1、8最小二乘估计填一填1.最小二乘法(1)定义：如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线yabx的接近程度：y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2.使得上式达到最小值的直线yabx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法(2)应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的_图如果_呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果_呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合2线性回归方程用表示，用表示，由最小二乘法可以求得，_，这样得到的直线方程x称为线性回归方程，是线性回归方程的_.判一判1.用最小二乘法求
2、出的回归系数可能是正的，也可能是负的()2用最小二乘法求出的系数可以使回归直线更贴近实际情况()3若回归系数是负的，则y的值随x的增大而减小()4根据最小二乘法求出回归系数，从而可以表示出线性回归方程，这个方程可以准确表示每一个数据()5已知变量x的值，可由回归方程x得到变量y的精确值()6线性回归方程x必经过点(，)()7由一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)得到的回归直线方程x至少经过(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的一个点()8直线x的斜率为.()想一想1.线性回归方程与直线方程的区别是什么？提示：线性回归方程中的y与实际值y有区别，因为线性回归方程中的
3、“y”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值，它具有随机性，因而对于每一个具体的实际值而言，y的值只是比较接近，但存在一定的误差2回归分析的三个步骤是什么？提示：(1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图(2)求回归方程，注意运算的正确性(3)根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差3求线性回归方程的步骤是什么？提示：(1)计算平均数，.(2)计算xi与yi的积，求iyi.(3)计算.(4)将结果代入公式，求.(5)用，求.(6)写出回归方程4用线性回归方程估计总体的一般步骤是什么？提示：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一
4、条直线附近，用公式求出，并写出线性回归方程(3)根据线性回归方程对总体进行估计思考感悟练一练1已知线性回归直线的斜率的估计值是1.05，样本中心点为(4,5)，则线性回归直线是()Ay1.05x4 By1.05x0.8Cy1.05x1.05 Dy1.05x0.82在最小二乘法中，用来刻画各样本点到直线yabx“距离”的量是()A|yi| B(yi)2C|yi(abxi)| Dyi(abxi)23线性回归方程x表示的直线必定过()A(0,0)点 B(，0)点C(0，)点 D(，)点4在一次实验中，测得(x，y)的四组值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的线性回归方程为
5、()A.x1 B.x2C.2x1 D.x15下列说法正确的是_(把正确说法的序号全填上)已知线性回归方程为0.5x2，则当x2时，变量y的值一定为3；已知一个线性回归方程为1.5x45(xi1,5,7,13,19)，则58.5；任给两组变量，我们都可以通过线性回归方程进行预测；散点图中的绝大多数点都表现出两变量线性相关，个别特殊点不影响线性回归.知识点一求线性回归方程1.设有一条回归直线的方程为21.5x，则变量x增加1个单位时()Ay平均增加1.5个单位By平均增加2个单位Cy平均减少1.5个单位 Dy平均减少2个单位2已知变量x，y有如下对应数据x1234y1345(1)作出散点图；(2)
6、用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程知识点二线性回归方程的应用3.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x(单位：小时)与当天投篮的命中率y(单位：个)：时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为_4某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x个月)和市场占有率(y%)的几组相关对应数据：x12345y0.020.050.10.150.18(1)根据表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；(2)根据上述回归方程，
7、分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.(精确到月)附：，.综合知识最小二乘估计5.一项关于16艘轮船的研究中，已知船的吨位区间为192,3 246(单位：吨)，船员人数y与吨位x之间具有相关关系，回归方程为9.50.006 2x.(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差的人数；(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数6某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如表1：年份x20132014201520162017储蓄存款y(千亿元)567810为了研究计算的方便，工作人员将
8、上表的数据进行了处理，tx2 012，zy5得到表2：时间代号t12345z01235(1)求z关于t的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所求的回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款可达多少？基础达标1四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归方程，分别得到以下四个结论：y与x负相关且2.347x6.423；y与x负相关且3.476x5.648；y与x正相关且5.437x8.493；y与x正相关且4.326x4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A BC D2已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且0.95x，则()
9、x0134y2.24.34.86.7A.2.2 B2.6C2.8 D2.93根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回归方程为x，则()A.0，0 B.0，0C.0 D.0，0.5，解得x12.5.预计上市13个月时，市场占有率能超过0.5%.5解析：(1)设两艘船的吨位分别为x1，x2，则船员人数为1，2，129.50.006 2x1(9.50.006 2x2)0.006 21 0006，即船员平均相差6人(2)当x192时，9.50.006 219211，当x3 246时，9.50.006 23 24630.即估计吨位最大的船和最小的船的船员人数分别为1
10、1,30.6解析：(1)3，2.2，izi45，55，1.2，2.231.21.4，所以1.2t1.4.(2)tx2 012，zy5，代入1.2t1.4得到：y51.2(x2 012)1.4，即y1.2x2 410.8.(3)所以y1.22 0222 410.815.6，所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元三测学业达标1解析：由正负相关性的定义知一定不正确答案：D2解析：由x，y的取值表知：2，4.5，因为回归直线都经过点(，)即过点(2,4.5)，代入方程得：2.6.答案：B3解析：作出散点图如下：观察图像可知，回归直线x的斜率0.故0，0，因此变量x增加1个单位时，y
11、平均增加1.2个单位答案：A5解析：回归直线x一定过点(，)，故A正确；线性回归方程x中，x增加一个单位时，y平均增加个单位，故B正确；线性回归方程x中，样本数据中x0时，可能有y，也可能有y，故C正确，D不正确故选D答案：D6解析：将y7.675代入回归方程，可计算得x9.262，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.6759.2620.83，即约为83%.答案：A7解析：9，0.7910.34.4，解得m5.故选B.答案：B8解析：将200代入线性回归方程y0.01x0.5中，得y2.5.答案：2.59解析：设模糊不清的数据的值为a，依题意知，3.5.回归直线恒过样本点的中心(
12、，)，3.59.49.142.42(26a4956)，a37.答案：3710解析：因为4.5，3.5，所以3.50.74.50.35.所以回归直线方程为0.7x0.35.答案：0.7x0.3511解析：由已知可得17.4，74.9.设回归直线方程为3.53x，则74.93.5317.4，解得13.5.答案：13.512解析：设回归直线方程为x，则6.5.易知50，5，所以5032.517.5，即回归直线方程为6.5x17.5.答案：6.5x17.513解析：由已知数据得3，8，iyi310244465146，149162555，则2.6，82.630.2，则回归直线的方程为2.6x0.2，则2
13、018年的估计值为2.670.218.4.14解析：(1)散点图如下：(2)设成本y与产量x的线性回归方程为x，4，9.1.1，91.144.6.所以，回归方程为1.1x4.6.(3)当x8时，1.184.68.84.613.4，即产量为8千件时，成本约为13.4万元15解析：(1)6，79.86.(2)因为4.75，79.864.75651.36，所以纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程为51.364.75x.(3)当200时，2004.75x51.36，所以x31.29.因此若该店每周至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件16解析：(1)散点图如图所示(2)由图可知，y与x之间具有线性相关关系18，7.4，1421621822022221 660，iyi14121610187205223620，则1.15，7.41.151828.1，所以线性回归方程为y28.11.15x.(3)由上述线性回归方程可知，当细菌的个数为9时，则由928.11.15x，得x16.6，即预测温度是16.6 .
