
4、万元,月份比月份减少了,月份比月份增加了,则月份的产值是()A(a)(a)万元Ba()()万元C(a)万元Da()万元【解析】本题是以实际背景为素材,考查列代数式月份产值为a万元,月份比月份减少了,则月份产值为a()万元,月份比月份增加,因此月份的产值是a()()万元【全解】B【提醒】列代 数 式 的 关 键 是 准 确 分 析 出 数 量 关 系,并 按代数式的书写要求列出考点 整式的有关概念例 ()(江 苏 南 通)单 项 式 xy 的 系 数 为 ()(广东梅州)若代数式xy 与xny 是同类项,则常数n的值为 【解析】第()题考查了单项式的系数将单项式变为数字因式与字母因式的积,其中数
5、字因式即为单项式的系数xyxy,其中数字因式为,则单项式的系数为第()题考查同类项的定义因为xy 与xny 是同类项,所以根据同类项的定义可知x 的指数应相等,即n,解得n【全解】()()【提醒】准 确 理 解 整 式 的 有 关 概 念 是 解 这 类 问 题 的 关键确定单项式的系数时,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,是找准单项式的系数的关键例 (江苏南通)已知xxk 是完全平方式,则常数k等于()ABCD【解析】本题考查完全平方式的概念根据乘积项先确定出这两个数是x 和,再根据完全平方公式的结构特点求出的平方即可 xx,这两个数是x,k【全解】A【小结】对于一个多项式 A,如果
6、存在另一个多项式 B,使 AB,那么 称 A 是 完 全 平 方 式类 似 概 念 有“完 全 平 方数”若对于整数A,存在整数B,使AB 成立,则称A 是完全平方数例如,等,都是完全平方数考点 整式的化简与运算例 ()(江苏南通)计算(x)x 的结果是()AxBxCxDx()(广东湛江)下列运算中,正确的是()AaaB(a)aCaaaD(a)a【解析】第()题根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加,计算后直接选取答案(x)xxxxx第()题根据合并同类项的法则、幂的乘方的性质、同底数幂的乘法的性质、积的乘方的性质,对各选项分别计算判断后即可求得答案Aaaa,故本选项错误;B(a)a,故本选项错
7、误;Caaa,故本选项正确;D(a)a,故本选项错误【全解】()A()C【小结】()熟练掌握运 算 法 则 是 解 题 的 关 键;()注 意理清指数的变化,分清运算类型是解题的重点;()注意排除法在解选择题中的应用例 (福建福州)化简:a(a)(a)【解析】本题是整式的混合运算,利用乘法分配律将原式第一项括号外边的a乘到括号里边,第二项利用完全平方公式展开,再合并同类项后即可得到结果【全解】原式aaaaa【小结】本类题的解答要抓住以下几点:()运用好转化的思想方法,多项式的运算转化为单项式的运算;()注意运算顺序和灵活运用乘法公式;()恰当地进行逆向思维能使解题更加方便、快捷考点 代数式求值
8、例 (江苏扬州)已知ab,则ab 的值是 【解析】此题考查了代数式求值的知识,解答本题的关键是掌握整体思想的运用先将ab 进行变形,然后将ab整体代入即可得出答案原式(ab),将ab代入,即得原式(ab)【全解】【小结】代 数 式 求 值 的 方 法 主 要 有:直 接 代 入、化 简 代入、整体代入、变形代入、设参代入、降次代入等例 (广东汕头)先化简,再求 值:(x)(x)x(x),其中x【解析】本题先对整式进行化简,再把x代入化简后的式子进行计算即可【全解】()原式xxxx当x时,原式【提醒】代数 式 求 值 一 定 要 先 化 简,化 简 过 程 中 注 意 运算顺序和乘法公式的运用考
9、点 因式分解例 ()(江苏无锡)分解因式(x)(x)的结果是()A(x)(x)BxC(x)D(x)()(江苏扬州)因式分解:mnmn【解析】第()题首先把x看做一个整体,观察发现符合完全平方公式,直接利用完全平方公式进行 分 解 即 可原 式(x)(x)第()题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,先提取公因式 mn,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【全解】()D()mnmnmn(m)mn(m)(m)【小结】分解因 式 的 步 骤:()分 解 因 式 时,首 先 考 虑 是否有公因式,如果有公因式,一定先提取公团式,然后再考虑是否能用公式法分解()在 用 公 式 时,若 是 两 项,可
10、 考 虑 用平方差公式;若是三项,可考虑用完全平方公式分解因式时要注意:()提公因式时,其公因式应找 字 母指数最低的,而不是以首项为准;()若有一项被全部提出,括号内的项“”不要漏掉;()分解要彻底,还要注意不要保留中括号形式等考点 多项式的特殊变形例 (四川宜宾)将代数式xx化成(xp)q的形式为()A(x)B(x)C(x)D(x)【解析】本题考 查 多 项 式 的 特 殊 变 形,是 配 方 法 的 应 用:xxxx(x)【全解】B【提醒】配方 的 依 据 是 完 全 平 方 公 式配 方 法 应 用 非 常广泛,如应用于解一元二次方程、应用于二次函数等,这是后话,在此不再赘述(广西)如
11、果xy 与xyn是同类项,那么n 的值是()ABCD 数与代数 (山 东 济 南)化 简(x)(x)的 结 果 为()AxBxCxDx(福建漳州)计算aa 的结果是()AaBaCaDa(重庆)计算(ab)的结果是()AabBabCabDab(福建厦门)计算:mm (浙 江 嘉 兴)当 a 时,代 数 式 a 的 值 是 (河北)已知yx,则(xy)(yx)的值为 (浙江丽水)分解因式:x (四川宜宾)分解因式:mmnn (江苏泰州)若 代 数 式 xx 可 以 表 示 为(x)a(x)b的形式,则ab的值是 (广西玉林)计算:(a)(a)(江苏盐城)化简:(ab)b(ab)【基础达标】(湖北宜
12、昌)根据国家中长期教育改革和发展规划纲要,教育 经 费 投 入 应 占 当 年 GDP 的 若 设 年GDP的总值为n 亿元,则年教育经费投 入 可 表 示 为()An亿元B()n亿元C()n亿元D(n)亿元(上 海)在 下 列 代 数 式 中,次 数 为 的 单 项 式 是()AxyBxyCxyDxy(湖南常德)下列运算中,结果正确的是()AaaaBaaaCaaaDaaa(广东珠海)计算aa 的结果为()AaBaCaDa(安徽)计算(x)的结果是()AxBxCxDx(山东济宁)下列运算正确的是()A(x)xB(x)xC(x)xD(x)x(安徽)下面的多项式中,能因式分解的是()AmnBmmC
13、mnDmm(山东济宁)某种苹果的售价是每千克x 元,用面值为元的人民币购买了千克,应找回 元(福建莆田)如果单项式xay 与xyb 是同类项,那么ab (福建南安)计算:xx (江苏盐城)若x,则代数式xx的值为 (福建泉州)因式分解:xx (广西北海)因式分解:mn (江苏淮安)分解因式aa 【综合拓展】(江苏南京)计算(a)(a)的结果是()ABaCaDa(山东东营)若x,y,则xy的值为()ABCD(江 苏 苏 州)若 m m,则 m 的 值 为()ABCD(贵州黔西南州)已 知 xmy 和 xnymn是 同 类项,则(nm)(黑龙江绥化)甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价为 m 元的商
14、品,甲超市连续两次降价;乙超市一次性降价;丙超市第一次降价,第二次降价,此时顾客要购买这种商品,最划算的超市是 (四川成都)已知当x时,axbx 的 值 为,则当x时,axbx 的值为 (湖北黄石)因式分解:xx (黑 龙 江 绥 化)分 解 因 式:abab ab (广东广州)分解因式:aa (江苏无锡)计算:(x)(x)(x)(福建泉州)先化简,再求值:(x)(x)(x),其中x第课时 整式与因式分解【自主梳理】()运算符号()运算顺序()积 数字 所有字母的指数和()单项式 常数项 最高 单项式()单项式 多项式()相同 相同()不变 abc abc()amn amn amn anbnxy mambmc mambnanbab aabbac abbc()积()运用公式法【当堂过关】B A B C m B(x)(x)(mn)a ab【课后精练】A A D D B D D(x)x x(x)(nm)(nm)(a)B A A 乙(x)(x)ab(ab)a(a)(a)原式x(x)xx原式xxxx将x代入x,得值为
