1、课时作业13变化率与导数、导数的计算一、选择题1函数ycosx的导数是(B)Aysinx BysinxCycosx Dycosx解析：函数ycosx，y(cosx)sinx.2设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a(D)A0 B1C2 D3解析：对函数求导得ya，因为点(0,0)在曲线上，且切线方程为y2x，所以a12，所以a3.3如果曲线yx4x在点P处的切线垂直于直线yx，那么点P的坐标为(A)A(1,0) B(0，1)C(0,1) D(1,0)解析：设点P(a，b)，则ba4a，由题得y4x31.因为曲线yx4x在点P处的切线垂直于直线yx，所以4a313，所以
2、a1.所以b1410，所以点P的坐标为(1,0)4已知f(x)xlnx，则f(1)(B)A1 B.C2 De解析：f(x)1lnx，令x1，得f(1)1f(1)，解得f(1).5已知函数f(x)为奇函数，则f(x)在x2处的切线斜率等于(B)A6 B2C6 D8解析：设x0，则x0，f(x)x22x，又f(x)为奇函数，则f(x)f(x)x22x，f(x)2x2，则f(2)2.故选B.6若点P是函数y图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l倾斜角的取值范围是(C)A0， B，C，) D(，解析：因为sinxcosxsin(x)，由xk，kZ，知函数f(x)的定义域为x|xk，kZ设直线l
3、的倾斜角为，y.因为0sin2(x)1，所以y1，即tan1.又0，所以，故选C.7曲线y2lnx上的点到直线2xy30的距离的最小值为(A)A. B2C3 D2解析：设与直线2xy30平行且与曲线y2lnx相切的直线方程为2xym0.设切点为P(x0，y0)，y，2，解得x01，因此y02ln10，切点P的坐标为(1,0)，则点P到直线2xy30的距离d，曲线y2lnx上的点到直线2xy30的距离的最小值是.8设函数f(x)cos(x)，其中常数满足0.若函数g(x)f(x)f(x)(其中f(x)是函数f(x)的导数)是偶函数，则等于(A)A BC D解析：由题意得g(x)f(x)f(x)c
4、os(x)sin(x)2cos，函数g(x)为偶函数，k，kZ.又0，.故选A.二、填空题9已知函数f(x)lnx2x24x，则函数f(x)的图象在x1处的切线方程为xy30.解析：因为f(1)ln1242，所以切点为(1，2)因为f(x)4x4，所以切线斜率kf(1)1.所以切线方程为y2x1，即xy30.10已知函数f(x)xb(x0)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y2x5，则ab8.解析：f(x)xb，f(x)1，f(1)1a2，a1.f(1)1ab7，b7，则ab178.11阅读材料：借助上述思路，曲线y(2x1)x1，x(，)在点(1,1)处的切线方程为4xy30.解析：根据
5、题中材料将函数y(2x1)x1转化为lnyln(2x1)x1(x1)ln(2x1)，两边同时求导数，得yln(2x1)(x1)2ln(2x1)，yln(2x1)(2x1)x1，y|x1ln(2x1)(2x1)x1|x14，切线方程为y14(x1)，即4xy30.12(多填题)已知函数f(x)exex2的图象在点A(x0，f(x0)处的切线为l，且l与直线2xy0关于直线xa对称，则x00，实数a的值为.解析：由题意可知直线l的斜率为2，f(x)exex，ex0ex02，即(ex0)22ex010，(ex01)20，解得x00，而f(0)e0e022，A(0,2)，切线l：y22x，即2xy20
6、.由得x，a.三、解答题13已知函数f(x)x34x2及其图象上一点M(1，1)(1)若直线l1与函数f(x)的图象相切于点M(1，1)，求直线l1的方程；(2)若函数f(x)的图象的切线l2经过点M(1，1)，但M不是切点，求直线l2的方程解：(1)f(x)3x24，f(1)1，所以直线l1的斜率k11，所以直线l1的方程为y1(x1)，即xy0.(2)设切点坐标为(x0，f(x0)，x01，则切线l2的方程为yf(x0)f(x0)(xx0)因为直线l2经过点M(1，1)，所以1f(x0)f(x0)(1x0)其中f(x0)x4x02，f(x0)3x4，于是1(x4x02)(3x4)(1x0)
7、，整理得2x3x10，即(x01)2(2x01)0，又x01，所以x0.所以切点为，直线l2的斜率k2f，所以直线l2的方程为y，即yx.14已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C.(1)求曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围；(2)若曲线C存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解：(1)由题意得f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k0)，则由题意并结合(1)中结论可知解得1k0或k1，则1x24x30或x24x31，解得x(，2(1,3)2，)15
8、(多选题)若函数yf(x)的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数yf(x)为“t函数”下列函数中可以称为“2函数”的是(CD)Ayxx3 ByxexCyxlnx Dyxcosx解析：设切点的横坐标分别为x1，x2，对于A，y13x2，所以两条切线的斜率之和为23(xx)，由于x1，x2不能同时为零，所以23(xx)2，不符合题意；对于C，ylnx1，所以两条切线的斜率之和为2lnx1lnx22ln(x1x2)，当x1，x2互为倒数时，两切线的斜率之和为2，符合题意；对于D，y1sinx，所以两条切线的斜率之和为2sinx1sinx2，当sinx1s
9、inx20，即x12kx2或x12x2(kZ)时，两条切线的斜率之和为2，符合题意综上所述，故选CD.16(2019全国卷)已知函数f(x)lnx.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线ylnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线yex的切线解：(1)f(x)的定义域为(0,1)(1，)因为f(x)0，所以f(x)在(0,1)，(1，)上单调递增因为f(e)10，所以f(x)在(1，)有唯一零点x1，即f(x1)0.又01，f()lnx1f(x1)0，故f(x)在(0,1)有唯一零点.综上，f(x)有且仅有两个零点(2)证明：因为elnx0，故点B(lnx0，)在曲线yex上由题设知f(x0)0，即lnx0，连接AB，则直线AB的斜率k.曲线yex在点B(lnx0，)处切线的斜率是，曲线ylnx在点A(x0，lnx0)处切线的斜率也是，所以曲线ylnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线yex的切线
