1、空间向量的应用习题课一知识点梳理（一）利用向量判断位置关系：（二）利用向量计算空间角和距离1空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为,则cos |cos |(其中为异面直线a,b所成的角)(2)直线和平面所成角的求法如图所示,设直线l的方向向量为e,平面的法向量为n,直线l与平面所成的角为,两向量e与n的夹角为,则有sin |cos |.(3)二面角的求法PnAa如图所示,二面角l,平面的法向量为n1,平面的法向量为n2,n1,n2,则二面角l的大小为或.2点到平面距离的计算求点到面的距离的常用方法：(1)等体积法：变换顶点,使得几何体的高好求,求出体
2、积,再利用体积相等求出点到面的距离；(2)垂线法：直接过点作面的垂线,求出垂线段的长度即可(最好有面面垂直)；(3)向量法：二例题讲解题型一线线、线面角例1 如图,在四棱锥PABCD中,PA面ABCD,ABBC,ABAD,且PAABBCAD1.(1)求PB与CD所成的角(2)求直线PD与面PAC所成的角的余弦值题型二二面角例2（江苏2011年附加10分）如图，在正四棱柱中，点N是BC的中点，点M在上设二面角的大小为（1）当时，求AM的长；（2）当时，求CM的长题型三求点面距离例3.如右图,已知长方体ABCDA1B1C1D1,AB2,AA11,直线BD与平面AA1B1B所成的角为30,AE垂直B
3、D于E,F为A1B1的中点求点A到平面BDF的距离题型四探究性问题例4如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,ABAC,M是CC1的中点,N是BC的中点,点P在线段A1B1上,且满足A1P=lA1B1.(1)证明： PNAM. (2)当取何值时,直线PN与平面ABC所成的角最大？并求该角最大值的正切值(3)是否存在点P,使得平面 PMN与平面ABC所成的二面角为45.若存在求出l的值,若不存在,说明理由三练习巩固1.(2010辽宁卷)如图所示,已知三棱锥PABC中,PA平面ABC,ABAC,PAACAB,N为AB上一点,且AB4AN,M,S分别为PB,BC
4、的中点(1)证明：CMSN； (2)求SN与平面CMN所成角的大小2.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,DAB为直角,ABCD,ADCD2AB,E、F分别为PC、CD的中点(1)求证：AB平面BEF；(2)设PAkAB,且二面角EBDC的平面角大于45,求k的取值范围3.(2010课标全国卷)如图,已知四棱椎PABCD的底面为等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值4.（2012年高考（大纲理）如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,是上的一点,.(1)证明:平面;(2)设二面角为,求与平面所成角的大小.5. 如图所示,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD平面ABCD,NB平面ABCD,且MDNB1,E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN？若存在,求线段AS的长；若不存在,请说明理由
