1、数学仿真模拟卷(四)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合A，B，则AB()ABC DB由集合B，化简可得B，由A，AB.故选B2甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r，如下表：相关系数甲乙丙丁r0.820.780.690.87则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？()A甲B乙C丙D丁D根据线性相关系数的意义可知，在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四位同学中，丁同学求得的相关系数的绝
2、对值最大，表明丁同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性故选D3在平面直角坐标系xOy中，点P，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，则点Q的坐标是()A BC DD由P，得P，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，Q，又cossin，sincos，Q.故选D4“a0，a”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件Ax0，x22，当且仅当x，即x1时取等号若a0，21a，因此“a0，a”的充分条件；若x0，a，则amin，即a2，推不出“a1”，因此“a0，a”的必要条件故“a0，a”的充分不必要条件故选A5函数f (x)在上的图象大致为()ABC DA记gx
3、sinx，x，g1cosx0，g在上单调递增，又g0，当x时，gg，即xsinx0，又exex0，当x时，f 0，故排除B，C，D故选A6玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址玉琮王通高8.8 cm，孔径4.9 cm、外径17.6 cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象兽面的两侧各浅浮雕鸟纹器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位：cm3)()A6 250 B3 050 C2 850 D2 350D由题可知，该神人纹玉琮王可看做是一个底面边长为1
4、7.6 cm，高为8.8cm的正四棱柱中挖去一个底面直径为4.9 cm，高为8.8 cm的圆柱，此时求得体积记为V1，V128.88.82560 cm3，记该神人纹玉琮王的实际体积为V，则V8.88.81974 cm3，故1974V2560，故选D7定义在R上的偶函数f (x)2|xm|1，记af (ln 3)，bf ，cf ，则()AabcBacbCcabDcbaCf (x)2|xm|1为定义在R上的偶函数，xR，f f ，即2121，xR，即恒成立，xR，22，即2mx0恒成立，m0，f 21 ，f 在 ，上单调递增，af f ，bf ，cf f f ，1ln 32，1ln 3log25，
5、f f f ，即ca0)的焦点为F，点P(x0，2)(x0)是抛物线C上一点以P为圆心的圆与线段PF相交于点Q，与过焦点F且垂直于对称轴的直线交于点A，B，直线PF与抛物线C的另一交点为M，若，则()A1 B C2 DB由题意得x0，直线AB方程为：x，P到直线AB距离为x0，以P为圆心的圆与线段PF相交于点Q，与过焦点F且垂直于对称轴的直线交于点A，B，x0，解得x0，22p，又p0，故p2，抛物线方程为y24x，P，F，直线PQ方程为yx，与抛物线方程联立得 ，消去y整理得，3x210x30，解得x或3，M，1，.故选B二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有
6、多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9已知双曲线sin2(k，kZ)，则不因改变而变化的是()A焦距B离心率C顶点坐标D渐近线方程BD整理双曲线方程可得1，c，该双曲线焦距为：2，离心率为：，顶点坐标为和，渐近线方程为y，不因改变而变化的是离心率与渐近线方程故选BD10下图是2018年全国教育事业发展统计公报中19492018年我国高中阶段在校生数条形图和毛入学率的折线图，根据下图可知在19492018年()高中阶段在校生数和毛入学率A1978年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高B从1990年开始，我国高中阶段的在校生数和毛入学率在逐年增高C2
7、010年我国高中阶段在校生数和毛入学率均达到了最高峰D2018年高中阶段在校生数比2017年下降了约0.91%，而毛入学率提高了0.5个百分点AD观察条形图和折线图可知，1978年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高，故A正确；2016年和2018年的高中阶段在校生数都低于前一年，故B错误；2010年我国高中阶段在校生数达到了最高峰，但是毛入学率均低于后续几年，故C错误；2018年高中阶段在校生数为3 935万人，2017年高中阶段在校生数为3 971万人，2018年高中阶段在校生数比2017年下降了约0.91%，2018年高中阶段毛入学率为88.8%，2017年高中阶段毛入学
8、率为88.3%，毛入学率提高了0.5个百分点，故D正确11已知函数f (x)对xR，满足f (x)f (6x)，f (x1)f (x1)，若f (a)f (2020)，a且f (x)在上为单调函数，则下列结论正确的是()Af (3)0Ba8Cf (x)是周期为4的周期函数Dyf (x)的图象关于点对称ABf (x)f (6x)，f (x)f (6x)0，即yf (x)的图象关于点对称，令x3得，f f ，故f (3)0，A正确；f (x1)f (x1)，f (x1)f (1x)，即yf (x)的图象关于直线x1对称，f f f f ，即f f ，f f f ，f (x)是周期为8的周期函数，f
9、 f f f ，f (a)f (2020)，f f ，a，且f (x)在上为单调函数，f f ，故a8，故B正确；假设f (x)是周期为4的周期函数，则f f ，又f f ，f f ，即f 0，与“f (x)在上为单调函数”矛盾，故假设不成立，C错误；f 0，f f 0，假设yf (x)的图象关于点对称，则f (x)f (2x)0，令x1，得f f 0，即f 0，则f f 0，即f f ，与“f (x)在上为单调函数”矛盾，故假设不成立，D错误故选AB12如图，点O是正四面体PABC底面ABC的中心，过点O的直线交AC，BC于点M，N，S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q，与
10、棱PB的延长线相交于点R，则下述正确的是()A若MN平面PAB，则ABRQB存在点S与直线MN，使PC平面SRQC存在点S与直线MN，使0D是常数ABD对于选项A，若MN平面PAB，平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交于点R，平面SMN平面PABRQ，又MN平面SMN，MN平面PAB，MNRQ，点O在面ABC上，过点O的直线交AC，BC于点M，N，MN平面ABC，又MN平面PAB，平面ABC平面PABAB，MNAB，ABRQ，故A正确；对于选项B，当直线MN平行于直线AB，S为线段PC上靠近C的三等分点，即SCPC，此时PC平面SRQ，以下给出证明：在正四面体PABC中，
11、设各棱长为a，ABC，PBC，PAC，PAB均为正三角形，点O为ABC的中心，MNAB，由正三角形中的性质，易得CNCMa，在CNS中，CNa，SCa，SCN，由余弦定理得，SNa，SC2SN2a2CN2，则SNPC，同理，SMPC，又SMSNS，SM平面SRQ，SN平面SRQ，PC平面SRQ，存在点S与直线MN，使PC平面SRQ，故B正确；对于选项C，假设存在点S与直线MN，使0，设QR中点为K，则2，即，cosCPBcosCPA0，又易知AB与PK为相交直线，AB与PK均在平面PQR上，PC平面PQR，即PC平面PAB，与正四面体PABC相矛盾，所以假设不成立，故C错误；对于选项D，易知点
12、O到面PBC，面PAC，面PAB的距离相等，记为d，记PC与平面PAB所处角的平面角为，为常数，则sin 也为常数，则点S到PQR的距离为PSsin ，又SPQRsin ，VSPQRSPQRsin ，又SPSRsin，SPSQsin，SPQRsin，VSPQRVOPSRVOPSQVOPQRd，sin d，为常数，故D正确故选ABD三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13已知复数是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a的值为_复数是纯虚数，且i， ，解得a.14.的展开式中x2项的系数是_(用数字作答)112通项公式为Tr1C 2rCx，令2，解得r2，x2项的系数为22C112.15已知
13、函数f (x)Asin(x)(A0，0，00，0，0)是偶函数，k，kZ，又00，A2，g2cos，当x时，cos，故g2cos，g(x)在上的最大值为.16定义函数f (x)xx，其中表示不超过x的最大整数，例如：1，2，2.当x时，f (x)的值域为An.记集合An中元素的个数为an，则的值为_表示不超过x的最大整数，当x时， ，x ，在各区间内的元素个数为1，1，2，3，n1，an112311，2，22.四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m，n，且mn.(1)求C；(2)
14、若c3b3a，求sin A解(1)因为mn，所以sin B，由正弦定理得，(ca)(ac)(ba)b，所以a2b2c2ab，由余弦定理得，cos C，因为C(0，)，故C.(2)由(1)知BA，因为c3b3a，由正弦定理得，sin C3sin B3sin A，则sin3sin3sin A，整理得sin，由于0A，AAB，得0a，PA，所以A(0，0，0)，C(a，3a，0)，P(0，0，)，D(0，3，0)，所以(a，a，0)，(0，3，) .设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，则 ，取y1，则n，又平面CDE的一个法向量m(0，0，1)，若存在点B，当将PBC沿BC折起到PAAB时，
15、二面角PCDE的余弦值等于，则有|cosn，m|，即，解得a1，即AB的长为1.故存在点B，此时AB的长为1.20(本小题满分12分)研究表明，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前国际上常用身体质量指数(缩写为BMI)来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是BMI.中国成人的BMI数值标准为：BMI18.5为偏瘦；18.5BMI24为正常；BM24为偏胖为了解某社区成年人的身体肥胖情况，研究人员从该社区成年人中，采用分层随机抽样方法抽取了老年人、中年人、青年人三类人中的45名男性、45名女性为样本，测量了他们的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值后数据分布如下表所示：BMI标准老年人中年人青年人男女男
16、女男女BMI18.533124518.5BMIb0)的左右焦点，A为椭圆的右顶点，点P为椭圆C上的动点(点P与C的左右顶点不重合)，当PF1F2为等边三角形时，SPF1F2.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，M为AP的中点，直线MO交直线x4于点D，过点O作OEAP交直线x4于点E，证明：OEF1ODF1.解(1)设椭圆C的半焦距为c，因为PF1F2是等边三角形，所以此时P在上顶点或下顶点处，所以a2c，又S，所以bc，又由a2b2c2，解得c21，a24，b23.故椭圆的方程为1.(2)证明：由题意知A，设AP的中点M，P，直线AP的方程为yk(x2)，k0，将直线AP的方程与椭圆方程联立得
17、， ，消去y整理得，x216k2x16k2120，所以x12，所以x0，y0k，即M的坐标为，从而kOM，所以直线OM的方程为yx，令x4，得D，直线OE的方程为ykx，令x4，得E.法一：由F1，得kEF1，所以kOMk1，即OMEF1，记垂足为H，因为k，kOEkApk，所以OEDF1，记垂足为G，在直角三角形EHO和直角三角形DGO中，ODF1和OEF1都与EOD互余，所以ODF1OEF1.法二：因为D，E(4，4k)，F1(1，0)，所以(4，4k)，(3，4k)，所以cos，1，cos，所以cos，cos，所以ODF1OEF1.22(本小题满分12分)已知函数f (x)2ln xx2
18、，g(x)x.(1)设函数f 与g有相同的极值点；(i)求实数a的值；(ii)若对x1，x2，不等式1恒成立，求实数k的取值范围(2)a0时，设函数h(x)eg(x)sin(g(x)1.试判断h在上零点的个数解(1)(i)f (x)，x0，由f 0得x1，x时，f 0，f 单调递增；x时，f 0，f 单调递减，故x1为f 唯一的极大值点，由题意，x1也是g的极值点，g(x)1，由g(1)1a0得a1，此时，g(x)1，x时，g0，g单调递增，所以x1为g的极小值点，符合题意，所以a1.(ii)由(i)知，a1，由于f 2，f (1)1，f (3)2ln 39，显然f (3)f f (1)，故x
19、时，结合(i)中所得f 单调性可知，f (x)min2ln 39，f (x)max1，又ge，g(1)2，g(3)3，故g(1)g0，即k1时，问题等价于f gk1，即kf g1恒成立，即kmax1，因为f g1f maxgmin11212，所以k2，故k1符合题意当k10，即k1.(2)法一：a0时，g(x)x，h(x)exsin x1，x(，0)，h(x)excos x，当x时，h(x)0，h(x)单调递增，h()e10，故x存在唯一零点当x时，记m(x)h(x)excos x，m(x)exsin x在上单调递增，又mee0，故存在唯一x0，使m0，即esin x00，当x时，m(x)0，m(x)单调递增，又me0，mecos x0sin0，h(x)单调递增，x时，m(x)0，h(0)0，所以x时，h0，故x时，h没有零点综上，h在上有1个零点法二：当a0时，g(x)x，h(x)exsin x1，x(，0)，令u(x)1，x(，0)，则u(x)，令u(x)0，解得x，当x时，u0，u(x)单调递增又u()e10，u10，u(0)0，所以u在只有一个零点，因此h在只有一个零点
