1、房山区2023年高三年级第一次模拟考试数学第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接求并集得到答案.【详解】集合，则.故选：C2. 在展开式中，的系数是（ ）A. B. 8C. D. 4【答案】A【解析】【分析】直接利用二项式定理计算即可.【详解】的展开式通项为，取，则，系数为.故选：A3. 已知数列对任意满足，且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由数列递推公式依次计算，即可得答案.【详解】由题意可得，.故选
2、：D4. “”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，满足，充分性，取计算得到不必要性，得到答案.【详解】当时，满足，充分性；取，满足，不满足，不必要性.故“”是“”的充分而不必要条件.故选：A5. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为，则点到原点的距离为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由抛物线的定义，将抛物线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程求出点的坐标，进而得出点到原点的距离【详解】抛物线的准线为，由题意，设，则点P到原点的距离为，故选：D6. 已知直线与圆
3、相交于M，N两点.则的最小值为（ ）A. B. C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】先求出圆心和半径，以及直线的定点，利用圆的几何特征可得到当时，最小【详解】由圆的方程，可知圆心，半径，直线过定点，因为，则定点在圆内，则点和圆心连线的长度为，当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时，由圆的弦长公式可得，故选：C7. 已知函数同时满足以下两个条件：对任意实数x，都有；对任意实数，当时，都有.则函数的解析式可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】确定函数为奇函数且单调递减，再依次判断每个选项得到答案.【详解】对任意实数x，都有，故函数为奇函数；对任意实数，当时，都有，即，
4、即，故函数单调递减.对选项A：单调递增，不满足；对选项B：单调递减，且函数为奇函数，满足；对选项C：单调递增，不满足；对选项D：不是奇函数，不满足.故选：B8. 在中，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知求出点的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出，的最大值即圆心到定点的距离加上半径，代入化简求值即可【详解】由题意，可得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，取的中点，则，所以，故选：D9. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型
5、：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）（精确到0.1，参考数据：）A. 0.3B. 0.5C. 0.7D. 0.9【答案】B【解析】【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，由题意可得，两边同时取自然对数并整理，得，则，则给氧时间至少还需要小时故选： B10. 如图，已知正方体，则下列结论中正确的是（ ）A. 与三条直线所成的角都相等的直线有且仅有一条B.
6、 与三条直线所成的角都相等的平面有且仅有一个C. 到三条直线的距离都相等的点恰有两个D. 到三条直线的距离都相等的点有无数个【答案】D【解析】【分析】所成的角都相等的直线有无数条，A错误，成的角相等的平面有无数个，B错误，距离相等的点有无数个，C错误，D正确，得到答案.【详解】对选项A：根据对称性知与三条直线的夹角相等，则与平行的直线都满足条件，有无数条，错误；对选项B：根据对称性知平面与三条直线所成的角相等，则与平面平行的平面都满足条件，有无数个，错误；对选项C：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体边长为，上一点，则，点到直线的距离为，同理可得到直线和的距离为，故上的点到三条直线的距离都相等
7、，故有无数个，错误；对选项D：上的点到三条直线的距离都相等，故有无数个，正确；故选：D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 在复平面内复数对应点的坐标为，则_.【答案】#【解析】【分析】根据复数的几何意义表示复数，然后利用复数乘法运算法则计算.【详解】因为复数在复平面内对应点的坐标为，所以，所以.故答案为：12. 能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为_.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据不等式的性质，讨论的正负和三种情况，得出结论【详解】若，当时，；当时，；当时，；“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为，
8、故答案为：（答案不唯一）13. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为_.【答案】2【解析】【分析】由题意求出双曲线的渐近线方程，则，由代入即可得出答案.【详解】双曲线的渐近线方程为,所以，所以双曲线C的离心率为.故答案为：2.14. 在中，则_；的值为_.【答案】 . # . 【解析】【分析】化简得到，再根据正弦定理得到，得到，计算得到答案.详解】，故，；，则，即，则，.故答案为：；15. 设函数给出下列四个结论：函数的值域是；，方程恰有3个实数根；，使得；若实数，且.则的最大值为.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可
9、求解结论.【详解】因为函数，其图象如下图所示：对于，由图可知，函数的值域不是，故不正确；对于，由图可知，方程恰有3个实数根，故正确；对于，当时，使得有成立，即与有交点，这显然成立，故正确；对于，不妨设互不相等的实数满足，当满足时，由图可知，即，即，所以，由图可知，而在上单调递减，所以，所以，则的最大值为，故正确.故答案为：.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知函数的最小正周期为.（1）求值；（2）再从条件.条件、条件三个条件中选择一个作为已知.确定的解析式.设函数，求的单调增区间.条件：是偶函数；条件：图象过点；条件：图象的一个对称中心为.注：如果
10、选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据周期公式，即可求解；（2）分别选择条件，根据三角函数的性质，求，再根据三角函数的单调性，代入公式，即可求解.【小问1详解】由条件可知，解得：；【小问2详解】由（1）可知，若选择条件：是偶函数，所以，即，所以，令,解得：,所以函数的递增区间是，若选择条件：图象过点，则，即，所以，所以，所以令，解得：，所以的单调递增区间是.如选择条件：图象的一个对称中心为，所以，所以，所以令，解得：，所以的单调递增区间是.17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，M为BC的中点.（1）求证：平面PBD
11、；（2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；（3）求D到平面APM的距离.【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.【小问1详解】因为，M为BC的中点，所以，因为四棱锥的底面是矩形，所以，所以，所以，而，即，因为底面ABCD，底面ABCD，所以，而平面PBD，所以平面PBD；【小问2详解】因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为因为四棱锥的底面是矩形，所以，建立如下图所示空间直
12、角坐标系，因平面ABCD，所以平面ABCD的法向量为，设平面APM的法向量为，于是有，平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为；【小问3详解】由（2）可知平面APM的法向量为，所以D到平面APM的距离为18. 某社区组织了一次公益讲座.向社区居民普及垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民.让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识向卷.这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如下表：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号讲座前讲座后（1）从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份.求这份答卷正确率低于的概率；（2）从正确率不低于的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份
13、，记随机变量X为抽中讲座前答卷的个数.求随机变量X的分布列和数学期望；（3）判断此次公益讲座的宣传效果.并说明你的理由.【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 （3）答案见解析【解析】【分析】（1）共10份书卷，准确率低于有份，计算概率即可.（2）的取值可能是，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.（3）讲座前的平均准确率为，讲座后的平均准确率为，提升明显，得到答案.【小问1详解】共10份书卷，准确率低于有份，故概率为；【小问2详解】正确率不低于的垃圾分类知识答卷中，讲座前有2份，讲座后有5份，的取值可能是，；.故X的分布列为：故数学期望为.【小问3详解】此次公益讲座的宣传效果很
14、好，讲座前的平均准确率为：；讲座后的平均准确率为：；平均准确率明显提高，故此次公益讲座的宣传效果很好.19. 已知椭圆过点，且离心率为（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用椭圆过点，得到，再由椭圆的离心率为，求出的值，从而求到椭圆的标准方程；（2）对直线的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出，得到结论.【小问1详解】因为椭圆过点，所以，又，所以，得到，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得
15、，消去并整理，得，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，化简整理得因为直线与垂直，所以直线的方程为，联立得，解得， ，所以把代入上式得，所以，为定值；当直线斜率为0时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，此时或，为定值；当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，此时或，为定值；综上所述，为定值.20. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间；（3）求证：当时，关于x的不等式在区间上无解.【答案】（1） （2）的单调递增区间为和，单调递减区间为 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率，即
16、可求得切线方程；（2）根据可求出，并对其进行检验即可求解；（3）分和两种情况，求出函数在区间上的最大值即可作答.【小问1详解】由可得，当时，在点处的切线方程为；【小问2详解】因为在处取得极值，所以，解得，检验如下：令，解得或，若或时，则；若，则.所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，故在处取得极小值，满足题意，故的单调递增区间为和，单调递减区间为；【小问3详解】由（1）知，由时，得，因，当时，当时，即函数在上单调递减，则，因此不等式不成立，即不等式在区间上无解；当时，当时，当时，即在上递减，在上递增， 于是得在上的最大值为或，而，即，因此不等式不成立，即不等式在区间上无解，所以当时，关于的不
17、等式在区间上无解.21. 如果数列对任意的，则称为“速增数列”.（1）判断数列是否为“速增数列”？说明理由；（2）若数列为“速增数列”.且任意项，求正整数k的最大值；（3）已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，证明：.【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算，得到答案.（2）根据题意得到，计算当时，当时，得到答案.（3）证明，得到，得到，代入计算得到证明.【小问1详解】因为，则，又，故，数列是“速增数列”.【小问2详解】，当时，即，当时，当时，故正整数k的最大值为.【小问3详解】，故，即；，故，即，同理可得：，故，故，得证.【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题意利用累加法的思想确定是解题的关键.
