1、专题限时集训(一)集合、常用逻辑用语平面向量与复数不等式 1(2020全国卷)已知集合A(x,y)|x,yN*,yx,B(x,y)|xy8,则AB中元素的个数为()A2 B3C4D6C由题意得,AB(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),所以AB中元素的个数为4,故选C2(2020全国卷)设集合Ax|x240,Bx|2xa0,且ABx|2x1,则a()A4 B2 C2 D4B易知Ax|2x2,B,因为ABx|2x1,所以1,解得a2.故选B3.(2019全国卷)设z32i,则在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限C由题意,得32i,其在复平面内对应的点为(3
2、,2),位于第三象限,故选C4(2020浙江高考)已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件B由m,n,l在同一平面内,可能有m,n,l两两平行,所以m,n,l可能没有公共点,所以不能推出m,n,l两两相交由m,n,l两两相交且m,n,l不经过同一点,可设lmA,lnB,mnC,且An,所以点A和直线n确定平面,而B,Cn,所以B,C,所以l,m,所以m,n,l在同一平面内故选B5(2020新高考全国卷)()A1 B1 Ci DiD法一:i,选D法二:利用i21进行替换,则i,选
3、D6(2019全国卷)已知(2,3),(3,t),|1,则()A3 B2 C2 D3C因为(1,t3),所以|1,解得t3,所以(1,0),所以21302,故选C7(2020全国卷)已知向量a,b满足|a|5,|b|6,ab6,则cosa,ab()A B C DD由题意,得a(ab)a2ab25619,|ab|7,所以cosa,ab,故选D8(2017全国卷)设有下面四个命题:p1:若复数z满足R,则zR;p2:若复数z满足z2R,则zR;p3:若复数z1,z2满足z1z2R,则z12;p4:若复数zR,则R.其中的真命题为()Ap1,p3 Bp1,p4 Cp2,p3 Dp2,p4B设zabi
4、(a,bR),z1a1b1i(a1,b1R),z2a2b2i(a2,b2R)对于p1,若R,即R,则b0zabiaR,所以p1为真命题对于p2,若z2R,即(abi)2a22abib2R,则ab0.当a0,b0时,zabibiR,所以p2为假命题对于p3,若z1z2R,即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR,则a1b2a2b10.而z12,即a1b1ia2b2ia1a2,b1b2.因为a1b2a2b10a1a2,b1b2,所以p3为假命题对于p4,若zR,即abiR,则b0abiaR,所以p4为真命题故选B9多选(2020新高考全国卷)已知a0,b0,且ab
5、1,则()Aa2b2B2abClog2alog2b2 DABD对于选项A,a2b22ab,2(a2b2)a2b22ab(ab)21,a2b2,正确;对于选项B,易知0a1,0b1,1ab21,正确;对于选项C,令a,b,则log2log22log22,错误;对于选项D,2()2ab2()20,正确故选ABD10(2020全国卷)已知单位向量a,b的夹角为60,则在下列向量中,与b垂直的是()Aa2bB2abCa2bD2abD法一:由题意,得ab|a|b|cos 60.对于A,(a2b)bab2b220,故A不符合题意;对于B,(2ab)b2abb21120,故B不符合题意;对于C,(a2b)b
6、ab2b220,故C不符合题意;对于D,(2ab)b2abb2110,所以(2ab)b.故选D法二:不妨设a,b(1,0),则a2b,2ab(2,),a2b,2ab(0,),易知,只有(2ab)b0,即(2ab)b,故选D11(2017全国卷)在矩形ABCD中,AB1,AD2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若,则的最大值为()A3 B2 C D2A建立如图所示的平面直角坐标系,则C点坐标为(2,1)设BD与圆C切于点E,连接CE,则CEBDCD1,BC2,BD,EC,即圆C的半径为,P点的轨迹方程为(x2)2(y1)2.设P(x0,y0),则(为参数),而(x0,y0),(0,1),(
7、2,0)(0,1)(2,0)(2,),x01cos ,y01sin .两式相加,得1sin 1cos 2sin()3,当且仅当2k,kZ时,取得最大值3.故选A12(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则()的最小值是()A2 B C D1B法一:(解析法)建立坐标系如图所示,则A,B,C三点的坐标分别为A(0,),B(1,0),C(1,0)图设P点的坐标为(x,y),则(x,y),(1x,y),(1x,y),()(x,y)(2x,2y)2(x2y2y)22.当且仅当x0,y时,()取得最小值,最小值为.故选B法二:(几何法)如图所示,2(D为BC的中点),
8、则()2.图要使最小,则与方向相反,即点P在线段AD上,则(2)min2|,问题转化为求|的最大值又|2,|,min(2)min2.故选B13(2020全国卷)设a,b为单位向量,且|ab|1,则|ab|_.a,b为单位向量,且|ab|1,(ab)21,112ab1,ab,|ab|2a2b22ab1123,|ab|.14(2020全国卷)设复数z1,z2满足|z1|z2|2,z1z2i,则|z1z2|_.2法一:设z1x1y1i(x1,y1R),z2x2y2i(x2,y2R),则由|z1|z2|2,得xyxy4.因为z1z2x1x2(y1y2)ii,所以|z1z2|2(x1x2)2(y1y2)
9、2xyxy2x1x22y1y282x1x22y1y2()2124,所以2x1x22y1y24,所以|z1z2|x1x2(y1y2)i|2.法二:设z1abi(a,bR),则z2a(1b)i,则即所以|z1z2|2(2a)2(2b1)24(a2b2)4(ab)44442412,所以|z1z2|2.法三:题设可等价转化为向量a,b满足|a|b|2,ab(,1),求|ab|.因为(ab)2(ab)22|a|22|b|2,所以4(ab)216,所以|ab|2,即|z1z2|2.15(2018天津高考)已知a,bR,且a3b60,则2a的最小值为_ a3b60, a3b6. 2a2a23b222223.
10、当且仅当2a23b,即a3b时,取“”,即2a取得最小值,结合a3b60,知此时a3,b1.16(2020全国卷)设有下列四个命题:p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行p4:若直线l平面,直线m平面,则ml.则下述命题中所有真命题的序号是_p1p4 p1p2 p2p3 p3p4法一:对于p1,由题意设直线l1l2A,l2l3B,l1l3C,则由l1l2A,知l1,l2共面,设此平面为,则由Bl2,l2,知B,由Cl1,l1,知C,所以l3,所以l1,l2,l3共面于,所以p1是真命题;对于p2,当A
11、,B,C三点不共线时,过A,B,C三点有且仅有一个平面,当A,B,C三点共线时,过A,B,C的平面有无数个,所以p2是假命题,p2是真命题;对于p3,若空间两条直线不相交,则这两条直线可能平行,也可能异面,所以p3是假命题,p3是真命题;对于p4,若直线l平面,直线m平面,则ml,所以p4是真命题,p4是假命题故p1p4为真命题,p1p2为假命题,p2p3为真命题,p3p4为真命题综上可知,真命题的序号是.法二:对于p1,由题意设直线l1l2A,l2l3B,l1l3C,则A,B,C三点不共线,所以此三点确定一个平面,则A,B,C,所以直线AB,BC,CA,即l1,l2,l3,所以p1是真命题以
12、下同法一1(2020长春质量监测一)已知集合Ax|x|2,Bx|x23x0,则AB()ABx|x3或x2Cx|x2或x0Dx|x3或x0B因为Ax|x|2x|x2或x2,Bx|x23x0x|x0或x3,所以ABx|x2或x3,故选B2(2020济南模拟)全集UR,Ax|ylog2 018(x1),By|y,则A(UB)()A1,2 B1,2) C(1,2 D(1,2)D由x10得x1,所以A(1,),由x24x8(x2)244得B2,),所以UB(,2),所以A(UB)(1,2),故选D3(2020济宁模拟)若复数z(i是虚数单位),则z的共轭复数()A1i B1i C1i D1iDz1i,所
13、以1i.4(2020广东四校联考)若复数z满足z(1i)|1i|,则复数z的共轭复数的模为()A1 B C2 D2B由z(1i)|1i|可得z(1i)2,即z1i,所以1i,故|,故选B5(2020陕西百校联盟第一次模拟)已知两条不同的直线m,l,两个不同的平面,满足l,m,则“lm”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A由lm,l得m,又m,所以,即“lm”是“”的充分条件反过来,由l,m,不一定得lm,因此“lm”不是“”的必要条件所以“lm”是“”的充分不必要条件,选A6(2020潍坊模拟)在ABC中,CA1,CB2,ACB,点M满足2,则()A0
14、 B2 C2 D4A因为|1,|2,ACB,所以12cos1,()()()(2)2|22220,选A7(2020惠州第二次调研)已知a,b为互相垂直的单位向量,若cab,则cosb,c()A B C DA法一:cosb,c,故选A法二:依题意可得|a|1,|b|1,ab.如图,画出a,b,c三个向量构成的AOB,则AOB为等腰直角三角形,所以cosb,ccos 45,所以cosb,c.故选A8多选(2020枣庄模拟)已知全集U,集合Mx|3x4,Nx|x22x80,则()AMNx|3x4BMNx|2x4C(UM)N(,3)2,)DM(UN)3,2)BCD由x22x80,得2x4,所以Nx|2x
15、4,则MNx|3x4,A错误;MNx|2x4,B正确;由于UM(,3)4,),故(UM)N(,3)2,),C正确;由于UN(,2)(4,),故M(UN)3,2),D正确故选BCD9多选(2020滨州模拟)若ab0,则以下几个命题正确的是()ABlgCab DAC因为ab0,所以0,则,因此A正确;因为ab0,所以lglg,因此B不正确;因为ab0,所以(ab)0,因此C正确;因为ab0,所以可取a2,b1,则11,因此D不正确10多选(2020泰安模拟)设复数z满足z(1i)2(其中i为虚数单位),则下列说法正确的是()A|z|B复数z的虚部是iC1iD复数z在复平面内所对应的点在第一象限AD
16、因为z(1i)2,所以z1i,所以|z|,所以A正确;z1i的虚部为1,所以B错误;z1i的共轭复数为1i,所以C错误;z1i在复平面内所对应的点为(1,1),在第一象限,所以D正确故选AD11多选(2020淄博模拟)已知a(1,2),b(4,k),若(a2b)(3ab),则下列说法正确的是()Ak8B|b|4Cab12DabABD因为a(1,2),b(4,k),所以a2b(1,2)(8,2k)(9,22k),3ab(3,6)(4,k)(1,6k),因为(a2b)(3ab),所以9(6k)(1)(22k),则k8,A正确;|b|4,B正确;ab142820,C错误;由于1824,ab,故D正确
17、,所以选ABD12多选(2020青岛模拟)给出下列不等式,其中恒成立的是()A2B(a0,b0,m0且ab)Ca2aDabBCD选项A中,当a,b同号时,22,当a,b异号时,22,则2,所以选项A中的不等式不恒成立选项B中,由于a0,b0,m0且ab,所以0,则(a0,b0,m0且ab)恒成立选项C中,当a0时,a2a显然成立;易知函数f (x)x在区间(0,1)上单调递减,在区间1,)上单调递增,当a1时,a2a1,所以f (a2)f (a),即a2a;当0a1时,0a2a1,所以f (a2)f (a),即a2a;当a1时,a2a.故选项C中的不等式恒成立选项D中,|ab|ab.综上可得,
18、恒成立的为BCD13(2020江西红色七校第一次联考)在ABC中,|,AB4,AC3,则在方向上的投影是_3|两边同时平方,可得0,即,在方向上的投影是|cos,|3.14(2020四省八校联盟高三联考)若x0,y0,x2y1,则的最大值为_(x2y)5529,当且仅当即xy时取等号,所以max.15(2020武汉部分学校质量检测)已知平面向量a,b,e满足|e|1,ae1,be1,|ab|4,则ab的最小值为_4由已知可设e(1,0),a(1,a),b(1,b),所以ab1ab.又|ab|4,所以|ab|222(ab)216,(ab)212,只考虑ab0,不妨设a0,b0,所以ab1ab1(a)b14,即ab的最小值为4.