1、名师新高考押题卷4 命题人：湖南省长沙县一中正高级教师刘烈文责编：吴晓方1. 若集合A=x|x25x60,B=x|y=ln(2x5)，则RAB=()A. 52,3B. 52,6C. (3,+)D. (6,+)2. 已知复数z=12i1+i，则z的虚部是()A. 32B. 32C. 12D. 12i3. x2x6展开式中的常数项为()A. 60B. 64C. 160D. 2404. 函数y=2lnx+1+sinx的图象在x=0处的切线对应的倾斜角为，则sin2=()A. 310B. 310C. 35D. 355. 古希腊三大数学家之一阿波罗尼斯的著作圆锥曲线论中指出：平面内与两定点距离的比为常数
2、k(k0且k1)的点的轨迹是圆，已知平面内两点A5,0，B25,0，直线l:kxyk+2=0，曲线C上动点P满足PBPA=2，则曲线C与直线l相交于两点，则MN的最短长度为()A. 5B. 10C. 25D. 2106. 已知ABC中，则ACNM=()A. 12B. 14C. 16D. 187. “双减”政策落实下倡导学生参加户外活动，增强体育锻炼，甲、乙、丙三位同学在观看北京冬奥会后，计划从冰球、短道速滑、花样滑冰三个项目中各自任意选一项进行学习，每人选择各项运动的概率均为13，且每人选择相互独立，则至少有两人选择花样滑冰的前提下甲同学选择花样滑冰的概率为()A. 47B. 56C. 13D
3、. 578. 已知三棱锥SABC中，BAC=3,SBAB,SCAC,SB=SC=3，三棱锥SABC体积为4113，则三棱锥SABC外接球的表面积为()A. 5B. 20C. 25D. 1009. 已知1a1bbc2B. aab1bD. lna2lnb210. 高中提倡学生假期培养阅读习惯，提高阅读能力，某班级统计了假期阅读中英两本书籍的时长，其频率分布如下：则下列说法正确的是()阅读时长/天7654中文书籍0.50.30.10.1英文书籍0.40.30.20.1A. 从阅读的的平均时长来看，中文书籍比外文书籍更受欢迎B. 中、英文书籍阅读时长的第40百分位数都是6天C. 若将频率视为概率，小华
4、阅读中文和英文两本书籍，则阅读总时长少于的概率为0.04D. 任选一本书籍，“阅读时长低于”与“阅读时长为”是对立事件11. 已知函数f(x)=cosx+2sinx，则下列说法正确的是()A. 直线x=2为函数f(x)图像的一条对称轴B. 函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移2后得到g(x)=cos2x+2sin2xC. 函数f(x)在2,2上单调递增D. 函数f(x)的值域为2,512. “脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体.如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C，其方程为x2+y2=4,y0x24+y29=1,y0，则下列说法
5、正确的是()A. 曲线C包含的封闭图形内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数)B. 曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5C. 若A0,5、B0,5，P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则cosAPB的最小值为19D. 画法几何的创始人加斯帕尔蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C:x24+y29=1(3y3)后，椭圆C的蒙日圆方程为：x2+y2=1313. 首届国家最高科学技术奖得主、杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究
6、所调查某地水稻的株高时，发现株高(单位：cm)服从正态分布N100,102，若测量10000株水稻，株高在80,90的约有_株.14. 已知等比数列an各项均为正数，a1=1，a2、a4为方程的两根，数列an的前n项和为Sn，且bn=log2(Sn+1)，求数列1bn21的前2022项和为_.15. 双曲线C:x2a2y2b2=1a0,b0的右焦点F关于渐近线的对称点在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为_.16. 已知f(x)是函数fx的导函数，且对任意的实数x的都有，且f0=0，则函数fx的解析式为_，若有3个交点，则m的取值范围为_.17. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
7、.bcosA+acosB=2ccosC，a+b+ca+bc=3ab，求角C的大小；周长的最大值18. 已知数列an为等差数列，a2=3，a14=3a5，数列bn的前n项和为Sn，且满足2Sn=3bn1.1求an和bn的通项公式；，数列cn的前n项和为Tn，且Tnn3n0,b0的离心率为12，左顶点为A，上顶点为B，AB=7.(1)求椭圆C的标准方程；(2)不过椭圆点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k,k1,k2，若kk1+k2=2，证明：直线l过定点，并求出定点的坐标.22. 已知函数fx=a2x2+a1xlnxaR.(1)求函数fx的单调区间；(2)当a4时，
8、若方程fx=ax2x+a2在0,1内存在唯一实根x0，求证：x014,1e答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考察集合的交集、补集运算，属于基础题先求出集合A的补集，再与集合B求交集即可【解答】解：化简后集合A=x|1x6，则，集合B=x|x52，所以RAB=x|x6.2.【答案】B【解析】【分析】本题考考查复数的除法运算、共轭复数、虚部的定义，属于基础题首先分式同乘以1i，化成复数z的一般形式，再得到共轭复数z的虚部【解答】解：复数z=12i1+i=12i1i1+i1i=13i2，则z=12+32i，虚部为32.3.【答案】A【解析】【分析】本题考查二项式的展开式及通项公式，属于基础
9、题先得到二项式的通项公式，再令x的指数为0得到项数，从而得到常数项大小【解答】解：x2x6的二项展开式的通项公式为Tr+1=C6rx6r22rxr=2rC6rx63r2，令63r=0，解得r=2，此时展开式的常数项为22C62=60.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查导数的几何意义和同角三角函数的关系，属于基础题先求导，通过导数的几何意义得到函数在x=0处的切线斜率，再利用同角三角函数的关系得到sin2的值【解答】解：导函数y,=2x+1+cosx，当x=0时，y,=3，此时tan=3，sin2=2sincos=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=69+1=35.5.【
10、答案】C【解析】【分析】本题考查直线与圆之间的最短弦长问题，属于中档题首先通过设动点P坐标，结合边长间的关系得到曲线C的轨迹为圆，问题转化为直线与圆的最短弦长问题，直线l过定点，通过垂径定理求解即可【解答】解：设动点P的坐标为x,y，则PB2=x252+y2，PA2=x52+y2由PBPA=2得：PB2=2PA2x252+y2=2x52+y2化简后得：曲线C:x2+y2=10，故P点轨迹为圆，又直线l过定点A1,2，则圆心到直线的距离的最大值为OA，的长度最短，此时：MN=2R2OA2=2105=25.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查平面向量基本定理的应用，及向量的数量积，属于中档题首先
11、明确以为基底分解NM，再与AC求数量积即可【解答】解：ABAC=ABACcosA=4612=12，且NM=NB+BM=12AB+13BC=12AB+13ACAB=16AB+13AC，所以：ACNM=AC16AB+13AC=16ABAC+13AC2=1612+1336=14.7.【答案】D【解析】【分析】本题考查条件概率，属于基础题本题为条件概率，分别计算“至少有两人选择花样滑冰”和“甲同学选择花样滑冰的同时，乙、丙至少有一人选择花样滑冰”的概率，即可求出条件概率【解答】解：记事件A为“至少有两人选择花样滑冰”，事件B为“甲同学选择花样滑冰”则：P(A)=C32(13)223+C33(13)3=
12、727，P(AB)=13C211323+C22(13)2=527.PB|A=PABPA=57.8.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的切接问题，属于较难题观察均为直角三角形，得到点P为三棱锥SABC外接球的球心，且，可以通过设高PO结合VPABC求得底面正ABC的边长a，从而得到外接球半径PA，最后求得表面积【解答】解：如图，取SA中点P，SBAB,SCAC，则SBA,SCA均为直角三角形，PA=PB=PC=PS，即点P为三棱锥SABC外接球球心，PA即为外接球半径，又为等边三角形；作，垂足为O，连接OA，则O为ABC的外心，设正三角形ABC的边长为a，则OA=33AB=33a，SA2=AB
13、2+SB2=a2+32，即PA2=14a2+9，外接球表面积为a2+9，故排除A；OP2=PA2OA2=SA22OA2=a2+32433a2=94a212VPABC=13SABCOP=1334a294a212=124a227a2=12VSABC=2113a227a2=1611，0a227，故排除D；若a2+9=20，则a2=11，代入方程不成立，故排除B；若a2+9=25，则a2=16，代入方程成立，故选C.9.【答案】CBD【解析】【分析】本题考查不等式比较大小，属于基础题首先简化条件，由的大小，再逐个分析选项，A为易错点，当c=0时错误，选项B需对绝对值化简，选项C需构造函数fx=x1x，
14、通过单调性比较大小，选项D先比较即可【解答】解：对于A:1a1b0ba0当c=0时，ac2=bc2=0，选项A错误；对于B：bab2aabb=a2b2=b2a20，即：aabb，选项B正确；对于C：构造函数fx=x1x，显然函数fx在区间,0上单调递增，ba0fbfa即b1ba1a，选项C正确；对于D：bab2lna2lnb2，选项D正确.10.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查平均数、百分位数、简单概率求解、对立事件相关知识点的综合考查，属于基础题选项A更受欢迎可以通过阅读时长的平均数大小进行比较，选项B需要先由小到大进行排序，可得第40百分位数，选项C需要对两本书籍共阅读时长少于进行分
15、类讨论，各自求概率，再求和，选项D为对立与互斥事件概念辨析【解答】解：对于A：中文书籍的阅读时长为70.5+60.3+50.1+40.1=6.2天，英文书籍的阅读时长为70.4+60.3+50.2+40.1=6天，所以中文书籍比英文书籍更受欢迎，选项A正确；对于B：中、英文书籍阅读时长按从小到大排列，则第40百分位数均为6天；选项B正确；对于C：阅读时长少于，则中、英文书籍的时间可以为4,4，4,5和5,4三种情况，概率为0.10.1+0.10.2+0.10.1=0.04，选项C正确；对于D：“阅读时长低于”指阅读时长为，“阅读时长为”指阅读时长为，所以“阅读时长少于”与“阅读时长为”是互斥而
16、不对立事件，选项D错误.11.【答案】AD【解析】【分析】本题考查三角函数对称轴、平移伸缩变换、单调性、值域，属于中档题选项A考查函数的对称性，利用f(x)=f(x)验证更为简洁，选项B为函数伸缩、平移变换，选项C需要将f(x)变为分段函数，求解其单调性，选项D需要将定义域R转化为一个周期2,32后，探究f(x)值域【解答】解：对于A：f(x)=cos(x)+2sin(x)=cosx+2sinx=f(x)，选项A正确；对于B：函数f(x)图像x缩短为原来的一半，得到f(2x)=cos2x+2sin2x，再向左平移2后得到g(x)=cos2x+2+2sin2x+2=cos2x2sin2x，选项B
17、错误；对于C：当2x2时，f(x)=cosx+2sinx=cosx+2sinx=5sinx+，其中tan=12，不妨令为锐角，2x22+x+2+，当2+x+2，即单调递增，当2x+2+，即单调递减，选项C错误；对于D：，探究f(x)值域，而函数fx的对称轴为：x=2，因此：探究f(x)值域，当2x2时，f(x)=cosx+2sinx=5sinx+，其中tan=12，2x22+x+2+sin2+=cos=25sinx+1，即：2fx5，选项D正确.12.【答案】BCD【解析】【分析】本题为综合题型，考查学生联系已有圆锥曲线知识，对整体知识的理解掌握水平和分析能力，属于较难题选项A需要对曲线分5类
18、讨论，由x判断对应y的范围，从而得到整数点个数，选项B借助参数方程求解椭圆中两点间距离问题，选项C由椭圆定义可得到之和为定值，由基本不等式可以得到乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cosAPB的最小值，选项D中分析蒙日圆的关键信息，简化求解【解答】解：对于A：曲线，当xZ时，分5类讨论：x=21012可得：整数点为(1,1),(1,0),(1,1),(1,2),(0,0),(1,1),(1,0)、(1,1),(1,2)，所以：整数点有9个，选项A错误；对于B：曲线C中，当此时与原点距离为2，当设半椭圆上动点P坐标为2cos,3sin，,2，则OP2=(2cos)2+(3sin)2=4cos2+
19、9sin2=95cos292OP3，最大值与最小值之和为5，选项B正确；对于C：又A0,5、B0,5恰为椭圆x24+y29=1的两个焦点，那么PA+PB=6，PAPB(PA+PB2)2=9当且仅当PA=PB，即P在x轴上时，等号成立，在PAB中，AB=25，由余弦定理知：cosAPB=PA2+PB2AB22PAPB=(PA+PB)2AB22PAPB2PAPB=62202PAPB2PAPB=8PAPB1891=19，选项C正确；对于D：由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点0,0，在椭圆C:x24+y29=1(3y3)中取两条切线：，它们交点为2,3，该点在蒙日圆上，半径为22+32=13，此时蒙日
20、圆方程为：x2+y2=13，选项D正确.13.【答案】1359【解析】【分析】本题为正态分布的常规考法，计算简单，属于基础题首先得到正态分布中=100，=10，观察所以P80X90=12P2X2PX=0.1359.【解答】解：由XN,2知；=100，=10P80X90=P2X=120.95440.6826=0.1359，10000株水稻，株高在80,90的约有1359株.14.【答案】20224045【解析】【分析】本题考查裂项相消法求和，逻辑严密，较为综合，属于中档题分析题意，首先按条件求得等比数列前n项和为Sn，代入1bn21中可看出可以通过裂项相消法求和，注意裂项后系数不为1.【解答】解
21、：等比数列、a4为方程x2+mx+16=0的两根，bn=log2(Sn+1)=log22n=2n，1bn21=14n21=1(2n1)(2n+1)=12(12n112n+1)，数列1bn21的前2022项和为：12(113+1315+1517+1404314045)=12(114045)=2022404515.【答案】5【解析】【分析】本题考查求双曲线的离心率，数形结合，属于中档题利用双曲线中焦点到同侧渐近线的距离为b，再结合双曲线定义可以得到的等式，最终得到双曲线的离心率【解答】解：如图，F为双曲线的左焦点，焦点F关于渐近线的对称点为点A，则AFOB，B为AF中点，故OB/AFRtOBF中，
22、OF=c，则OB=a,BF=b，且AFF中，OBAF的中位线，所以|AF|=2|OB|=2a|AF|=2|BF|=2b，由双曲线定义知：，即2b2a=2ab=2ac=5a综上：双曲线的离心率e=5.16.【答案】fx=x2exm0,4e2【解析】【分析】本题考查通过构造函数求解析式及交点个数问题，属于中档题本题关键之处在于对2fx=x2+2xexfx进行等式变换，构造新函数e2xfx，从而得到fx的解析式，通过求导得到函数图像求得m的取值范围【解答】解：；又，且，令，则0x0且fx0，函数：有3个交点时，0m4e2所以：m0,4e217.【答案】解：选bcosA+acosB=2ccosC，得s
23、inBcosA+sinAcosB=2sinCcosCsinA+B=sinC=2sinCcosCC0,，sinC0cosC=12(0C)C=3；选a+b+ca+bc=3aba+b2c2=3abc2=a2+b2abc2=a2+b22abcosCcosC=12(0CTnn3n=13n对nN恒成立，当n为奇数时，1nm=m13nm3n1m13nm13nmax=132=8，综上：实数m的取值范围为m8,2.【解析】本题为等差、等比数列通项及错位相减法与最值的考查，计算适中、过程清晰明了，属于中档题(1)为等差数列an通项公式的求解，只需设参数a1,d即可，数列bn通过已知前n项和；(2)需要先用错位相减
24、法求得数列cn的前n项和为Tn，代入不等式中对n分类讨论，转化为最值问题，求出m范围即可19.【答案】解：(1)由题意完善22列联表：运动达人参与者合计男生7050120女生503080合计12080200此时：2=2007030505021208012080=25720.352.706所以：在犯错误概率不超过0.1的前提下不能认为获得“运动达人”称号与性别有关；(2)由题意知：选取的8人运动参与者中男生5人，女生3人则X服从超几何分布，X的所有可能情况为：0、1、2、3且PX=0=C50C83=156；PX=1=C51C32C83=1556；PX=2=C52C31C83=3056=1528；
25、PX=3=C53C83=1056=528；X的分布列为：X0123P15615561528528EX=0156+11556+21528+3528=158.【解析】本题考查22列联表判断两个变量间的相关性以及超几何分布的分布列及期望，属于中档题(1)先完善表格信息，通过卡方检验中计算2与2.706比较大小从而判断在犯错误概率不超过0.1的前提下认为获得“运动达人”称号与性别的相关性；(2)判断X服从超几何分布概型，得到X的分布列与期望EX.20.【答案】1证明：连接AB1，AA1=AB，AA1AB，四边形AA1B1B为正方形A1BAB1，直三棱柱ABCA1B1C1中，则AA1AC，ABAC，AA
26、1AB=AAC平面AA1B1B，又A1B底面AA1B1BACA1B，又A1BAB1，A1BAC，又，A1BB1C2如图，以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0，B2,0,0设A1P=A1B1=2,0,0=2,0,0,01，P2,0,2，N1,1,0，M0,2,1NP=21,1,2，NM=1,1,1，设平面PMN的一个法向量为n=x,y,z，则NPn=0NMn=0即21xy+2z=0x+y+z=0，令x=3，解得n1=3,2+1,22，又平面ABC的一个法向量为n2=0,0,1cosn1,n2=|n1n2|n1|n2|=|22|9+(2+1)2+(22)2=2282
27、4+14=42121，112+26+35=0，又0时，令，解得，令，x1a，0x0时，fx的单调递增区间为1a,+，单调递减区间为0,1a.(2)由题意知：当a4时，方程内存在唯一根x0，令gx=a2x2ax+lnx+a2，则gx=axa+1x=ax2ax+1x,x0+，当a4时，=a24a0，则ax2ax+1=0有两个不相等的实数根x1,x2，又x1+x2=1，x1x2=1a0，故x1,x20,1，设0x112x20，则0xx2，则当x0,x1时gx单调递增，当xx1,x2时gx单调递减，当xx2,1时gx单调递增，又g1=0，且gx在0,1内存在唯一零点x0，则gx1=0，即x0=x1，即
28、由得：a=1x0x02，代入得lnx0+12x012=0.令x=lnx+12x12，x0,12，则(x)=1x12x2=2x12x2，当x0,12时，x0，x在0,12上单调递减，又1e=ln1e+e212=e2320，x在区间1e,14有且仅有一个零点，即x014,1e.【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性以及通过构造函数求解零点区间的证明问题，属于较难题.(1)先判断定义域，再求导后对参数a进行分类讨论得到函数fx的单调区间；(2)构造函数gx=a2x2ax+lnx+a2=0，求导后得到单调性，由gx在0,1内有唯一零点x0且g1=0推断出当x等于零点x0时，最后转化为零点在，利用单调性及零点的存在性定理可证明得到x014,1e.
