1、北京科技大学附中2022版高考数学二轮复习冲刺训练提升：导数及其应用本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题为真命题的是( )A在处存在极限，则在连续B在处无定义，则在无极限C在处连续，则在存在极限D在处连续，则在可导【答案】C2设函数的图象与轴相交于点P, 则曲线在点P的切线方程为( )ABCD【答案】A3若，则等于( )A1B2CD【答案】C4给出下列四个结论：；命题“的否定是“”；“若 则”的逆命题为真；集合，则“
2、”是“”成立的充要条件.则其中正确结论的序号为 ( )ABCD【答案】B5若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则( )A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A6如图，设是图中边长为的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域向中随机投一点，则该点落入中的概率为( )ABCD【答案】C7曲线ysinx与直线yx所围成的平面图形的面积是( )ABCD【答案】C8已知二次函数的导数，且的值域为，则的最小值为( )A3BC2D【答案】C9用边长为6分米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转，再焊接而成（如图）。设水箱底面边长为分米，则( )A水箱容积
3、最大为立方分米 B水箱容积最大为立方分米 C当在时，水箱容积随增大而增大D当在时，水箱容积随增大而减小【答案】C10由直线，及轴围成平面图形的面积为( )ABCD【答案】C11由曲线，直线所围成的平面图形的面积为( )ABCD【答案】C12函数导数是( )ABCD【答案】C第卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13已知，则 【答案】14若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 .【答案】15= ；【答案】16如图是一个质点做直线运动的图象，则质点在前内的位移为 m【答案】9三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文
4、字说明，证明过程或演算步骤)17已知函数(）求曲线y=f(x)在（1,11）处的切线方程；(）求函数的单调区间。【答案】 ()因为，所以切线的斜率为所以切线方程y-1=12(x-1)即 12x-y-11=0 ()令得所以函数f(x)的单调增区间为（-1,3）令得x3所以函数f(x)的单调减区间为。18已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间0,1上单调递增,在区间1,2上单调递减;求a的值;是否存在实数b,使得函数g(x)=bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰有2个交点,若存在,求出实数b的值;若不存在,试说明理由【答案】f(x)在区间0,1上单调递增,在区间1,2上单调递减,f(1
5、)=0,f(1)=4x3-12x2+2ax|x=1=2a-8=0,a=4;由知f(x)=x4-4x3+4x2-1,由f(x)=g (x)可得x4-4x3+4x2-1=bx2-1 即x2(x2-4x+4-b)=0. f(x)的图象与g(x)的图象只有两个交点, 方程x2-4x+4-b=0有两个非零等根或有一根为0,另一个不为0,=16-4(4-b)=0,或4 b = 0,b = 0或b =419已知函数(）求的值；(）若曲线过原点的切线与函数的图像有两个交点，试求b的取值范围.【答案】 () ，又函数有极大值，得在上递增，在上递减，得(）设切点，则切线斜率所以切线方程为将原点坐标代入得，所以切线
6、方程为由得设则令，得所以在上递增，在上递减所以若有两个解，则得 20已知函数f(x)plnx(p1)x21(I）讨论函数f(x)的单调性；(II）当p1时，f(x)kx恒成立，求实数k的取值范围；(III）证明：ln(n1)1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当p0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当1p0时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(x)0；x时，f(x)0故f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)因为x0，所以当p1时，f(x)kx恒成立1lnxkxk，令h(x)，则kh(x)max，因为h(x)，由h(x)0得x1，且当x(0,1)时，h(x)0；当
7、x(1，)时，h(x)1时，f(x)x，即lnxx1，令x，则ln，所以ln，ln，ln，相加得lnlnln1，而lnlnlnlnln(n1)，所以ln(n1)1(nN*)21设函数(为自然对数的底数)，（）(）证明：；(）当时，比较与的大小，并说明理由；(）证明：（）【答案】（）设，所以当时，当时，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值，因为，所以对任意实数均有 即，所以(）当时，用数学归纳法证明如下：当时，由（1）知；假设当（）时，对任意均有，令，因为对任意的正实数， 由归纳假设知，即在上为增函数，亦即，因为，所以从而对任意，有,即对任意，有，这就是说，当时，对任意，也
8、有由,知，当时，都有(）证明1：先证对任意正整数，由（）知，当时，对任意正整数，都有令，得所以再证对任意正整数，要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立即要证明对任意正整数，不等式（*）成立方法1（数学归纳法）：当时，成立，所以不等式（*）成立假设当（）时，不等式（*）成立，即则 ,这说明当时，不等式（*）也成立由，知，对任意正整数，不等式（*）都成立综上可知，对，不等式成立方法2（基本不等式法）：因为，将以上个不等式相乘，得所以对任意正整数，不等式（*）都成立综上可知，对，不等式成立 22已知(1) 求函数上的最小值；(2) 若对一切恒成立,求实数的取值范围；(3) 证明:对一切,都有成立.【答案】（1），当单调递减，当单调递增，即时， ； ，即时，上单调递增，；所以 (2），则， http:/wx.jtyjy/ 设，则，当单调递减，当单调递增，所以所以；(3）问题等价于证明，由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易知，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立
