1、北京市首师大附中2020-2021学年高二下学期期末考试数 学（1-4班）2021.7学号 班级 姓名 成绩_一、选择题：本大题共8小题, 每小题6分,共48分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B.C.D.2. 在四个函数、中，在区间的平均变化率最大的是()A. B. C. D. 3.“”是“直线垂直”的A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 已知数列的通项公式，则数列的前项和取最小值时，的值是（ ） A. 3B. 4C. 5D. 65已知函数，那么下列结论正确的是（ ）A在上是增函数 B在上是减函
2、数C， D，6.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有.当时，.若直线与函数的图象在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是A. B. 或 C. 或 D. 或7.已知全集，集合是集合的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：若，则；若，则；若，则.则集合（ ）ABC D8.若函数的值域为，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题, 每小题6分,共36分. 把答案填在题中横线上.9. 设抛物线的焦点为，为其上的一点，为坐标原点，若，则的面积为 10. 已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的最小值为_. 11. 各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为
3、 12.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点若角满足，且为第二象限角，则的值是 13. 已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径做圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点.若，则双曲线的离心率为_.14. 定义在上的函数满足：当时， .（i） ；（ii）若函数的零点从小到大依次记为，则当时，_.三、解答题.本大题共4小题，共66分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分16分）如图所示，在四边形中，且.（）求的面积；（）若，求的长.16.（本小题满分16分）已知数列的各项均不为0，其前项和为，且满足 . （）求的值；（）求的通项公式；（）若, 请写出的最小
4、值. 17.（本小题满分17分）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，且.（）求椭圆的方程；（）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 18.（本小题17分） 已知函数. （）求证：1是函数的极值点;（）设是函数的导函数，求证：.北京市首师大附中2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题（1-4班）参考答案一、选择题：本大题共8小题, 每小题6分,共48分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CBABDDCD二、填空题：本大题共6小题, 每小题6分,共36分. 把答案填
5、在题中横线上.9.答案：10. 11. 12.13. 【解析】如图， ， 又，解得 14. 答案：3；三、解答题.本大题共4小题，共66分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（共16分）解：（）因为 ，所以 . 3分因为 ，所以 . 5分因为 ，所以 的面积. 8分（）在中，.所以 . 11分因为 ， 13分所以 .所以 . 16分16（本小题满分16分）解：（）因为 ，所以，即，因为，所以. -3分（）因为 ，所以，两式相减，得到，因为，所以， -6分 所以都是公差为的等差数列， 当时，, -8分当时， , -10分所以 -12分（）当时，取得最小值为. -16分（ 当时， 因
6、为 ，所以 所以当为奇数时，的最小值为， 当为偶数时，的最小值为， 所以当时，取得最小值为. ） 17.（本小题满分17分）（）解：由 ， 得 . 2分依题意是等腰直角三角形，从而，故. 4分所以椭圆的方程是. 5分（）解：设，直线的方程为. 6分将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 . 8分所以 ，. 9分若平分，则直线，的倾斜角互补，所以. 10分设，则有 .将 ，代入上式，整理得 ，所以 . 13分将 ，代入上式，整理得 . 15分由于上式对任意实数都成立，所以 .综上，存在定点，使平分. 17分18（本题17分）（）证明： 证法1：的定义域为 1分由 得， 2分. 3分当时，故在上单调
7、递增； 4分当时，故在上单调递减； 5分(此处为推理说明，若用列表说明则扣1分)所以1是函数的极值点. 6分证法2：（根据极值的定义直接证明）的定义域为 1分， 3分当时，即； 4分当时，即； 5分根据极值的定义， 1是的极值点. 6分（）由题意可知，证法1：， 7分令，故在上单调递增. 8分又，又在上连续，9分使得，即， .（*） 10分随x的变化情况如下：极小值 12分. 13分由（*）式得，代入上式得. 15分令，故在上单调递减. 16分，又，.即 . 17分证法2：，令， 7分，令得. 8分随x的变化情况如下：极小值，即，当且仅当时取到等号.11分，令得. 13分随x的变化情况如下：极小值 15分，即，当且仅当时取到等号. 16分.即. 17分
