1、专题限时集训(一)集合、常用逻辑用语平面向量与复数不等式 1(2020全国卷)已知集合A(x，y)|x，yN*，yx，B(x，y)|xy8，则AB中元素的个数为()A2 B3C4D6C由题意得，AB(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，所以AB中元素的个数为4，故选C2(2020全国卷)设集合Ax|x240，Bx|2xa0，且ABx|2x1，则a()A4 B2 C2 D4B易知Ax|2x2，B，因为ABx|2x1，所以1，解得a2.故选B3.(2019全国卷)设z32i，则在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限C由题意，得32i，其在复平面内对应的点为(3
2、，2)，位于第三象限，故选C4(2020浙江高考)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件B由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设lmA，lnB，mnC，且An，所以点A和直线n确定平面，而B，Cn，所以B，C，所以l，m，所以m，n，l在同一平面内故选B5(2020新高考全国卷)()A1 B1 Ci DiD法一：i，选D法二：利用i21进行替换，则i，选
3、D6(2019全国卷)已知(2,3)，(3，t)，|1，则()A3 B2 C2 D3C因为(1，t3)，所以|1，解得t3，所以(1,0)，所以21302，故选C7(2020全国卷)已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa，ab()A B C DD由题意，得a(ab)a2ab25619，|ab|7，所以cosa，ab，故选D8(2017全国卷)设有下面四个命题：p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z12；p4：若复数zR，则R.其中的真命题为()Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4B设zabi
4、(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)对于p1，若R，即R，则b0zabiaR，所以p1为真命题对于p2，若z2R，即(abi)2a22abib2R，则ab0.当a0，b0时，zabibiR，所以p2为假命题对于p3，若z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，则a1b2a2b10.而z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因为a1b2a2b10a1a2，b1b2，所以p3为假命题对于p4，若zR，即abiR，则b0abiaR，所以p4为真命题故选B9多选(2020新高考全国卷)已知a0，b0，且ab
5、1，则()Aa2b2B2abClog2alog2b2 DABD对于选项A，a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab(ab)21，a2b2，正确；对于选项B，易知0a1,0b1，1ab21，正确；对于选项C，令a，b，则log2log22log22，错误；对于选项D，2()2ab2()20，正确故选ABD10(2020全国卷)已知单位向量a，b的夹角为60，则在下列向量中，与b垂直的是()Aa2bB2abCa2bD2abD法一：由题意，得ab|a|b|cos 60.对于A，(a2b)bab2b220，故A不符合题意；对于B，(2ab)b2abb21120，故B不符合题意；对于C，(a2b)b
6、ab2b220，故C不符合题意；对于D，(2ab)b2abb2110，所以(2ab)b.故选D法二：不妨设a，b(1,0)，则a2b，2ab(2，)，a2b，2ab(0，)，易知，只有(2ab)b0，即(2ab)b，故选D11(2017全国卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为()A3 B2 C D2A建立如图所示的平面直角坐标系，则C点坐标为(2,1)设BD与圆C切于点E，连接CE，则CEBDCD1，BC2，BD，EC，即圆C的半径为，P点的轨迹方程为(x2)2(y1)2.设P(x0，y0)，则(为参数)，而(x0，y0)，(0,1)，(
7、2,0)(0,1)(2,0)(2，)，x01cos ，y01sin .两式相加，得1sin 1cos 2sin()3，当且仅当2k，kZ时，取得最大值3.故选A12(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2 B C D1B法一：(解析法)建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(1,0)，C(1,0)图设P点的坐标为(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，()(x，y)(2x，2y)2(x2y2y)22.当且仅当x0，y时，()取得最小值，最小值为.故选B法二：(几何法)如图所示，2(D为BC的中点)，
8、则()2.图要使最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2)min2|，问题转化为求|的最大值又|2，|，min(2)min2.故选B13(2020全国卷)设a，b为单位向量，且|ab|1，则|ab|_.a，b为单位向量，且|ab|1，(ab)21，112ab1，ab，|ab|2a2b22ab1123，|ab|.14(2020全国卷)设复数z1，z2满足|z1|z2|2，z1z2i，则|z1z2|_.2法一：设z1x1y1i(x1，y1R)，z2x2y2i(x2，y2R)，则由|z1|z2|2，得xyxy4.因为z1z2x1x2(y1y2)ii，所以|z1z2|2(x1x2)2(y1y2)
9、2xyxy2x1x22y1y282x1x22y1y2()2124，所以2x1x22y1y24，所以|z1z2|x1x2(y1y2)i|2.法二：设z1abi(a，bR)，则z2a(1b)i，则即所以|z1z2|2(2a)2(2b1)24(a2b2)4(ab)44442412，所以|z1z2|2.法三：题设可等价转化为向量a，b满足|a|b|2，ab(，1)，求|ab|.因为(ab)2(ab)22|a|22|b|2，所以4(ab)216，所以|ab|2，即|z1z2|2.15(2018天津高考)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_ a3b60， a3b6. 2a2a23b222223.
10、当且仅当2a23b，即a3b时，取“”，即2a取得最小值，结合a3b60，知此时a3，b1.16(2020全国卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行p4：若直线l平面，直线m平面，则ml.则下述命题中所有真命题的序号是_p1p4 p1p2 p2p3 p3p4法一：对于p1，由题意设直线l1l2A，l2l3B，l1l3C，则由l1l2A，知l1，l2共面，设此平面为，则由Bl2，l2，知B，由Cl1，l1，知C，所以l3，所以l1，l2，l3共面于，所以p1是真命题；对于p2，当A
11、，B，C三点不共线时，过A，B，C三点有且仅有一个平面，当A，B，C三点共线时，过A，B，C的平面有无数个，所以p2是假命题，p2是真命题；对于p3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，p3是真命题；对于p4，若直线l平面，直线m平面，则ml，所以p4是真命题，p4是假命题故p1p4为真命题，p1p2为假命题，p2p3为真命题，p3p4为真命题综上可知，真命题的序号是.法二：对于p1，由题意设直线l1l2A，l2l3B，l1l3C，则A，B，C三点不共线，所以此三点确定一个平面，则A，B，C，所以直线AB，BC，CA，即l1，l2，l3，所以p1是真命题以
12、下同法一1(2020长春质量监测一)已知集合Ax|x|2，Bx|x23x0，则AB()ABx|x3或x2Cx|x2或x0Dx|x3或x0B因为Ax|x|2x|x2或x2，Bx|x23x0x|x0或x3，所以ABx|x2或x3，故选B2(2020济南模拟)全集UR，Ax|ylog2 018(x1)，By|y，则A(UB)()A1,2 B1,2) C(1,2 D(1,2)D由x10得x1，所以A(1，)，由x24x8(x2)244得B2，)，所以UB(，2)，所以A(UB)(1,2)，故选D3(2020济宁模拟)若复数z(i是虚数单位)，则z的共轭复数()A1i B1i C1i D1iDz1i，所
13、以1i.4(2020广东四校联考)若复数z满足z(1i)|1i|，则复数z的共轭复数的模为()A1 B C2 D2B由z(1i)|1i|可得z(1i)2，即z1i，所以1i，故|，故选B5(2020陕西百校联盟第一次模拟)已知两条不同的直线m，l，两个不同的平面，满足l，m，则“lm”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A由lm，l得m，又m，所以，即“lm”是“”的充分条件反过来，由l，m，不一定得lm，因此“lm”不是“”的必要条件所以“lm”是“”的充分不必要条件，选A6(2020潍坊模拟)在ABC中，CA1，CB2，ACB，点M满足2，则()A0
14、 B2 C2 D4A因为|1，|2，ACB，所以12cos1，()()()(2)2|22220，选A7(2020惠州第二次调研)已知a，b为互相垂直的单位向量，若cab，则cosb，c()A B C DA法一：cosb，c，故选A法二：依题意可得|a|1，|b|1，ab.如图，画出a，b，c三个向量构成的AOB，则AOB为等腰直角三角形，所以cosb，ccos 45，所以cosb，c.故选A8多选(2020枣庄模拟)已知全集U，集合Mx|3x4，Nx|x22x80，则()AMNx|3x4BMNx|2x4C(UM)N(，3)2，)DM(UN)3，2)BCD由x22x80，得2x4，所以Nx|2x
15、4，则MNx|3x4，A错误；MNx|2x4，B正确；由于UM(，3)4，)，故(UM)N(，3)2，)，C正确；由于UN(，2)(4，)，故M(UN)3，2)，D正确故选BCD9多选(2020滨州模拟)若ab0，则以下几个命题正确的是()ABlgCab DAC因为ab0，所以0，则，因此A正确；因为ab0，所以lglg，因此B不正确；因为ab0，所以(ab)0，因此C正确；因为ab0，所以可取a2，b1，则11，因此D不正确10多选(2020泰安模拟)设复数z满足z(1i)2(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的是()A|z|B复数z的虚部是iC1iD复数z在复平面内所对应的点在第一象限AD
16、因为z(1i)2，所以z1i，所以|z|，所以A正确；z1i的虚部为1，所以B错误；z1i的共轭复数为1i，所以C错误；z1i在复平面内所对应的点为(1,1)，在第一象限，所以D正确故选AD11多选(2020淄博模拟)已知a(1,2)，b(4，k)，若(a2b)(3ab)，则下列说法正确的是()Ak8B|b|4Cab12DabABD因为a(1,2)，b(4，k)，所以a2b(1,2)(8,2k)(9,22k)，3ab(3,6)(4，k)(1,6k)，因为(a2b)(3ab)，所以9(6k)(1)(22k)，则k8，A正确；|b|4，B正确；ab142820，C错误；由于1824，ab，故D正确
17、，所以选ABD12多选(2020青岛模拟)给出下列不等式，其中恒成立的是()A2B(a0，b0，m0且ab)Ca2aDabBCD选项A中，当a，b同号时，22，当a，b异号时，22，则2，所以选项A中的不等式不恒成立选项B中，由于a0，b0，m0且ab，所以0，则(a0，b0，m0且ab)恒成立选项C中，当a0时，a2a显然成立；易知函数f (x)x在区间(0,1)上单调递减，在区间1，)上单调递增，当a1时，a2a1，所以f (a2)f (a)，即a2a；当0a1时，0a2a1，所以f (a2)f (a)，即a2a；当a1时，a2a.故选项C中的不等式恒成立选项D中，|ab|ab.综上可得，
18、恒成立的为BCD13(2020江西红色七校第一次联考)在ABC中，|，AB4，AC3，则在方向上的投影是_3|两边同时平方，可得0，即，在方向上的投影是|cos，|3.14(2020四省八校联盟高三联考)若x0，y0，x2y1，则的最大值为_(x2y)5529，当且仅当即xy时取等号，所以max.15(2020武汉部分学校质量检测)已知平面向量a，b，e满足|e|1，ae1，be1，|ab|4，则ab的最小值为_4由已知可设e(1,0)，a(1，a)，b(1，b)，所以ab1ab.又|ab|4，所以|ab|222(ab)216，(ab)212，只考虑ab0，不妨设a0，b0，所以ab1ab1(a)b14，即ab的最小值为4.